Ржевкин С.Н. - Курс лекций по теории звука (1040674), страница 23
Текст из файла (страница 23)
37 а из Рис. 37а и 37б, лежат и коРней УРавнениЯ Ур(У)=0, каждый из которых определяет внутреннюю узловую цилиндрическую поверхность (с радиусом г(г,), на которой п,=О. Корни уравнения Ур(у)=0 обозначим, кроме р, еще вторым индексом хч который указывает число внутренних узловых цилиндров. Таким образом, параметр ч приобретает двойной индекс р, и. Уравнению У;(у)=0 всегда удовлетворяет корень у=О, соот- Каждая пара чисел р, а определяет некоторую волновую моду, распространяющуюся вдоль всей длины трубы без изменения. Рис.
37 б Значения первых корней уравнения (6, 26) при р=О, 1, 2 н а=О, 1, 2 даются в табл. 4. Таблица 4 о 1,84 3,05 3,8З 5,33 6,70 7,01 8,54 9,96 Если волновое число 77 в формуле (6, 26) больше, чем « „, то волновое число т774« †«'-'„ (определяющее длину волны в направлении оси трубы) будет вещественным, и в трубе возмои1но распространение волн с амплитудой, модулированной по фройту соответственно функции Ур («р„г) соз(рз — тр). Если волновое число й меньше, чем «„„, т. е. ~( — 17 4' — «р„, то волны с модой (р, и) возникнуть в трубе не могут, и процесс ограничится местными колебаниями, происходящими во всех точках синфазно и затухающими по мере удаления от начала трубы. Все волновые моды, кроме моды (0,0), не могут быть представлены в форме плоских волн, наклонных к оси трубы, как это имеет место в прямоугольной трубе.
Рассмотрим характер движения для первых, простейших по форме мод колебания. Мода (О, 0), определяемая корнем у = О, 141 ветствующий значению параметра «, которое обозначим через «„; таким образом: «„=0 и 7;,=О. соответствует отсутствию узловых плоскостей и узловых цилиндров; кроме того, Уо (0)=1 и потенциал скоростей принимает вид: Фоо(е Г)=А ег,шс «и Это уравнение плоской волны, бегущей по положительному направлению оси а.
Волновая мода (О, 0) соответствует поршневому движению в начальном сечении трубы, и вся элементарная теория распространения волн в трубе, развитая в предыдущей главе, относится только к волнам с модой (О, 0). го го гег гоо г,' о=го Рнс. 38 гого Если р=О и п=1, то образуется один узловой цилиндр, а узловых плоскостей нет. Колебания симметричны относительно оси. Потенциал скоростей тки — г о~ — и о) Фоо = Аоод(омг) Е о ° Осевая скорость о, будет пропорциональна Уо(оог г), а радиальная о, пропорциональна го(»ог г). Для пояснения картины колебаний на рис. 38 показан ход функций Уо(оогг) и Г,(оогт). Из чертежа видно, что радиус узлового цилиндра го определится значением первого корня уравнения У,(оогг)=О„который равен 2,40: 2,40 ' 2,40 го= —,= — г =0827/о.
ооо 383 о 1,84 Радиальная скорость максимальна при го= — '=0,48го1 при ом г= 0 и г=г, она равна нулю. Для р = 1 и и = 0 получится одна узловая плоскость, а узловых цилиндров не будет. Потенциал скоростей для этого и ага л у уг' 'и и г:иг 2 г=гд г=а Рис.
39 а случая запишется в форме: Фгг=Агюуг(гггг) соз(аг — рг)ем ' -"" — "1о'ь Осевая скорость будет пропорциональна lг(.гггг) соз(Р— ггг), а радиальная — У~(гггг)соз(Р— зг). На рнс. 39 а показано распределение осевой и ради- р гг альной скорости по линии, У.Х'у перпендикулярной к узловой плоскости сг=сгг+я. На рис. 39 б показана картина линий тока в плоскостях,перпендикУлЯРных к оси тРУбы. У-УгРтг У'гг Общее решение волнового уравнения представится в виде суммы частных решений вида (6,25): У=гг з Рис. З9 б Ф=д, 'д', Фр„, Р-си=с 143 где р, и=О, 1, 2, 3... Для определения числовых коэффициентов А „и В „в характеристических функциях нужно, как и в прямоугольной тру- бе, задать некоторое распределение скоростей в начальном се- чении '- = 'т'0 () * 'Р) ' е Функцию уо (г,а)) можно разложить в двойной ряд по фундаментальным (характеристическим) функциям данной задачи: фо(г, р)= ~; ~ (кр„сокр)9+~роз(пр»р) Ур(чр„г), (627) р=ол=о Коэффициенты и л и р „вычисляются по формулзм ": го 2.» ~=.г».,„„~) Ч.('О)».(.
