Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Таким образом, комплексный угол ( выражает факт возникновения системы своеобразных стоячих волн, в которых фронты равной фазы (идущие параллельно оси я) перпендикулярны к фронтам равной амплитуды (идущим перпендикулярно к оси л). Для данного случая более ясную картину получим непосредственно из выражения (6,23).
Оно показывает, что волнового процесса в трубе в направлении оси я нет, и нолебательное движение происходит по всей длине трубь! с частотой м квазистационарно, т. е. повсюду протекает синфазно. Множитель е ' показывает, что амплитуда колебаний экспоненциально убывает по мере удаления от начала трубы. Колебания в направлении, перпендикулярном к оси г, представляют стоячие волны с амплитудой, постепенно убывающей по мере возрастания з. Направление колебательных движений в плоскостях, перпендикулярных к оси г, будет определяться той двойной системой стоячих волн, волновые векторы которых определяются углами -+-а',-+ ~', согласно формуле (6,11).
Рассмотрим, каковы будут линии тока в трубе в том случае, когда А„=О. Из уравнения (6,23) найдем, что компоненты скорости движения по осям х и я равны: д"'=А.В-ое™ я!и/,х е!' — д" — — рв..е™созе х е" дг а р=у1ой!й,=д!ЗВ,е ' созй„х е' '. Звуковое давление, таким образом, отличается по фазе от скорости частиц Г на —,', . Это значит, что поток звуковой энергии по оси я равен нулю. Величины (!Й= с1х и ~Ф= !(я представляют проекции на оси х и я элемента линии тока частицы.
Разделив !. на 1 получим: — = — — с1д1! л. лЬ 'х л ™ Интегрируя это выражение, найдем уравнение линий тока: я = + 1п ~з1п 1! х( + С. Легко видеть, что С есть координата г точки, в которой данная линия тока пересекает ось з в пучности стоячей волны, где А„х = (2и+ 1) —; это соответствует значениям х = — (2п+1). Линии тока при л„=О и к =2 (мода 2,0) будут иметь форму, изображенную на рис. 35. Линии тока замыкаются между двумя соседними колебательными зонами на грани я=О, разделенными узловыми линиями. Чем дальше от начала трубы, тем реже становятся линии тока.
Это означает, что скорости частиц убывают по мере удаления от границы, на которой происходит возбуждение колебаний. с„с~ С 8 Рис 35 Как было показано выше, критическая частота, ниже которой невозможно распространение волн данной моды (т, п) определится из выражения (б,14а). Наиболее низкая частота из всех критических частот определяется наибольшим размером трубы а и соответствует колебательной моде (1,0): с Ло Если в начальном сечении трубы происходит идеальное „плоское" или „поршневое" колебательное движение по оси я, то это соответствует моде (0,0).
При этой моде колебания волновое число й' =Ам всегда больше нуля и по трубе распро- т» страняется плоская волна при любой частоте (саят=1; т=О). Если движение в начальном сечении я=О неоднородно, то эта неоднородность (в поперечном направлении) будет существовать и дальше, причем она будет передаваться вдоль оси я по-разному в зависимости от масштаба неоднородностей возмущения в начальном сечении. Так, например, неоднородности, выражающиеся модой колбания (1,0), при частотах ~(~;, = — — с удалением от начала ослабевают и притом тем сильней, чем больше 1, т. е. чем щз меньше частота ~.
При ~=~;,= — - неоднородность этого типа л совершенно не затухает и распространится по всей трубе. с При ) ) —, по трубе побегут косые волны с углом наклона к оси з, определяемым выражением (6,16), и существующие в сечении я=О неоднородности также распространятся по всей трубе.
Неоднородности, более часто меняющиеся по х и у (например, т=2,3...), будут давать потоки, коротко замыкающиеся до более высоких частот, чем при лг=1, а именно до частот с, с 1;,=2 —, ~,=3 — и т. д. Волны начнут распространяться по трубе лишь выше этих более высоких критических частот. Указанные рассуждения можно изложить несколько иначе. Предполагая, что частота)' и распределение скоростей в начальном сечении ф,(х, у) заданы, можно сказать, что из всех возможных мод колебания будут распространяться только такие, с е' л' для которых Л =1 „= — —, + — „< ~.
