Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Относительная скорость здесь имеет двойную величину по сравнению с переносной скоростью среды, создаваемой волной, а абсолютная скорость становится равной тройной скорости частиц в падающей волне. Проанализируем этот вопрос в связи с возникновением присоединенной массы. Как известно, присоединенная масса осциллирующей сферы равна половине массы среды, вытесняемой 1 2 сферой, т. е. — к'р= — ига р. В уравнение движения сферы следует включить инерционную силу, равную произведению массы сферы )Ур на ускорение в абсолютном движении уюту и инерционную силу в относительном движении, равную произведению присоединенной массы — нр на ускорение в относительном ! 2 движении /юу..
Уравнение движения примет форму: (гл| —.у — 'во= — ую( Р~уа=/"" (рЧл+ 2 — Чл1. В это уравнение входят амплитудные значения сил и скоростей, так как разности фаз между Е„, 4. и ~у„нет. Учитывая, что д,'„=д„+д„получим из уравнения движения у,'=2 —,Ч„ Р Р г-+ р т.
е. выражение ((9,41) уже выведенное ранее. Дополнительная сила, вызывающая относительное движение, возникает вследствие действия рассеянной волны и будет равна произведению присоединенной массы на относительное ускорение: ~Ех~ — ( 2 ) /мЧх=/а ( — ) 2 Чо. Если р~р, то ~Р'! дь — дм т. е. амплитуда дополнительной Ъ'р силы положительна (направлена против движения частиц среды) и равна инерционному импедансу присоединенной массы, умноженному на амплитуду скорости частиц среды. Эта сила вызовет движение со скоростью +~ум обратной скорости движения среды и в результате д =О.
Приз=э сила Р" =О, а при р<'р сила будет равна: Рх= — /м~"РЧо= — /" ( ~ ~2Чо= — У" ( )~7х. !ь'р) . /ь'р~ 2 Следовательно, сила Р,' отрицательна, т. е. направлена в ту же сторону, что и скорость частиц среды. Она получается умножением импеданса присоединенной массы уа( — — ) на относи- ! $'~ 2 тельную скорость сферы ( — 2д,).
Поскольку в данном случае дополнительная сила вызывает движение вдвое меньшей присоединенной массы ( — ), то она сообщает .ей удвоенную / Ур скорость. Всплошнойсреде(р=р), как это видно из равенства (9,40), эта сила вызывает амплитуду скорости движения массы Ь'р, равную ( — до). Рассмотренные вопросы имеют значение при изучении колебаний легких частиц, взвешенных в жидкости (например, пузырьков газа), а также при расчете колебательного движения тел, имеющих положительную плавучесть, погруженных в жидкость.
В последнем случае под р следует понимать среднюю плотность всей системы. Выясним, будут ли применимы полученные выражения для скорости движения сферы (имеющей плотность отличную от плотности среды) при учете вязкости среды. В частности, рассмотрим этот вопрос для колебаний газовых пузырьков в воде. Амплитуду силы сопротивления, действуюптей на сферу в вязкой жидкости, можно рассчитывать по формуле Г„= С !от~,') где С вЂ” коэффициент сопротивления, известный из гидродинамики е, зависящий от величины относительной скорости от',. Учтем, что сфера при колебательном движении в случае газового пузырька испытывает инерционное сопротивление, амплитуда которого равна: Е~ = М вЂ” 2 — ( — 3 — ЯГОР) 2ОУΠ— Ы ( — КсаР) Оух Следовательно, отношение амплитуд инерционной и вязкой сил 4 2 г' 3 о —,— юг — — оооо 3 СР„СР.
Для колебания газовых пузырьков формулу (9,38), которая выражает условие превышения амплитуды осцилляционных колебаний над пульсационными, можно записать в более жесткой форме: —. =(2, откуда го Х (83, или 7 ( — „ 19,43) Для чисел Рейнольдса Яе), меньших 1,6, коэффициент 24 , 24ч С = — и Со7„' = — „, где ч — коэффициент динамической Ке о вязкости, и из соотношения 19,42) получим условие превышения инерционных сил над вязкими: 2 Условия 19,43) и 19,44) дадут совместно область частот, в которой приближенно применимы выражения 19,40) и 19,41) для колебательной скорости пузырьков различного диаметра. При 0=18е и ч 10 ' г.см тсекчо получим: 0,057 20 — (Х( —.
о!о "о При различных диаметрах будем иметь: отоо — — 0,1 см, 6,3()'(200; ооо — — 0,01 см, 630 ()'( 2000; 4,=0,003 см. 6300(~< "6700. о См. Пр а ад та ь. Гидроаэромеханика, ИЛ, 1949, стр. 239, 285 Таким образом, формулу (9,40), определяюшую чисто осцилляционные колебания, имеет смысл применять только для пузырьков диаметра большего 0,003 см и лишь в узкой области звуковых частот. При высокой температуре нижняя граница понизится по частоте; при 0= 70' она понизится в 2,5 раза, Условие Ке (1,5 всегда выполняется для пузырьков любого размера при малых амплитудах колебаний (1т„'(0,1 слс/сек); ,положение меняется для больших амплитуд.
Так, при амплитуде давления р,=2 10' бар — 2 алтая получим ~7,=13 слг/сек и г7„'=2б см/сек. В этом случае Ке)2 для пузырьков с диаметром от 10 ' до 10 ' см; используя экспериментальные данные для величины С(Ке), получим, что Т может быть больше единицы лишь для пузырьков с диаметром, большим 0,1 слг в узком диапазоне низких звуковых частот; так для аа=0,2 слг: 35 (7'( 100. Дли сферических оболочек большого диаметра, погруженных в воду и имеюших среднее значение р(1 (положительная плавучесть), можно подсчитать ярам исходя из известной формулы Лява* для тонких оболочек: 2 Е яа' 2(1 — а) р' ' где р' — плотность материала оболочки и а — коэффициент !1уассонз.