) П ПО) О; 1 о го 2 к — 1 1»))0 (г, Р) . (чр г) сои РР ' г(о(г'(»(!)' пг(оМ»л ) оо) о б' го 2» 1"=.,Ч» ~ ! ч ('Ч)1.("-") ""го")" по 1 о (6,28) где 1 Г »Ирп 2 ~.lр (чрп1 О) — Ур 1 (чрпго) Урл» (чрлго)~— При выводе этих формул используются следующие соотношения из теории бесселевых функций: ~7„(я) ( = — ',,'~7;()+У;()~, г (я)яж Яхр(и) У 1(я)1» 1(я)~ ') У. (я) и',л (я) л (Уя= О, У 1(я)+У )1(я)= — (р(е), (6,29) Из граничного условия Ф,(0)= — — ~ определим аналодеб ! »-о гично (6,10) коэффициенты Ар и Вр ряда (6,26) при различных значениях дополнительного ийдекса ьи Ар = "" Врл= '" (630) 1)гг໠— ч» рл / "0»1»» — ч» рп и Си. Ф.
Мо 9 з. Колебании и звук. гл, Ч, а !9. Гостекизлат, Мч 1949. Если возмущение в сечении я = 0 симметрично относительно центра, то в разложении (6,27) присутствуют колебания с модами (0,1), (0,2), (0,3) и т. д. При частотах, для которых 3,83 2,07 ! 0' А) тм, где э„= — '' или~)~м = ' (в воздухе), будет го иметь место волновое распространение звука с модой (0,1).
При частоте 7 =7м вдоль всей трубы разовьются интенсивные резонансные колебания с модой (0,1), амплитуда которых окажется по формуле (6,30) бесконечно велика, так как в формуле не учтено поглощение в воздухе и потери энергии через стенки. Однако, учитывая малость этих потерь, можно ожидать весьма интенсивных колебаний с модой (0,1) при 7= 7м. При 7 (~м волнового процесса с модой (0,1) получиться не может, колебательное движение этого типа будет затухать по мере удаления от начала.
Движение произвольной формы, симметричное относительно центра, когда в разложении (6,27) присутствует отличный от нуля постоянный член, соответствующий моде (0,0), вызовет возбуждение в трубе волн с постоянной амплитудой скорости по сечению, распространяющихся со скоростью звука по оси т~убы при любой частоте, так как в этом случае всегда будет к — т,'„= к)0. Такой постоянный член отсутствует только в том случае, когда колебание в начальном сечении точно соответствует бесселевой функции какого-либо порядка р. При несимметричном возмущении в начальном сечении в разложении (6,27) будет обязательно присутствовать член с мос !О' дой (1,0).
При частоте ~м=, т„--- (в воздухе) в трубе возникнут резонансные колебания в поперечном направлении. Эта частота является примерно в 2 раза более низкой, чем 7оь В трубе с диаметром 10 сл поперечный резонанс этого рода наступает при частоте около 2000 гп. Так как в реальных условиях достичь симметричного возбуждения колебаний в трубе довольно трудно, то обычно мода (1,0) всегда появляется в разложении функции Ф,(г, Г) при частотах, близких к ~~о, 'поэтому следует ожидать сильного искажения картины плоских волн (с модой 0,0) за счет возникновения волн с модой (1,0).
При частотах 7 ь7м в трубе начнут распространяться волны с модой (1,0), но амплитуда их будет невелика, поскольку резонанс очень острый. Таким образом, получение плоской волны с модой (0,0) возможно даже и выше частоты Аа. !о с. ~. Ржевкин ГЛАВА 7 ТЕОРИЯ ЗВУКОПРОВОДОВ Остановка задачи расчета звукопроводов В этой главе мы рассмотрим приближенную теорию расчета сложных звукопроводов, дающую, однако, в большинстве случаев достаточно точное решение ряда задач, интересных для практики. Эта теория строится по аналогии с теорией электрических линий и сводится к замене отдельных звеньев звуко- провода некоторыми элементами с сосредоточенными постоянными (элементы упругости, массы или трения) или отрезками прямолинейных труб, в которых распространяются плоские волны.
Такая трактовка допустима, как можно показать, исходя из более строгих решений, при условии, если размеры отдельных элементов и диаметры труб, по которым распространя1отся волны, будут малы по сравнению с длиной волны. Элементы в форме труб переменного сечения, связывающие отдельные объемы или служащие переходом от труб одного сечения к трубам другого сечения, нами не рассматриваются. Все изменения сечений между элементами предполагаются происходящими скачками; это не дает существенных погрешностей в результатах, если длина переходной части мала по сравнению с длиной волны. Попытка приближенного расчета переходных элементов в форме конусов проведена в книге Стюарта и Линдсея а.
Полученные решения имеют достаточно сложную форму и их трудно применять на практике. Однако в этих решениях принципиально не учитывается присоединенная масса, возникающая при изменении сечения. Это их существенный недостаток и в ряде случаев предпочтительнее пользоваться решениями для скачкообразных изменений сечения, где удается О. Бсе васа апа й. ь! па а а у. Асоаапса. 1опаоп, 1961. 146 рассчитать присоединенную массу и учесть ее влияние на ход процесса. Все расчеты будут вестись по методу определения импе- данса на входе системы, а также переносного импеданса, представляющего отношение силы, действующей на входе системы к скорости, получающейся в каком-либо элементе системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
