Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 66
Текст из файла (страница 66)
На концах элемента возникают внутренние силы — продольная й(, поперечная (г * и изгибающий момент М,.* (рис. 48.2, а). Кроме того, к элементу приложена центробежная сила, имеющая вертикаль- ную рЕе»егда и горизонтальную рР»зевес)з проекции (рис. 48.2, б), а также сила инерции в относительном движении, равная — РЕг(г(д~пе1д!з), Проектируя силы на вертикаль, имеем е(Лгу!(г =- — ге»ерР. Сумма проекций на горизонталь д див 2 ДО~ двив — 72' — + озврров — —" — рр — =- О. дг дг ~ дг дзв -( (48.7) Сумма моментов Л' —. сов ~ рРгбг, г (48.9) которую можно, таким образом, считать заданной. В формуле (48.9) 1 — — длина лопатки, а интеграл вычисляется яррсогаг от рассматриваемого сечения до свободного ) конца лопатки. Уравнения движения элемента в плоскости хг (рпс.
48.8) имеют такой вид: див 2 ДОг Дгиз — (Ь7 — ~+ " рр =0; дг , Дг ) Дг дзв Дм Ц Дг х Выражения для смещений и силовых факторов, соответствующие свободным колебаниям лопатки, представим в следующем виде: ив == исозр7; гв =осозр7; Рис ДДД М, =- М„соз р1; Я, = С)„соз р1; М„= Мг соз рг; ф, = Яз соз рс Тогда получим систему обыкновенныхдифференциальных уравне ний, состоящую из уравнений динамического равновесия: ~Ь вЂ” = (ы + р') рРп + Л' — — гсозрР—; 2 Дг Дг' Дг (48.10) — = — р рРи — — 72' — + но др— Ди, Д Дг Дгв дг ЙМ„Яг =- Яг, ДМ,Яг =- Я„ и уравнений упругости: бвийгв = — аМ, — ЬМ„; ,374 дМ,/дг = 1;11.
(48.8) Уравнение (48.6) позволяет вычислить нормальную силу в сечении: <Ро72(гв =- сМ„+ аМ,. Здесь а —. (1!(Е,(2) — 1((Е),)) 21п й сов~; Ь = з!пвс!(Еув ) + сазовl(Е(в ); с === созв:в!(Егв) + 21пв зl(ЕХ,). Полученные уравнения лвожно записать в матричной форме: (48. 11) — Х= АХ. Дг Здесь Х вЂ” матрица-столбец из восьми элементов: х, = — и; хв = о; хз = с(и7бг; хв = с(Ибг; Хв =- М,.; Хв =-' М,' Хг = — Рх~ Хв = 7~2 А — матрица (8 к 8) переменных коэффициентов. Ненулевые элементы этой матрицы равны: а,=1; ам — - — а; 4 азз = 1' азв =- — Ь; ав, =-. 1; ам = с; авв = а; а,в =-- 1; а = — р'рс' а„=- гоз рр' а-, = й7 а„= Ь(Ь.
авз — — (озв+ р') РЕ; а„= — гсоврр; авв = й7с; авв =- Д7а. Остальные элементы — - нулевые. Для определения частот собственных колебаний по уравнению (48.11) может быть использован метод начальных параметров. С этой целью конструируются четыре линейно независимых решения уравнения (48. П), удовлетворяющие граничным условиям в сечении г .= О. Например, для заделанного сечения такие решения могут прп г =- 0 иметь значения Х,(0) = (О 0 0 0 1 0 0 О); Х, (О) . = (О 0 0 0 0 1 0 0); Хз(0) =..—.
(О 0 0 0 О 0 1 0); Х (0) == (О 0 0 0 0 0 0 1). Интегрируя численно уравнение (48.11) при этих начальных условиях и при фиксированном значении частоты р, находят значения Хь Х2, Хз, Хв при г Общее решение Х в сечении г -= 1 представляет собой линейную комбинацию частных решений: Х(1) =- С,Х,(1)+ С,Х,(1)+ С,Х,(1)+ С„Х,(1).
