Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Для решения вопроса об излучении колеблющейся сферы введем сферические координаты, согласно соотношениям, вытекающим из рис. 62: х=г а1п Ь соя ф, у=г ° мп а. згп ф, а=г ° соха. д'Ф Волновое уравнение с'ЬФ = — „в сферических координатах дм примет вид: Для установившегося периодического волнового процесса с круговой частотой ы можно принять, что потенциал скоростей звукового поля Ф (г,а,ф,г) = $' (г,а,ф) е '"' Исключая в волновом уравнении время, получим: Обозначив оператор, даваемый выражением в квадратных скобках, через Ь,%" и умножая на г', имеем: (8,4) Будем решать уравнение (8,4) по методу Фурье путем разделения переменных Положим: чг (г,а,ф) = )~ (г) у (а,ф). (8,5) Подставляя это соотношение в выражение (8,4), найдем: д (~дЛ(г)) дг ( дг / ~ Ь!)'(а,ф) д(,) +й~ = г(а,ф Правая и левая части этого уравнения могут равняться только постоянной величине 1.
Получим два дифференциальных урав- нения, связанных обшей постоянной Л.Для функции /с(г), которую обозначим просто гг, уравнение имеет вид: —,)г' — ) д ( д/с') дг( дг) аа да/7 2 дя / а Л1 + й'г'=Л или —,+ — — +[йа — —.,-~Я=О (8,6) (здесь знак частной производной заменен на знак полной, так как функция /с зависит только от одной переменной г). Для функции )г(Ь/[/) получим дифференциальное уравнение: д,У+ЛУ=О, или 1 д /. дУ1 1 д'У .,— „;~ Ь вЂ” да )+, — д,, +ЛУ=О.
(8,7) Уравнение (8,7) определяет особый вид функций, называемых сферическими или шаровыми. Для него, как известно, существует однозначное, конечное и непрерывное решениее лишь при условии: Л=т(т+1), где т=О, 1, 2, 3 ... Частным решением уравнения (8,7) будет сферическая функция порядка т 1-го рода, называемая часто поверхностной сферической функцией: У' (Ь/[/)=а„аР (созЬ)+ ~; (а,соз«[/+а' ..з[п«[/) Р(')(созЬ) (8,8) где Р (созЬ)=Р (х)= — — (ха — 1) т! т [ щ « 1 ° 3 5...(2т — 1)Г т т(т — 1) т « 2(2т — 1) +т(т — 1)(т — 2)(т — 3) ~ а+ 1 (80) 2.
4. (2т — 1) (2т — 3) полиномы Лежандра, выражающиеся только в функции от х=созЬ. Они называются также зональными сферическими функциями, или сферическимн функциями 1-го рода. Функции вида (а„, соз «ф+ а,'„, з(п «с/) Р1Я (х) есть присоединенные сферические функции 1-го рода, зависяшие и от Ь и от ф. Функции Рфсозв)определяются выражением: Рт(") (х) = (1 — ха)"/' —, [Рт (х)[, (8,10) где второй множитель является полиномом степени (т — «). :" В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. Ш, гк Ч1. Гостехвалае М., 1956.
207 Сфеоическая функция в виде Р (Э,Я= " ' =Р (х)+ =т ет + Ъ ) --' соз хФ+ —" з1п ч~Ф ) Рел (х) .с )а„, ащ, / О$ =! (8, 12) будет далее использована при решении волнового Для решения уравнения (8,6) положим Я(г) Л=ги(т+1); тогда уравнение (8,6) приведется к Бесселя: уравнения. )г (г) — и уравнению Решением этого уравнения является линейная комбинация 1) функций Бесселя и Иеймана порядка (т+ — р 2)' У (г) = А,'„.У, (яг)+ В' М, (йг).
(8,13) т -1-— а т+— 2 Здесь А" и В' — произвольные постоянные. Функции У, и я+— е М, имеют осцилляторный характер. м -1-— 2 Для исследования процессов излучения удобнее воспользоваться функциями Ганкеля 1-го и 2-го рода, которые качественег'г е и' но подобны функциям '= и —..
