Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если им=О, то ведущую роль в излучении будет играть следующий по порядку член. Этот вывод позволяет оценить звуковое поле сложного излучателя на больших расстояниях и сделать заключение, что даже при одинаковых амплитудах скорости и, иа поверхности сферы наибольшую роль будет играть излучение наинизшего порядка т, как бы сложно ни было суммарное движение на поверхности сферы. Этот вывод, конечно, уже не пригоден, если я, не мало. Если колебания реальной сферической оболочки вызваны периодической силой с частотой м, то на поверхности реальной сферы, представляющей некоторую жесткую оболочку, образуются стоячие волны, составляющиеся из сферических мод различных порядков.
Длина втих стоячих волн 1с' всегда будет !В С. Н. Росевссов меньше, чем длина окружности ().'(2оого), илн равна ей. Параметр го можно представить в следующем виде: ого с' 2ссо с' где с' — скорость изгибных волн в оболочке. В металлических оболочках не слишком малой толщины обычно с' довольно велико и часто может приближаться к скорости с в окружающей среде или даже больше, чем с. В таком случае может оказаться, что для сферических оболочек, колеблющихся в газе или жидкости, условие во~' 1 может не соблюдаться, и преобладание излучения 0-го порядка не имеет места; излучение приобретает направленный характер. Для иллюстрации этих соображений приведем формулу скорости изгибных волн в плоской пластинке ' ='Гà — „.„' р ~у -.—,; (омоо где а — толшина пластинки, 7 — частота, Š— модуль Юнга, р' — плотность материала пластинки.
Для сферической оболочки скорость волн определяется более сложными выражениями, причем она больше, чем вычисляемая по формуле (8,47). Формула (8,47) дает при а=! см и ~=3 1О' гц для стальной пластинки с'= 1,64 10о см7сек; при )'= 100 гц — с'= 1Оо см/сек. Таким образом, при низких звуковых частотах может получиться с'(с (для воды) и соблюдение условия яо ч.' ! для случая пластинки вполне возможно. Собственные колебания внутри сферической полости Потенциал скоростей в этом случае целесообразнее записать в форме (8,17) (положив В„= О, поскольку в центре сферы потенциал должен иметь конечное значение, а и (0)= = — со): Ф,„(г,б, ),г) = А„оР,„(д,У)/,„(г) с' '.
(8,48) На внутренней поверхности жесткой сферы, при г=яо, радиальная компонента скорости должна равняться нулю: о7 (го)= — )г — ) = — ЙА оР (В,4) —,/ (г)~ =О. Условие -сж — =0 определит частоты собственных колебаний оо'' (а) сс лс-го порядка. На основании формул (8, 21а) получим уравнение: сл)оо-о (Вс) — (вс + 1) lм н (во) = О (8, «) или, используя равенство (8, 15), ло7 ~ (Ао) = (во+ 1) У а (яо).
2 2 (8, 49а) По таблицам бесселевых функций полуцелого номера, можно найти корни этого уравнения. Учитывая соотношения (8, 26), условие для собственных частот представим также и в другом виде: (2т+1) Р (го)ебп о (зо) =0 или, так как Р,„(яо) ~'О, то а1п а„(г,)=0, откуда Таблица В 1,43 0,66 1,06 1,43 4,50 2,07 3,34 4,50 Более точные значения корней хо находятся из уравнения (8, 49). Полагая т=О в формуле (8, 49) для собственных колебаний нулевого порядка получим уравнение /,(г) = 0 или — — — '=О, откуда тяго=хо. (8, 50) ао ао Первые три корня этого трансцендентного уравнения равны: яоо = 4 493 яоо = 7,725 «щ = 10,904. Все эти корни соответствуют собственным колебаниям с модой (О, и). Для корня типа я,„мы всегда имеем (и — 1) корней, меньших чем яо„, для которых при той же частоте удовлетворится уравнение (8,50) при меньших чем го значениях г.
При этом условие равенства нулю радиальной скорости удовлетворится, кроме самой сферической оболочки, еще и на (и — 1) внутренних, узловых сферах, т. е. всего имеется и узловых сфер. Так, 22? о,л (зо) = поо. По таблицам функций о„(а) можно непосредственно найти значения го= — ' для собственных частот колебаний полости. с По таблицам о из книги Морза, можно найти приближенно первые корни для по=О, 1, 2 и 3, которые приведены в табл. 8. при я„= 7,725 = — ' мы удовлетворим уравнению (8,50) при той же частоте м„еще и при значении ам= '* ' = 4,493, ио е при меньшем радиусе сферы г;, радиус внутренней узловой сферы г1 = -' —" го — 0,581 гь ~ов Для корня зм получим две узловые сферы с радиусами: г~ = -"- г, = 0,413 г, и г ~ ' = —" л, = 0 708 г~ 2оа ~ез Индекс п соответствует числу узловых сфер, включая и самую сферическую оболочку, или, иначе говоря, числу пространственных отсеков, разделенных узловыми (т.
е. как бы твердыми) сферическими поверхностями. Для собственных колебаний с модами типа (1, п) получим из соотношения (8,49), полагая т = 1, уравнение собственных частот: 2з, А(з~) = /о(я~), из которого по формуле (8,16) найдем: 2г, 18 г, = 1 Первые три корня этого уравнения имеют значения: зи — — 2,082, лм = 5,940, зм = 9 206. (8,51) 228 Первый корень уравнения (8,50) для радиальных колебаний дает длину волны Лм=0,7(2г,), а первый корень (8,51) дает Ли =1,59(2г,).