Граничные условия при г .=-1 (М„== М == 0; чЗ, .= Юв — 0) приводят к системе однородных уравнений относительно С,,...,С,, Если при расчете принято истинное значение собственной частоты р, 37й растяжения ~~~~~~~ на этой дефор мации равна ~ й!е'!)г. о Следует также учесть, что при перемещении в плоскости вращения точки лопатки удаляются от оси вращения на расстояние пз/(2г) (рис. 48.4), что приводит к уменьшению потенциала массы лопатки и поле центробежных сил на величину оз ) рргщв — !(г. о 2. Таким образом, общее увеличение энер- гии ?зпс. 484 Так как продольная сила в лопатке пропорциональна ю' 1см формулу (48.9)1, то получим окончательно (48.15) з ю и =- ~ ~ х,созодгзбг!; и == — ~ ) х,з(пйг(ге!)г!.
(48 12) где о о о о (48.16) й, ы но баний в 1ки ! (/в — - — 1 Е/. х. с)г, 2 о — усилие в сечении лопатки при щ =- 1. После определения (/„кк! и (/ частота собственных коле лопатки вычисляется по формуле Рэлея: р =2((/,+(/.)/йй. В качестве примера в табл. 48.1 приведено вычисление частоты собственных колебаний лопатки газовой турбины изложенным методом. В графах 1...5 приведены исходные данные для расчета, причем лопатка разбита на 10 участков одинаковой длины по 2,04 см. В графах 6 и 7 вычисляется продольная сила й/!. Интегрирование здесь и в остальных случаях выполнено по кольцевой схеме формулы трапеций, которая пояснена в 9 27.
В графе 8 приведены пятые значения кривизны. Изменение кривизны было задано . формуле х! — - 1 — г // (48. 18) Графы 9 ... 14 отведены для вычисления углов поворота с(п/с(г, и/с(г и перемещений и, и, а графы 15 ...!9 служат для вычисления интегралов, входящих в выражения //1, (/, (/„ 14 — 318 37? (48. 13) (48,17) Л -= ~ рг (и' + пе) бг. о (48.
14) уг.н- звги. см. диа- ~ я9 3?б определитель этой систел!ы равен нулю. Это условие позволяет, повторяя расчет при различных значениях р, определить собственные частоты. Расчет реализуется на ЭВМ. Можно также нспользовать для отыскания собствешзых частот метод прогонки, изложенный в 2 31. Для применяемых в практике профилей лопаток момент инерции поперечных сечений относительно одной пз главных осей (ось з1) много больше, чем момент инерции относительно другой оси (ось й).
В этом наиболее важнол! практически случае расчет можно существенно упростить путем пренебрежения изгибом относительно оси Упрощение достигается благодаря тому, что существенныл! становится только один изгибающий момент М: =- М, соз; —, М ейп р и соответствующая кривизна хз М! /(Е/е ). Для решения упрощенных уравнений эффективным является метод последовательных приближений (см. 2 27). Применение этого метода к данной задаче подробно рассмотрено в книге 140]. Успешно может быть использован и метод Рэлея в варианте Грамл!еля.
Зададимся излзенением кривизны х:, по длине лопатки. Тогда интегрированиел! уравнений йеь Йзп х. —.- — == х соло; — — х = — = — х,з(п !? бгв ! ! бзе можно найти соответствующие слзещения: Потенциальная энергия деформации определяется по формуле а обобпгенная масса — по формуле Чтобы учесть центробежные силы, нужно дополнительно вычислить их потенциал. Предположим, что в процессе колебаний точки оси лопатки движутся по нормали к недеформированной оси*. Тогда доч полнительная деформация удлинения лопатки в связи с изгибом со- ставит Как было показано в 4 28, выбор той ппн иной завнснмостн для продоп пык перемсщенпй, сопровождающих поперечные колебания, не является сущес1зз веннь!м.