Они выражаются через 1' г )гг функции Бесселя и Неймана: О„"(йг) =.~,(йг)+у ~,(йг) Ор (ьг) lе (ьт) /л)е (Ь ) 20З Для первых порядков имеем следуюп)ие выражения: Р„(х) = 1; Р, (х) = х; Р, (х) = — (Зх' — 1); Р, (х) = .-(5хе — Зх); Р~, >(х)=0; Р1(х) — — (1 — хя) и= а)п Э; Р3 ' (х) = 3 (1 — х )"-' х = 3 з )п и сов Э; РУ' (х) = 3 (1 — х') = 3.
з)п' Э; Р'"' (х) = Р (х); Р1 1(х)=1.3 5... (2т — 1)(1 — х'у"'г =т з)п™Э, где т=1.3 5...(2т — 1). с(п г ссп г ус(е)= —; ио(Я)= — —; Миг созг Мп г опт /~(е) = — — — и,(е)= — — —, с2 гз !) . з ./,(Я)= ( — — — ) Б!п е — — соз е. (,сз « ) св ! з . (з ия(е) = — — мп е — (' — — — ~~ ° соз г. г' ( з )' Ф (8„18) или Ф (г,з,),Е)=а,Р,„(Ь,Ь) ° К"(Иг) е' '+ + Ь,Р (Ь, )) . Ы„'(Ю е) '. (8,18) Произвольные постоянные А и В в решении (8,13) для функции )с(г) мы отбрасываем, поскольку уже вводятся произвольные постоянные А„, и В, или а, и Ь,. Сумма решений вида (8,17) или (8,18) является общим решением волнового уравнения. Потенциал скоростей при исследовании собственных колебаний сферической полости удобно выразить в виде (8„17), причем следует полохсить В ,= О, поскольку и (О) = — со, а в центре сферы должно получиться конечное значение потенциала.
Для расчета собственных частот сферического слоя необходимо учитывать второй член. Г!ри исследовании процессов излучения в свободное пространство второй член (8,17), содержащий функцию и'„",(Ат), следует отбросить, так как он соответствует волнам типа ео"'+мз/г, т. е. волнам, сходящимся н центру, которые ие могут возникать при излучении в свободное пространство. Функция )Г"'( ) является комплексной. Представим ее в виде: Ь'и (я) =у (е) — /и (г) = 6 (г) .
е-)' ы) = = 6„ (е)[соз с (е)' — у'з!п с (г))! 0~(я)= Г 77 (Е) + И)п(я); п,„(г) ьп (с) ип а„(я) — (, созс (е) (8,19) 2!О Из формул (8,14) и(8,15) ясно, что при г — оо сферические ганкее' е' левы функции 1 и 2 рода пропорциональны — и '— ; таким образом, Ь~ь(г) совпадает с функцией излучения точечного источника. Учитывая подстановку К(г)= — можно записать частные г'(г) ф'г ' решения для потенциала скоростей в двух формах: Ф,„(г, Ь, у,г) = А „Р,„(Ь, ф) / ()сг) е'"'+ +В оР (Ь, 7) и (Ьг)е'"' (8,17) Функции / (в), п (л) и ЬД'(з) обладают следующими свойствами: п (в) г о гя /ш (~) — (2уя ! !), Ьи" (я) / г о гл+ ! / (в)- —;соз(в— г о 2 п„(а) — ь - син (л — ~~ и), т+! СО общие свойства функций /(в) и п(в) )(8,21) / -~(а) +/ + (л) = ' / ( ): —,/ (л)= „,+, ~ / — (л) — (п+1)/ ()); —,', ('"/.
(в)) =~- ./„,(г); [~ /ра (~) ) 2 /щ~-1 (~) ! ' =Я-'--- Л (з) е/л= — /в (г); ~уо(г) г'е/в = я'/, (в); зв г /т (3) В 4/Я = — 2- ~ / я (Я) — /ел 1 (З) /л,е, (3) ~ ' П!УИ Пз) О пт — в (я) '/т (в) пт (я) '/т-1 (а) в ! ! ) /о(г)г'! = — 2 ~Л(л)+п (л)/1(г)); ~ По(Е)л «Я вЂ” 2 ~Пб(з) /о(Я) ° П1 (в)~ (8,21 а) (8,2!б) Таблицы функций / (я) и п (я) приведены в книге Морза в. Из сказанного выше следует, что процессы излучения целесообразно исследовать, записав потенциал скоростей в форме суммы решений вида (8,18), причем постоянные Ь„„полагаются равными нулю: Ф(гг4фф=',г„а,„в Р,„(аф) 6„(в) е У'"" еУ'"'= =~;а„, Р (а,ф) Ь"'(з) еу '. (8,22) * Ф. Морз.
