Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 49
Текст из файла (страница 49)
93 дан график распределения амплитуды давления р„(х) на оси, когда г,= 5Л. На этом же графике пунктиром показаны амплитуды компоненты колебательной скорости вдоль оси х на различных расстояниях от диафрагмы. 320 г,'; Гели г,))Л, то х, 'Л Между этим максимумом и центром диафрагмы может лелеять еще некоторое число максимумов и минимумов. Из формулы (11,25) видно, что для получения положительных значений х для минимумов необходимо условие: — ". — 2п — )О или п( (11,27) Колебательная скорость вдоль оси х определится из выражения: 1 д~ ВЛ г — вк1 г ком" вг о+ .
от(х,1) = — — одев ~ 1 — и т " о ур дх г' х" +и," О ог, уг ог ог, ФО отг, Гог кг, г, Рис. 93 Вводя вспомогательный угол т (рис. 92) и учитывая, что Ухо+,--=х+ = — ' и -'а =1п1, получим: а = го 1и —. т Амплитуда скорости выразится так: к хо !)~=ч. " )у' ° 1 к'+ —. — 2 — сов Лв сов от со№ т сов т = о.~3~Г + 'о — 2 о о = Чо ~ )гУ 1 + соз в Р— 2 сов Р соз (Ь в 1Д .~г- ) ~ .
2 Максимум амплитуды скорости ~ д| ..=ото(1+ сои в) т ив и Л 2и+1Л получим при 1д — = — = — — = 2 иго 2 го 2 го' а минимумы амплитуды скорости ) ~7 1№1в = 1(о (1 — сез '~) при и иов и Л 2п Л 2 Иго 2го 2 го' Далекие максимумы, когда угол и мал, будут иметь значения, близкие к 2д„а минимумы — близкие к нулю. При приближении к диафрагме угол о будет приближаться к 90', и значения максимумов и минимумов будут стремиться к дв. Расстояния 2! С. Н. Ржввиив максимумов и минимумов амплитуды скорости от центра диафрагмы найдем из выражения: зт Го 2 !Го м Л1 2лй 2- которое совпадает с выражением (11,25).
Следовательно, экстремальные значения звукового давления и скорости частиц возникают на одних и тех же расстояниях от центра диафрагмы (см. рис. 93). Из проведенного анализа ясно, что в тех точках, где р и с равны нулю, равен нулю и вектор потока энергии вдоль оси х, а в точках, лежащих вблизи от максимумов р и д, поток энергии достигает значений, почти в 4 раза превышающих ! 1 величину — р,д, = — рею,', которая имела бы место в плоской волне с амплитудой скорости частиц д, и амплитудой давления р„=рею,. Отсюда ясно, что линии потока энергии от диафрагмы нельзя представлять себе как прямые, параллельные оси х; поток энергии обтекает точки минимумов, минуя их и, наоборот, концентрируется в максимумах. Эти соотношения будут более очевидны, когда мы изложим результаты более полного исследования всего ближнего поля поршневой диафрагмы.
Согласно формуле (11,26), самый дальний максимум обра- ~1 Йа зуется на расстоянии х, = -'- — — от диафрагмы. Если — 2»- 1 4 или х ~я -"-, то в формуле (11,23) можно с достаточной точла йа к г1 постыл считать зш 2=2Лх' Тогда звуковое давление р(х Е) — 2д рс — — ' е""' л"! =~— ' и рсе!! ' ""'= 2 Лх хл О = -. —,— д,рсе!!"' "', "Я, о где Ю,— площздь первой зоны Френеля. Звуковое давление иа осн в дальней зоне убывает обратно пропорционально рас- стоянию х; амплитуда его меньше, чем в плоской волне, Я 5 имеющей амплитуду скорости д, в я — раз, где — — отношение з, Г, площади диафрагмы к площади первой зоны Френеля. Если радиус диафрагмы безгранично увеличивать, то при- ходим в пределе к случаю излучения звука безграничной ко- леблющейся плоскостью и должны, очевидно, получить звуко- 322 вое поле плоской волны.
Применяя к этому случаю формулу(11,21), получим, что звуковое давление р(ХГ)=ЬРСЕД ' ~1 — доРСЕ~ '.Е-~". !1ервый член правильно выражает звуковое давление плоской волны, порождаемое колебаниями плоскости с амплитудой скорости уо. Второй (добавочный) член имеет абсолютную величину, равную огорс, и неопределенную фазу, лежащую в пределах от, О до 2оо. Наличие этого члена не соответствует физическому смыслу задачи.
Этот неверный результат объясняется тем, что при выводе формулы (11,8) для звукового давления плоской поршневой диафрагмы было поставлено требование, заключающееся в том, что на бесконечности отсутствуют источники звука. Увеличивая радиус поршневой диафрагмы до бесконечности, мы тем самым вводим на бесконечности источники и этим нарушаем поставленные требования, что и приводит к неверному результату.
Ближнее поле поршневой диафрагмы Ближнее поле поршневой диафрагмы вычисляется по формуле (11,8), пригодной для любых расстояний. Однако если исследуемые точки не лежат на оси, проведение вычислений встречается с большими трудностями. В этом случае расчет приходится вести при помощи сложных рядов. Такие расчеты проведены Штенцелем* и представлены в форме графиков, на олт он ом м х и еа ко ш Рис. 94 которых нанесены линии равного звукового давления (рис. 94, 95 и 96) для Иго = 4, (го = — Л); йго = 6, (го = Л) и Иго = 10, (го = — Л). оСм.
