Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При 1 и'2 т = 2 и и = 3 это отношение, вычисленное по точной формуле, получается примерно такой же величины. Таким образом, звуковое давление в случае ротационного излучателя, вычисляемое по формулам Гутина для „объемного звука вращения", и звуковое давление в поле сферического излучателя с бегущей волной оказываются величинами одного порядка. Незначительность расхождения результатов расчета двумя совершенно различными методами заслуживает внимания. Ясно, что звуковое поле для подобных систем при длинных волнах в основном определяется величиной объема вращаю- шихся лопастей (или бороздок), их числом, расстоянием от оси и скоростью вращения независимо от формы вращающихся тел.
ГЛАВА В РАССЕЯНИЕ ЗВУКА СФЕРОЙ Рассеяние звука на жесткой неподвижно) сфере р = р,е'"ве". В точке Р х=гсоза=ги, где и= созе. Обозначая величину лг через г, получим: р; = р,е'"' "" . е' ' = р„е"' е". Разложим плоскую волну на сумму сферических волн: ПФ = СО е"'= г Л Р (и), а 0 (9,1) 17 Н. С. Ржввввв Возникающее при падении звука на жесткое неподвижное препятствие звуковое поле можно рассчитать, предполагая, что в результате воздействия падающей волны на этом препятствии зарождается новая, рассеянная (или дифрагированная) волна, причем в сумме обе волны — падающая и рассеянная — должны дать на поверхности нормальную скорость, равную нулю.
Обычно под дифракцией понимают загибание лучей в вону геометрической тени, а под рассеянием — возникновение системы волн, как бы исходящих от некоторого тела во все стороны при падении иа него волны, приходящей от' удаленного источника. Г!риводимое ниже решение задачи является общим — оно описывает полную волновую картину, охватывающую как дифрагированные, так и рассеянные волны, не давая какого-либо критерия их различия. Выберем направление распространения плоской падающей волны по отрицательной оси х, а жесткую сферу радиуса г„ поместим в начале координат (рис.
77), тогда звуковое давление в падающей волне гле Р (Р) — сферическая функция (полипом Лежандра) порядка ш. Умножим обе части уравнения на Р„(Р) и проинтегрируем правую и левую части по р от — 1 до +1: +1 + ! ~Рв(Р)е суй=~ Аы ~Рм(!л).~ в(Р)Ф. м= о Из теории сферических функций * известно, что 0 при ит=п, ~ Р. (Р) Р (Р) Ф = — ! 2т+- ! при т=п.
р' = Р е "77вттевс) 7 в Рос. 77 Следовательно, +! Аы — + ~ Р (1,)етлв,т — ! Можно доказатьвв, что интеграл, входящий в А, выражается через бесселевы функции полуцелого порядка от аргумента Р„(р.) е"ст~ = 2/ ~/ —,,— l ! (л). — 1 т Если введем сферические бесселевы функции / (г), (см. гл. 8), то для А получим: зш+ ! А,„= — 2 — 2/ ф 2 — ! в=(ха+1)У' твв(л). (92! + т " В. И. Смириов. Курс высшей математики, т.
Ш, гл Ч!. ~ о . техиэдат, М:, !956. ** Р эл ей. Теориа лоука, т. и, 9 330. !'остехиадат, М., !955. 258 Таким образом, плоская волна,' падающая на сферическое препятствие, может быть выражена суммой сферических волн, исходящих из центра сферы: р, = р,е' ' У 1' (2!и + 1) Р„(0) / (а). (9.3) рассеянную волну давления р, также можно записать в виде сложной сферической волны, исходящей из начала координат. Используя соотношение (8,22), имеем: р,= ~ а„,Р (З)Ь (а) е'"', (9,4) т=-л где Ь (а)= 6„,( )е '- "— сферическая функция Ганкеля второго рода. Так как скорость частиц в радиальном направлении получится из выражения г гл ,,о о то граничное условие на жесткой сфере примет вид: ~~о Согласно формулам (8,21), (8,23) и (8,24), имеем: -Д/ (в)~= —,[ту л(г) — (т -+1) 1' „(е))= — Р„(е)айпи„(е) и — = — 2Р (а)е '~м"'.
