Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Произведя некоторое преобразование (7,33), найдем импеданс на входе (и — 1)-го слоя: У в!и Ы„, +Л „" сов Ил-в У'„" У яп И„, + сов И„ =Х,' ! — усфк1„!+ + 7 с!я И „,(2;," / в!и И„, + сов И„,) + 7 яп Ы„, + Я'„" сов И„ Л 7 яп Ыв в+ сов Ыв 7 яп Ы„ =Х „' ! — 7'с1дй7„в+ 7 яп И„, (Л'„" — ус!я А!„й 1 Формула (7,35) дает общее выражение импеданса на входе некоторого (и — 1)-го слоя через импеданс на входе следующего, п-го слоя.
Применяя выражение (7,35) к (и — 2)-му слою, для чего вместо Л'„* надо будет подставить Х" ь найдем: Е„в= И„в+у(7сМ„в — с1а)с7„в) + 1 'И„,[К„,+ ., !! яп'Ы„в'Ео з Продолжая процедуру нахождения импеданса на входе до 1-го слоя, на входе всего поглотителя получим импеданс в виде непрерывной дроби: г- =к!+,, в!и' Ив 1 в!п Ыв1 1 'с в!п Ив ( 4+ + + ясп И„, У„' (7, 36) Здесь 2! — — 9!+7(УгМ! — с1и7в7!), а величины Л„Ев, Ле.. оп- ределяются формулами (7,35).
Они представляют импедансы парциальных систем, получившихся при закрывании всех от- 191 верстий, кроме одного. Так, Е, составляется из импеданса 1-го отверстия Е с присоединенными к нему с обеих сторон трубками длины 7, и 7,, В. С. Нестеров, предложивший вывод формул (7,35) и (7,3б), дал подробные методы расчета входного импеданса многослойных систем при помощи специально построенных номограмма. Многослойные резонансные системы можно рассчитывать также при помощи импеданс-диаграммы. Теории резонансных звукопоглотителей посвящено значительное количество работ. Двухслойные и трехслойные системы рассчитаны С.
Н Ржевкинымвв и В. С. Нестеровымв*в. Акустические фильтры Отрезок трубы можно трактовать как симметричный четырехполюсник (гл. 5) и написать для него по методу электро- акустических аналогий уравнения: 'ага = А(;+ В?ь А = С К~ + с)г'ь где (7,37) А=7:)=Сп?7; В= — ' ой?7; С= — ! 5 Величина Т='!1+!и (см. гл.
5) есть постоянная распространения за*в. Отрезок трубы является симметричным четырехполюсником, так как для него коэффициенты А и хл равны и коэффициенты А, В, С и х) связаны соотношением: Ахт — ВС=1 (7,38) (справедливым также и для несимметричного четырехполюсника). При соблюдении этих условий можно исключить два параметра и для характеристики симметричного четырехполюсника использовать из четырех параметров А, В, С и Р только два Удобнее ввести два новых параметра.
За один из них примем волновое сопрогпивление или характеристический импеданс четырехполюсника са. Для трубы длиной 1, на конце которой присоединена бесконечная труба того же сечения, на выходе " В. С. Н е с т е р о в. ДАН СССР, т. ХХХ1, №3, 1941, стр. 23?. *" С. Н.
Р ж е в к и н. ДАН СССР, т. ХХ!1, №9, !939, стр, 668. ваа В. С. Нестеров. ЖТФ, т. !Х, вып. 19, 1939, 1?27; т. Х, вып. 8, 1940, 61?. *ч*" Мы применяем здесь лля акустических величин обозначения, принятые в теории злектрических линий и фильтров. дальнейшее изложейие теории акустических фильтров совершенно аналогично теории электрических линий и фильтров.
192 имеем волновое сопротивление Х, = — = —. В этом случае из Р» !г Я' вырамсений (7,3?) и (7,38) следует, что Ситг — + — Зьтг Ъ'» рс 1» й» РР 11 1 Зитг 1, — -=?-=гь — ' -1+ситг рс 1, Я откуда 2 -~/В (7,39) Для определения Г положим — '=ег и найдем: Уг е'= ' ' =А+ — =А+ ~/ВС=А+ у'А» — 1 Так как ег=СйГ+ЯЬГ, то А=)Э=СЬГ;1»гВС= г'А» — 1» 811Г, или зьг и С=-'— » В= Е»8ПГ Таким образом, Г = агс С11А = агс Яп (ВС) "».