Более высокие а' моды, для которых ~„р)~ или 1' „(иа плоскости я=О) меньше, чем 1 в свободной среде, будут затухать вблизи от начала. Таким образом, мелкомасштабные изменения в движении на плоскости я=О не будут передаваться вдаль. При частоте меньшей, чем самая низкая критическая частота, соответствующая моде (1,0) колебания всех высших мод, за исключением моды (0,0), волн в трубе не дадут и будут затухать вблизи начала. Каким бы сложным ни было движение в начале трубы, при частоте ~(~м оно выродится по мере распространения в плоскую волну по оси трубы.
Однако при наличии обертонов с частотами М7", как уже говорилось выше, волны высших мод могут возникнуть. Применение теории Развитые выше соображения имеют большое значение для учета особенностей распространения звука в трубах. Если для измерительных целей надо создать плоскую волну в трубе (например, в акустическом интерферометре), то при низких частотах всякие неоднородности возбуждения начального сечения (в=О) не будут играть существенной роли. Колебательные движения высших мод, возникшие в трубе, для которых и ) 0 и и ) О, будут очень сильно ослабевать по мере удаления от начала и на некотором расстоянии от источника (например, громкоговорителя, приставленного к трубе) останется только плоская волна с модой (0,0), вызываемая суммарной объемной пульсацией, да- 134 ваемой источником. Так, например, в трубе размером 15 х', 15см наинизшая мода для неоднородных колебаний получится при З,л Ю У„= ' = 1130 гц.
Коэффициент затухания волны при ча- 2 1З стоте Г" меньшей чем 1'„р будет равен -/иР и' 'и=я ~/ — + — — 4 — ° а' Ь' с' Если в начальном сечении возбуждение происходит несимьл И метрично относительно средней точки ~ —,— ), то сильно выра- 12 '2 ~' жены будут моды колебаний (1,0) и (0,1). Возьмем например, случай т=1 и п=О. При частоте ~=Д,=1130 гц В=О, т. е. всякая неоднородность с модой (1,0) распространится на всю трубу. При г= — '2=565 гц получим уже и= =0,18 см ', т. е. колебательный процесс затухнет на расстоянии метра в е' " '"= в" 5 10' раз от начальной величины и практически будет незаметен.
Даже при Г= 1100 гц мы получим 5=0,05 см ' и затухание составит е =: 140 раз на 1 лг. Однако, если возбуждающий звук имеет обертоны, то те же неоднородности на частотах обертонов могут создать сильное искажение плоского звукового поля в трубе. Так, например, 2-й обертон от 565 гц с частотой 2 Х 565= 1130 гц и с модой колебания (1,0) уже будет иметь в= 0 и даст неоднородность по всей трубе. При желании внести затухание звука в трубах, например, в каналах вентиляции, сразу же можно сказать, что весьма целесообразно помещение звукопоглощающих веществ на боковые стенки, так как это будет очень сильно ослаблять все высшие моды колебания, распространяющиеся под углом к оси трубы, но на плоскую часть волнового движения в трубе (мода 0,0) этот материал влиять не будет, так как плоская волна не дает компонент скорости, нормальных к боковым стенкам.
Чтобы вызвать ее затухание, необходимо любым способом нарушить плоский фронт волны. Повороты трубы, а также установленные в ней выступы, экраны и т. п. вызовут образование высших волновых мод; часть энергии плоской волны будет передана этим волнам и поглотится на боковых стенках при наличии на них звукопоглотителя. Развитые нами соображения существенны, в частности, для понимания работы ультразвукового интерферометра Пирса.
В этом приборе пьезокварцевая пластинка, работающая в условиях самовозбуждения колебаний в ламповой схеме, излучает волны в трубу, снабженную плоским передвижным рефлектором. При резонансе столба жидкости или газа, когда на длине трубы укладывается целое число полуволн, и на поверхности кварца об- разуется максимум давления стоячей волны, труба оказывает сильную реакцию на автоколебательную схему, что приводит к ослаблению колебаний, и гальванометр в анодной цепи дает резкие минимумы тока. Интерферометр Пирса дает возможность измерить длину волны, а следовательно, и скорость звука. Подобная картина получится при „поршневых" колебаниях кварцевой пластинки, когда она излучает плоские волны.
Но в кварцевых пластинках обычно возникают волны изгиба, интенсивность которых зависит от характера возбуждения и от соотношения ширины и длины пластинки с ее толщинойв. Эти волны изгиба создадут высшие моды колебаний, дающие в трубе косые волны, для которых длина волны по оси трубы уже с не будет равна Х= —, а вычисляется в зависимости от величин т и и по формуле Хтл — в 1 — —, (УгД+ Ж) и будет больше Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