Нл Используя эти выражения и сокращая на неравный нулю Ф лшоиопель .—, приведем граничное условие к виду: У'Р р, 2 / (2т+1)Р (а)Р„(ал)з1п а„(е,)+ а=я + ь. а Р (З) ( — /) Р,„(е,) е мт " = О, т с.а Приравняем почленно нулю сумму каждой пары членов индексом пг; тогда найдем; а,„=ур„2 (2т + 1) лш З„(е„) е" (9,8) г7' Подставляя а в уравнение (9,3), получим окончательное выражение для давления р, в рассеянной волне: Ш Р,=Р,е'"' У, 7 "(2т+1)Р (Ь) а!п о (еа)е" "' й (е). (9,6) т= о Полученное выражение позволяет вычислить звуковое поле 2иг, рассеянной волны при любом за= — '.
Однако при еа) 1 полученный ряд начинает сходиться медленно, и практически вычисление при ев ) 5 становится крайне громоздким. Скорость частиц в радиальном направлении будет равна: Ч,„= — —, —,~~' = Ра г, / + ' (2т + 1) Х гл — уор дг рс т о МП а (Е ) врат!га! ~у (Е) Е хат 1г! Так как при е » 1 ( Р,) От (з) —; 7.1~ (е) —; Ь~ (е) т+1 2 то для вектора Умова в рассеянной волне получим: '=-"(":)~ = =Л>е 2-'-, у' е е ' Р'.Р„(2т+1) )С т,л о — у (» — — ' к ) ;х,' (2п+ 1) еатгга! "и 'а!а!и о (зв) з!п о„(ев) )( СО 1,' х ) = р — '- ° —; ~р (2т+1)(2п+1)Р Р„з!па (е„))~ г т,л. О Х Мпа„(зв)соз!а (еа) — а (ев)+(т — п)к) (9,7) Вместо добавки (т — п) т в аргументе косинуса мои!но ввести множитель ( — 1) Если падающую волну взять в направлении положительной оси х, следуя Морзу ', то в ряд по сферическим функциям надлежит разложить е га".
Тогда вместо уравнения (9,2) получим аналогичное выражение, содержащее / ( — е) =1 "7 ( ). В выражение для р, вместо/ войдет у' т, в коэффициенте а " Ф. М о 9 з. Коаебанин и звук, $ 29. Госхехизлац М., 1919, функция / заменится на у '", а в р, войдет 7 ) "' вместо /" ' '. Вектор Умова тогда примет вид, аналогичный соотношению (9,7), с той лишь разницей, что под знаком косинуса будет стоять разность ь (г,) — 6„(аа) без добавки члена (т — п)я. Таким образом, если угол Ь отсчитывать от направления падающей волны, то для l, получается более простое выражение.
На рис. 78 приведены полярные характеристики рассеяния 2лго сферы при различных значениях аргумента г,= —" . Рис. 76 Рассмотрим, что дает выражение (9,7) и случае длинных волн (ае'~ 1): ) 2 770(ао) т) 771( о) Р 1 ~<' во (во) 3 Для сочетаний ш=О, п=О; т=О, п=1; оп=1, п=О и я= 1, и= 1 соответствующие члены содержат го" Для сочетаний т=О, и=2 и т=2, и=О, а также т=1, п=2 и т= — 2, и= 1 войдет 4, а если т= и=2, то войдет зо". Таким образом, сумма (9,7) определится первыми четырьмя членами, для которых )и и п равны О или 1, так как остальные будут меньше по'крайней мере на два порядка. .У, ~ ~м — (( — 1 ( —.) + 1.