Н. 3!епоеь 1. с. 323 Таблица 12 0,31 0,52 ! 0,85 1,1О х9л9 ~ ~0 Р~Р9 1,05 9,99 (9 На графиках ясно видно возникновение зон минимального и максимального давлений на оси и по бокам от оси; точки на оси с давлением О и 2 рею соответствуют ранее вычисленным минимумам и максимумам (формулы (11,24) и (11,24 а)). Из графиков также вытекает, что если в точках с нулевым давлением на оси поток энергии равен нулю, то в окрестности зоны минимального давления лежат области с повышенным давлением, в которых вектор потока энергии больше среднего и направлен так, что поток обтекает зону минимального давления с тем, чтобы сконцентрироваться далее, в зоне максимального давления на оси.
Давление на поверхности диафрагмы также имеет ряд максимумов и минимумов по концентрическим л кругам; число их тем больше, чем меньше отношение —. Г9' В связи с рассмотрением ближнего звукового поля возникает вопрос о законности весьма распространенного представления об излучении поршневой диафрагмой, при условии г, ~ х, практически плоской волны. На этом представлении базируется, например, метод интерферометра Пирса. Как известно, в этом методе рефлектор, создаюший стоячие волны, располагается в ближней зоне. Несмотря на то, что области максимумов и минимумов на оси явно чередуются в ближней зоне через интервалы, отличные от полуволны, реакция рефлектора на излучатель дает, как известно, максимумы и минимумы тока в цепи лампы точно через полволны. Точно так же при излучении стоячих волн от кварцевой пластинки методом Теплера максимумы и минимумы освешенности в видимой картине точно следуют через полволны, и фронты волн имеют плоскую форму.
Следует полагать, что в этих случаях играет роль средняя величина звукового давления по сечению, перпендикулярному к оси. Как было показано (см. 11,20 а), при г9)) Х (яг9 ~ 1) импеданс диафрагмы стремится к величине 5рс и среднее по площади давление будет равно 9у9рс. Такой же результат, по-видимому, будет иметь место с известным прибли>кеиием и для сечений, отстоящих на некотором расстоянии от центра. Однако анализ этого вопроса пока еще не был проведен. Вычисление среднего давления по графику рис.
95 дает приближенные значения р для различных расстояний (х) сечения от диафрагмы; эти значения приведены в табл. 12. Учитывая малую точность расчета по графику можно считать, что действительно среднее по сечению звукового пучка давление близко к величине р,=рею, соответствующему плоской волне. Дополнительно следовало бы показать, что усредненная фаза волны меняется с расстоянием по закону 77х, однако сделать такой расчет по графикам Штенцеля невозможно.
Из приведенных соображений следует, что наложение прямой и обратной волн даже в ближней зоне должно давать плоские стоячие волны. Дальнее поле поршневой диафрагмы Для вычисления дальнего поля круглой диафрагмы выберем прямоугольную систему координат (рис. 97). Точку А, в которой отыскивается поле, предположим лежащей в плос- Рис. 97 кости хг на далеком расстоянии г, таком, что линии АО и АР, проведенные от точки А к отдельным точкам диафрагмы, можно считать параллельными; пусть эти линии составляют угол 9 с осью г диафрагмы.
Вследствие осевой симметрии задачи звуковое поле во всех точках, расположенных под углом Ь к оси на одном и том же расстоянии г, будет одинаково. Проведем через ось у плоскость, перпендикулярную к радиусу-вектору г. Она пересечет линию АР, проведенную из точки А к некоторому элементу д5 мембраны, в точке Я, Зза (с точностью до временного множителя е'"'). Учитывая, что Ьг<,'г, можно в знаменателе считать г,=г=сопзн В показателе степени такое приближение недопустимо, так как величина е м'=е м" е '~~'.
Множитель е м" существенно изменит фазу отдельных элементов интегрирования в зависимости от значения лйг в различных точках мембраны, так как величина Ьг может иметь в случае коротких волн значение в пределах от 0 до нескольких 1,. Учитывая пределы интегрирования по и и ф получим: ГО 2:т р(а)=р р ~' „~ пйи ~ е ° Иф. о о Обозначая йиз(па=я' и Й'лз(па=я,' и используя соотношения нз теории бесселевых функций 2Ф 2п е "'"' «ф= е'*""' «ф=2яу (~') о ~е ~ 4(~) е'~~а' = ео у! (аО) О получим: ло ~У~е 1"' Р У„(а) я ла ~~р (чг1)л,е л' 1~~9,') У Р (лми о)'г ) л) а Амплитуда звукового давления Ра(а)=ир 2 „~2 ] ° (11,28) зат находящейся от точки А иа том же самом расстоянии г, что и центр мембраны О. Точка Р отстоит от А на расстоянии г,=г+Ьг=г+Р(4=г+хз(па=г+из1п Ьсозф, где л— абсцисса точки Р, и — ее расстояние ат центра, а ф — угол между осью х и линией ОР.
Площадь элемента с15 будет равна сЮ = иииИф. Потенциал скоростей в точке А найдем, суммируя действие всех элементов сБ диафрагмы. Так как р=уорФ, то звуковое давление в точке А, лежащей в направлении под углом Ь к оси на расстоянии г от центра диафрагмы, равно: Функция 2 — —,' (рис. 98) имеет максимум, равный единице ,г, [с',! при г,'=О, т. е. в осевом направлении (8=0). Характеристика Рнс 98 (11,29) Ф(й) 1,2) + [2) (2) , (1129 а) При г'„((1 получим, что Ф(Ь) — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