(7,39 а) Из формул (7,37) найдем сопротивление короткого замыкания четырехполюсника ЕР и сопротивление холостого хода Л , полагая соответственно ?» = О или К~ = О: В А А и Е„=с. 1З с. н. е 193 т. е. волновое сопротивление (акустическое) отрезка трубы, замкнутой на волновое сопротивление, также равно --=Хг рс За второй параметр примем натуральный логарифм отношения — (которое при нагрузке на 2» будет равно — ).
Этот пар"~ О раметр называется постоянной распространения четырехполюснина Г. Величины 2» и Г полностью характеризуют симметричный четырехполюсник. Определим Е» и Г для случая симметричного четырехполюсника. Положим Е,= — =Л», тогда $"у '»»» 1» Из этих соотношений получим важную формулу: е.ее. =~=Ло или Ее —— Уеье. в Все выведенные здесь соотношения, равно как и дальнейшая теория фильтров, годятся не только для отрезка трубы, но и для любых симметричных четырехполюсников, удовлетворяюшнх (7,38) при условии А=О. Если на выходе симметричного четырехполюсника включен произвольный импеданс Ео то на основании (7,37) — = СЛГ+ — ВЛГ = СЛГ (1+ — ТЛГ), -'-= СЛГ+ — 'ЯЛГ = СЛГ(1+ — ' ТЛГ)'ь т. е. —, ~ —; но если Ле=Л„то — = —. Уь Ть Уь гь У! Уз б Импеданс к.; на входе уже не будет равен 2е: тлг+ — 7 ~ь= ~е т (7,40) ТЛà — з+! ~е При больших значениях затухания Г(ТЛГ-1) и при условии 2,)) Л; или е.з~Яе из выражения (7,40) найдем, что 2;=Еь независимо от импеданса к,, на выходе.
Педрезиие зреььи Рис. 57 Л.еррезиьа зреиьи 1 7 Рис. 58 Построим систему акустических сопротивлений в виде сочетания ряда одинаковых ячеек, присоединенных друг к другу и образуюших бесконечную цепочку. На рис. 57 и 58 такая 194 цепочка изображена схематически аналогично цепочке нз электрических импедансов.
Схема на рис. 57 показывает цепочку, состоящую из Т-образных звеньев; одна ячейка (обведена пунктиром) содержитдва импеданса — в последовательной ветви и 4 2 ° ' / / Т-Йьа Рис. 59 импеданс Лс в параллельной ветви. Цепочка на рис. 58 состоит из П-обрззных звеньев: Е,— в последовательной ветви и 2Л,— Еф в параллельных.
Очевидно, два последовательных импеданса в средних звеньях Т-цепочки могут быть соединены в один импе- П-ив Рис. 60 данс Е, и лишь на концах остаются импедансы —.Анологично г, в П-цепочке параллельно соединенные срединные импедансы 2Е, превращаются в Е, и лишь на концах остаются элементы 22, в параллельной ветви. Акустическая модификация бесконечной цепочки, состоящей из отдельных ячеек, показана ка рис. 59 и 60. 195 ияс ш вивалентиой электрической схемы (рис. 61) при условии, что импеданс на входе звена равен Лм когда на выходе имеется также импеданс л.,: ко 2%+ 2.+~ Ь'О ) 1'о — ~1о — — ) Е~ = 1'ы 2Е,! Решая эти уравнения относительно Ь; и 1„, найдем: а 11 т 2ф 1'г т 2~(с У! ~о = — У вЂ” ~' + (1+ 22.) ~. Из этих уравнений ясно, что коэффициенты П-цепочки будут иметь следующие значения: 7~ 42, С= —- Уз А=В=1+в Волновое ;опротивление В= ы1 Последовательные ветви Е, осуществляются в форме отрезков трубы, параллельные — в форме объемов к', присоединенных сбоку через прорезы между узкими трубами или через боковые отверстия в них.