Мы пояучнлп бы тс же результаты, допустив, что лопатка нерастяжима. ! (/ = — ) й/ ~( — ) -',— ~ — ') ~бг — — ) рЕпабг. о о ! ! и. = "' . ) й1, ~~ "" )л' ° ( " Д б, Р рЕ,Ч,) (о о со г о х а С'0 С'Л Х 4 В результате расчета получены следующие значения этих интегралов: ! ( рг"оЧг = 409 1,02'. 2,04 10 ' кг в!в; а о о -мн'* гз О с- са иа а о — г о С4 , о! .го'! м н 4!Ро М о о ( рриЧг = 5Б ° 1 02в ° 2 04 ° 1О в кг-в г; -о!.
го'! ! ' 4 444! В ~ Я ~ О О Ю О О СЧ ( Л'Ь( " ) йг 1108 1 Ойв 2 04 10-в Н св и; ог о о -о! го'!'и'ЛВ ) О ~ О о о с'4 О аг ьл„с . о! гвт! о о со о иа „! В о о сч г ао 4 Сг о (" Лг 1 " ~1 Ь)г 182, 1 02в . 2 04 . 10-в Н.св.в!. ', йг / а ! ( Е)ах, !(г = 171 2,04 10 'Н.м. о *-а! м'! ! о 'грв аи ) =,а оа сч аа:О с! х ° г о О О СЧ Са Ог Са с «О «О ! 40 Я Сг сч сч со 04 оа с'» С4 О О" О с о" СЧ о о и 'си!Сг По формуле (48.17) получаем р = 582)г 1+(04/434)г с '.
,-и сго'! 4 о 'гр,а) = а г аг о О а Ю 4 \О а СЧ г-о! га'! ! о 'гр Ь соа * ( = ,а г оа О сч 04 сч оо с'а с'4 4 о — со ио 4-. оа оа 4 СО Сг са аа аа са са сч иа сч иа иг о а х с а' Са О: СО 4 О о о о о о о х С'4 Ю СО Ю о С4 г о о , и 'Ьсоа О СО " О Са О Ю СО ! с о о о о 04 С4 О 4 -о4-го'в,а н г 'грг «1 =сы ! са со о О с'\ о са сл Са о о СО ,а СЧ Са СЧ СЧ СЧ '.О Х 40 х С'4 Сс СЧ Ю С'4 ,о! в'зв :О С4 СЧ С'4 о о о ОЛ оа г 4' о о о Ю йа Ю в 49. ОСЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ ТУРБОМАШИИ Ь м .О СО са ОЛ О Са о о о 4 О са сч о сг сО о о о СО СО Ю Диски турбомашин представляют собой быстро вращающиеся круглые пластины переменной толщины. Как указывалось в 9 35, интенсивные колебания диска возникают, когда скорость его вращения совпадает со скоростью распространения бегущей волны но окружности.
Эти критические скорости вращения определяются по формуле (см. Ю Ь сол с- О Сг о -г о СО СЧ О О сч а Са сО \О о о а , а!И и.гв 'З Ь с 4 о х о СО Ю О! 44 Н 'ЬЗ о о С'4 О са 'О 40 4 СО СО Ог,р -— — Р01П, Ю иа ОЛ С'4 где ра — частота собственных колебаний диска при п узловых диа- метрах. 4 а! 44 878 379 14* Полученный результат в точности совпадает с вычисленным для этан же лопатки методом последовательных приближений (см. 1401), что объясняется удачным выбором формулы (48.18) для кривизны. В других случаях ошибка расчета частоты по формуле Рэлея может достигать 5...74!а. Заметим, что в 9 27 был проведен расчет частоты собственных колебаний незакрученного стержня с такими же размерами сечений, как в рассмотренном выше примере, и получено значение частоты р -- 578 с '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