!!ри рассмотрении колебаний оболочки в воде следует учесть увеличение массы за счет присоединенной массы воды Л4=4яг;"р. Это вызывает понижение резонансной частоты до значения: 1 Леа =' ~рея ~уг г„ ~/ 1+ лр Стальная оболочка с диаметром сКа = 50 слг и толшйной й= О, 3 см имеет 7р,а — 1540 гй.
Условие (9,38) даст верхнюю границу частот 7"( 2500, т. е. выше у,'„. В этом случае средняя плотность р = 0,28 и из формулы !9,41) получим: д' = — 0,92да и д„= — 1,92г7а. Устанавливая внутри оболочки устройство !типа сейсмографа) и измеРЯЯ им д„можно, Далее, вычислить !та и амплитУДУ звУ- кового давления р,=реда. * См.
А. Л я в. Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935, стр. ЗОО. ГЛАВА 10 ИЗЛУЧЕНИЕ И РАССЕЯНИЕ ЗВУКА ЦИЛИНДРОМ Общее решение волнового уравнения в цилиндрических координатах Волновое уравнение для потенциала скоростей, записываемое 1 дса в декартовых координатах в форме ЬФ= —,—, или (в предпоет дп ложении Ф(х,у,г,г)=Ф'(х1,я).ег"') Ь%+Апу=О, в цилиндрических координатах прйнимает форму: где г, х и е — координаты некоторой точки (радиус-вектор, вы- сота и азимутальный угол).
Полагая Ф'(Г,л,т)=2:(л) 0(г,ч), расщепим это уравнение на две равные друг другу части: д ! до'1 дч2 д"-Л ! дг~, дг), 1 дт' ди-" в + —, +й' = — —. =~г', 0 г' О х г зависящие одна лишь от г и т, а другая — от л; через А; обозначена разделительная постоянная. Итак, мы получили два дифференциальных уравнения для определения функций О(г, Г) и л.(г)1 ~-~+ Й..Е 0 д ( ~~)+д ~+(А' — А',) 'О=О. Первое уравнение имеет решение: Л(л)=А'е ' +В'е ' =(А'+В')созе,г+ -+/'(А' — В') 81п Й,з. 287 Второе уравнение решаем, предполагая сг (г, р) = г';> (г) ° Р(ср), что приведет методом расщепления к двум дифференциальным Уравнениям: г ег ' (и Л „,)Й=О, (10,2) — ";„;+т Р=О, где гп — разделительная постоянная.
Первое из этих уравнений является уравнением Бесселя и имеет решение: В(г)=А У.(и, )+В др.(й,г). (10,3) Здесь У (рг,г) и М (й,г) — бесселева и нейманова функции по- рядка пг а параметр Й, определяется соотношением: е,' = И вЂ” е'„ (10,3 а) где й= — — волновое число. Для анализа излучающих систем с удобнее взять решение в функциях Ганкеля (см. гл.
8): Я(г)=А' Н„'в(е,г)+В' Н„"~(е,г), причем первый член, соответствующий волнам, сходящимся к оси (и содержащий множитель е"г'), при этом следует отбросить. Для анализа собственных колебаний в цилиндрической полости удобней использовать выражение (10,3), где постоянную В сле- дует положить равной нулю, так как ДР (0)= — оо, что не может соответствовать реальному физическому процессу.
Вто- рой член в (10,3) следует учитывать в случае цилиндрических кольцевых каналов или секторов, в центре которых имеется цилиндрическое препятствие, недоступное дли волн. Второе уравнение (10,2) имеет решение: Р(у)=А,ет '+В, е ~ '=А, сов тр+В~ а)ать =Асов(тр — т ), где А=)/А, '+В и тй'г =у. Выражение для Р(р) дает однозначное решение только при условии т = О, 1, 2, 3 ... Когда излучение звука возникает под действием волн, бегущих по поверхности цилиндра в азимутальном направлении, функцию Р(р) следует взять в форме Е(р)=Ае~ Я или Р(р)=Ае Частное решение порядка т уравнения (10,1) можно записать в следующем виде: мл Ф (г,е, р,г)='(А У (йг)+В М (ртг)цА'е *'+В'е )Х Х Асов(тр — р )е'"'.
Если волновой процесс не зависит от г, то (а,=О и е,=е; вторая скобка в последнем уравнении превращается при этом в постоянную величину. Так как звуковое давление и потенциал скоростей связаны соотношением р=7арФ, то общее решение волнового уравнения для процессов излучения (в случае независимости от е) запишем в виде: ОР р(г,е, р,1)=Ъ А НД'(".)соз(т! — ч )е~ '= элса СО = ~~ А [У (!.) — уЛ! (()1 сов(тр — 9„) е' ', (10,4) и=О где введено обозначение Г = лг.
Радиальную скорость получим из выражения: др чт дс у~р Ур~ ~~ /и ( ~( ) I ю( )1 Х е= О Х соз(те — е„) е!"'. (10,5) Преобразуя это выражение получим: Любо (!) -О н; + '~~ А С, (С) -/! (с) ог =! Х сов(тч — 1„) е'"', (10,58) где 7о (() — /Л!о (1) = — 7' — '", е-!'о(Г!, при т=О; у (() — /М' (г)= — уС (~)е '~' ', при т)0.1 Величины С,,С,т, н 7 определяются соотношениями: ! . ! — Са а1п то= Уй --Сосоа т,= — И, при т=О; 2С а!и 7~=1„+,— l~ 2С соз7 = — (Ю,„+,— Д(„,) 1 при т)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