Найдем параметры Е, и Г дли Т- и П-цепочек. Для П-звена ~' о будем иметь определенные соотношения давлений -- и объем- 1 ных скоростей — на входе и выходе, легко выводимые из эк'л ~~о 1 ~~о Яз 1 к а постоянная распространения на одно звено определится из соотношений: у, ~ ! ~ (7,42) Для 7'-цепочки таким же путем найдем: ~."= $72,А ф 1+4'-,' ° Величина Г, для Т-цепочки бу,дет определяться теми же соот- ношениями (7,42). Для одного звена того и другого вида имеем: Ъ', = Сй Г, 1; + Е, Яъ Г, У,, 7,= .
' ),+СйГ, 7,, злг, при условии, что на выходе стоит импеданс Е, = л.и равный волновому сопротивлению. Для цепочки из п звеньев постоянная распространения Г = = пГь Импеданс на входе такой цепочки останется равным 2и как и для одной ячейки. Если импедансы 2, и 2, чисто реактивные, то можно положить: г, =ух, и г,=уХ„ где Х, и Х, могут быть положительны (инерционное сопротивление) или отрицательны (упругое сопротивление). В этом случае (7,43) Постоянная распространения для звеньев обоих видов определяется из соотношения: С1~Г,=1-;,—; Я~ = -- ' (7,44) 3 х, Если Х, и Х, имеют одинаковый знак, т.
е. если и в последовательной и параллельной ветвях стоят только инерционные или только упругие сопротивления, то, согласно соотношению (7,44), Сй Г,) 1 и Г, будет вещественным. Цепочка будет лишь ослаблять амплитуду, не изменяя фазы. '! акие цепочки называют аел~енюалюрами. Точно так же будет вести себя цепочка, состоящая только из активных сопротивлений. 197 Если Х, и Х, имеют разные знаки, то величина СйГ, вещественна, но меньше единицы и даже может стать меньше нуля. В этом случае Г, комплексно: Г, = Ь+уа, (?,45) где Ь вЂ” постоянная затухания, а а в фазовая постоянная, рассчитанная на одну ячейку.
Фазовая скорость (число ячеек, проходимых волной за единицу времени) будет равна Если СпГ, ) 1, то Г, — вещественно и а = О, а фазовая скорость бесконечна. Волновой процесс в таких цепочках (аттенюаторах) невозможен. Если С11Г,(1, то, учитывая (7,45), получим СЬГ1=СЬЬ СЛ/а+ЗЬЬ 85/а= =СйЬ сова+/85Ь з(па, Согласно (7,44), величина Сп Г, всегда вещественна, а при разных знаках Х1 и Х, она меньше единицы.
Вещественная величина Сп Гь согласно равенству (7,45а), может получиться в двух случаях: 1) БИШЬ=О, или СЛЬ=1, 2) з1па=О, или сова=-+-1. В первом случае, очевидно, Ь=О. Величина Г, определится из выражения: Сп Г, = Сп Ь сов а = соз а = 1+ - -з = 1 — — '. (746) ~х,~ 2Х~ ~ Хз| В этом случае затухание отсутствует (Ь = О), а фаза изменяется при прохождении каждого звена на величину а. Чтобы а имело вещественное значение, очевидно, должно соблюдаться условие: — 1 ) соз а ) + 1, то есть — 1(1 — ' ' (+1 или О~+~ 4.
(7,47) Это условие применимо как для Пч так и для Т-фильтров. Поскольку Х, и Х,— функции частоты, то условие (7,47) может быть реализовано только в определенной области частот. Какова будет эта область, зависит от вида функции Х,(м) и Х,(м). Из формулы (7,43) ясно, что при соблюдении условия (?,47) волновое сопротивление цепочки будет чисто активным. Ло втором случае Мп а=О, т. е. а=О, или а=я, а Ь О. При сова=+1 (когда а=О) получим: Сйр =СйЬ=1— ~ ~ХП 2 )Хч( ' 198 При сова= — 1 (когда а=я) СЛ Г~ —— — Сй Ь =1 —,— ~ — '~, 2 ~Х:~ ' (7,49) или Сп Ь= — — — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