3. ( — ) ( — — сох( —, + -, — к~ соз 6+ мс) ФР 1 +3.3 ®( — 1) соз'В ~=ф — '~1+Зсо й+„, соз'61= 26) где уа = — ' — интенсивность падающей плоской волны ":. Ро 2рс '!'аким образом, навстречу падаюнтей волне рассеянная энергия 75 1та в (-2.: — ) =25 раз больше, чем в направлении волны. ! !олная мощность, рассеяниан сферой при гас~ 1, будет равнз 7, 7вз)га П,= ~,У,2кга тип ас(В= — (кг,";/а)г'„= „, ' Уа, !9,10) 'о где ) — длина волны, а К,=--яг,", — объем сферы. Легко 4 з '- подсчитать, что из всей рассеянной энергии га)га, или 93",,, распространяется в направлении, обратном падающей волне (под углами от 0 до 90'), и лишь г)га (7%) — в прямом направлении. В общем случае, не ограничивая расчет малостью см интегрированием выражения (9,7) получим: ОО П,= — ",' т (2гв+1)з!паа„,(я,).
аг Соотношение (9,10) представляет известный закон рассеяния Рэлея, примененный им к объяснению голубого цвета неба. Подсчитаем относительное эффективное сечение (7) рассеяния сферического препятствия. Для этого приравняем в~личину П, потоку энергии lа5 плоской волны, проходящей через круг с некоторой площадью 5. Из этого условия найдем: 3 7 7 = — = —, (усг.)'. кг" Э а т. е. для длинных волн эффективное сечение составляет лишь малую долю сечения сферы кг„-". Для звукового давления рассеянной вблны Р, на больших расстояниях (г)) 1) из (9,6) получим: д г-л > (ага) Р = — Рае " ' . — 1+ —. созе';= а Заг 1 2 а Р е ' ~! 1+.'- со.
Ь). л г.аг) ( '")га, ( 3 Из формул (9,9) и (9,11) следует, что для длинных волн рассеянная волна эквивалентна излучению суммы двух излучателей: нулевого порядка и первого порядка (дипольного), из которых последний имеет в 1,ог раза большую амплитуду. Это * Ьлаголаря выбору в книге Мораа отсчета углов Э от направления на 3, т 3 источник в его формулы входит мноанпеао (1 —, соа а)т вместо (1-1- — соа Ь)т. 2 2 можно истолковать следующим образом. Жесткая и неподвижная сфера препятствует движению жидкости в занимаемом гло объеме. Этот объем не может сжиматься и колебаться (в направлении волны) так, как это имело бы место в отсутствие сферы, что можно приписать возникновению движений рассматриваемого сферического объема с обратной фазой и равной амплитудой, Это и есть источник нуль-плюс-первого порядка, упомянутый выше. Может показаться непонятным, почему излучение первого и нулевого порядка почти одинаковы, поскольку в падающей плоской волне амплитуда скорости на поверхности сферы, пропорциональная !2пг+1)В (з,)з)пй (л„), для первого порядка будет болыве, чем для нулевого.
Действительно, подставляя значения В и о, из уравнения (9,6а) для т=О,! и 2 найдем, что амплитуды скорости на поверхности пропорциональны: для пг = 0; гуго о,! 'о„ й яй для т= 1; гуг, 3 —, ° —," = — 1, ! э 3-' для т = 2; гу о 5 —:.' —" =- . г! 151 3 Отсюда видно, что в падающей волне наиболее сильно выра>кено осцилляторное движение (ггг =! ). Интенсивность рассеянной во.чны определяется произведением сопротивления излучения на квадрат амплитуды скорости. Используя выражения(8,60) и 18,62) для сопротивления излучения, найдем, что полная мощность излучения для различных членов будет иметь порядок. для т=О; По= — РУоугоо -з;" з,', =а'„, д„т=11 П,=-2-)~гу) -г' 1 для т = 2; П ч = - - Я„гууг з,' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