Колебания этой моды представляют движения из одной полусферы в другую через среднюю (экваториальную) плоскость 8= †, на которой образуется пучиость скоростей и нулевое давление,так как Р, ® = соз — = О. Колебании этого рода сходны с колебаниями в закрытой с обоих концов трубе, где, как известно, Л = 27. Для сферы имеем, таким образом, меньшую длину волны Л„= 1,597 (если считать 1= 2га). Это можно объяснить, приняв сферу за короткую трубу длиной 1 с закругленными концами. В такой трубе будет увеличена эффективная упругость (вследствие уменьшения объема концевых частей), а эффективная .масса, определяемая массой сферы в зоне наибольших скоростей, будет почти неизменной.
Следовательно, собственная частота должна повыситься. Условис (8,49) дает значения всех собственных частот м„ вЂ” и позволяет найти значения радиусов внутренних узловых ге сфер. Следует учесть, что колебания порядка гп могут соответствовать любому типу сферической функции (8,8): т а„„Р,„(й,ф) = а„, Р,„(Ь) + ~~ (а„„соз «~г+ а,'„„з>п»(>)Р~и(Ь). у (й „г„)=0, или Р„,~(а) — 0 (8,52а) а „соз«(+а',з(п«(>=0.
или Третье условие определяет наличие » меридиональных плоскостей, по которым давление равно н«лю. Поскольку, согласно равенству (8,10) Р'"(а)=з(п(а) „„, мы всегда будемиметь Й"Р (х) решение а=О,я; таким образом,ось всегда является линией нулевого давления. Производные»-го порядка от Р (х) являются полиномами степени (т — «) относительно х. Условие — „„"=0 дает 4х« уравнение(т — «) степени относительно х, у которого имеется В полости сферы могут поэтому образоваться отдельные ячейки, не только разграниченные сферическими узловыми поверхностями (являющимися как бы жесткими границами этих ячеек), но и ячейки, разграниченные узловыми конусами и узловыми меридиональными плоскостями. Число меридиональных узловых плоскостей равно числу», а число узловых конусов равно (лт — «). причем один из конусов всегда вырожден в осевую линию (Г>= О, 8= >«). Вид ячеек, на которые сфера разбивается, при колебаниях порядка т, можно также определить из условия максимума колебательной скорости, что соответствует нулевому значению звукового давления, а значит, и потенциала скоростей.
Это условие будет выполнено для зональных мод, если Р (соха)=0 или г (й „г„)=0. (8,52) Согласно формуле (8,0), Р (х) представляет полипом и-й степени от аргумента х=соза. Полиномы этого вида имеют лт действительных корней, попарно равных и имеющих разные знаки. Таким образом, поверхности нулевого давления представляют конусы, соприкасающиеся вершинами в центре, с общей осью и равными углами при вершине; ячейки будут разграничены по полярному углу коническими поверхностями. По радиусу их границы определятся из условия >' (к „г„) = О, причем г„ принимает ряд дискретных значений, меньших >;. Для колебательных мод, определяемых присоединенными функциями, условия нулевого давления на различных границах ячеек имеют вид: (л« вЂ” «) корней, определяю~них (л« вЂ” «) конусов нулевого давления.
Как и для зональных мод, эти конусы соприкасаются в центре, т. е. являются двухполостными. Итак, если имеются присоединенные функции, то поверхности отдельных колебательных ячеек разграничиваются сферами нулевого давления (число которых меняется от 1 )!о и), меридиональными плоскостями (числом «) и конусами (числом («л — «)). Г!ри (и — «) четном пара конусов вырождается в экваториальную плоскость. Условие (8,49) дает все собственные частоты е „, соответствующие значениям индексов т и п. Однако характер колебаний при данном е „ может быть, очевидно, совершенно различен в зависимости от значения индекса « (т.
е. числа узловых плоскостей). Таким образом, следует характеризовать колебательную моду сферической полости тремя индексами и, п, «. Найденные нами корни уравнений (8,50) и (8,51) для тл=О и т=! соответствуют модам (О, п, 0) и (1, и, 0). Общее число различных геометрических конфигураций при заданных п и и равно числу постоянных уравнений (8,8), т. е. (2т+1). Конфигурации, соответствующие постоянным а „и а,'„„отличаются только поворотом на 90' вокруг оси г, поэтому существенно различных конфигураций будет всего (т+1). Собственные частоты сферической полости до высоких порядков вычислены для различных значений п и и Феррисом "'. В табл.
9 приве- 2«г дены значения для г„„= г;. с Следует заметить, что условие разбивки поверхности сферического излучателя назонывыводится так же,как и в (8,52) из равенства нулю отдельных членов сферической функции Р (В,ф) (см. (8,52) и (8,52а)), что соответствуетодновременно равенству нулю радиальной компоненты скорости по определенным линиям на сфере (см. (8,23)). Для сферического излучателя при и=! из условия Р,(9)=0 получим на поверхности две зоны, разделенные узловым кругом (экватором). Сферический резонатор для моды (1,0,0) имеет, кроме поверхности г=г„только узловой конус, вырожденный в линию (полярная ось).
Скорости, перпендикулярные к оси, отсутствуют, вся сфера является одной цельной резонансной ячейкой, в которой имеются потоки, двигающиеся из одной полярной области в другую и обратно. Если за критерий разбивки взять условие Р,(Э)= О, то экватор будет поверхностью нулевого давления, он разобьет сферу на две ячейки. При и = 2 и «=0 для излучателя имеем три зоны: от 0 до 55', от 55' до 125' и от 125' до 180'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