Колебания и звук. Госзехизлац М., !949. И' 21! Учитывая соотношения (8,14) и (8,15) для Ь"'(в), получим: Ь"' (г) =/ — +, т [1+/в+ ! (/з)'+... 1. (8,20) Кпэффициенты разложения а, определяются, если учесть распределение скоростей по поверхности сферы, записанное в форме (8,2) или (8,3). На поверхности сферы должно соблюдаться условие равенства радиальной скорости поверхности с радиальйой компонентой скорости в окружающем звуковом поле, т. е.
п(й,ф)'"= — —",,, „= = — )т ~~ а,Р„,(О,ф) — [Ь'„т'(а)~ едм . (8,23) м=о Используя формулы (8, 21а), получим: Пй„"т'(г) ;, =2.+)([шу.— — (т+1)у-,1— — фпп„т — (пт+ 1)п „Д = О„(д) е э ' (8,24) -/[а. (г)+ 1 где положено: 1 От(д) — 2-„-,-) — ) Х Х)'[ту',— (и+1)у „1Я+[ап т — (т+1)п +1]а, ! — ):)„( ) 8.( ) =, +, [ у', — ( +1) у'.„). (8,25) (8,26) 2!2 Величины т") ('л) и 8 (л) совпадают с аналогичными величинами, вводимыми Морзоме. "' Во многих современных учебниках и работах по теоретической физине, а также в книге Морза „Колебания и звук" функция излучения то— оь о чечного источника берется в форме — е ож л"' и в связи с этим решение г для сферического случая выражается через функции Ганкеля 1-го рода Л*''(г).
Поскольку в большинстве стэрых работ по акустике (в частности т-ат в .Теории звука" Р4лея) используется функция излучения — ей"т л"'и приг меняются функции Ганкеля 2-го рода, мы предпочли этот способ написания. Чтобы иметь возможность при этом решении пользоваться полезными тэблипэми Морза лля функции () (lгг) и ам(лг), нами введено опрелеление этих функций в 4юрме (8, 24), отличйой от ойределения Морза. Функции 0„,(г) и Лм(г) по Морзу (стр. 351) определяются так: лймо'(г) т~ ..
[а (г)+ — *. = — [утл(г) +/и„, (г)) = В„,(г)еут м э 1' оЖг',„(г)1 В выражении (8,24) нами берется сопряженное выражение [функция ог по сравнению с выражением Морза. Благодаря такому определению функции О„,(г) и а,(г) выражаются через ум(г) и пм(г) так тке, как у Морза, и во всех дальнейших формулах можно безоговорочно пользоваться табличными данными из книги Морза (табл. Х!, стр. 484). ЕЦг)= Р,+ ! 18 3,(г)= „, (8,27) 1 4+Р 3,, 21я г — о!!я г — 2г 0о(з)=,о; !8 Ф= Предельные значения Е) и 3 при больших и малых значениях з будут: ! 1 о! '! 11о(З)г.аоо о! 3о(я)о~о! 3 ! "~о(З) мт о! о! 3! (, )оио! ! — + !1 о!оооо ' В,о(З)о<щ —,щ,-.— о т(З)г ет —,„о!2л! ! !)(и ! !1 (8,28) В (з)= —,, ! о> о! ать и -1- 1 го т 2 Приводим также предельные значения для функций 6„(з), о (г) и Ь"'(г): 1 ! 1 1-!о (З)г~!о = " оо (З)о~!о = З 2 ! П! (З)о~!о о го о, (г! 3 2! (8,29) 3 оо Оо (з),~„ — о, оо(з),„ о!о!о! О ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
