Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 63
Текст из файла (страница 63)
47.7 игг Рис. 47.5 Рис, 476 (4?. 9) 1 ( 2 — 21) ( 2 222) Р 7 г(22 — 4) (47. 15) где г, н г,— корни уравнения г — — — ( 1 -)- 3 — ~ + 1 = О, о 1 4 осР си)2/ М = (/ов/р — 1,) 720 (47. 11) — ܄— -- — л иЬв ! (1, Ь ! 1,0 ) 0 у 22 Таким об азам, п и ния в пло к р, р наличии гироскопических моментов кол бколе а- невозможны. с остях хг и уг связаны и плоские к б оле ания вала Решения системы (47.8) можно представить в таком виде: х= — Асозр1; Р=Аяпр/; или Ь„=- Ь соз р1; 0„= — 0 яп р1 х = А соз р/; у = — Аяпр1; Ь = Ь соз р1; О, = Ь з!и р1. (47.10) Оба эти типа решения соответствуют вращательному движению изогнутой осн вала с угловой скоростью изогнутая ось вращается в том же напр в р, причем в первом сл чае а ленин, что и сам вал (и ямое вращение изогнутой оси), а во втором сл чае— положи в а е ом случае — в сторону, противо- А ид ую вращению вала (обратное вращение изогну " ).
огнутои оси). из д представляют собой прогиб и угол накл клона касательной к огнутой оси вала в точке закрепления диска. Выясним значения моментов М н М , воздейс ву действующих на вал р р .. обратном вращениях его изогнутой оси. При прямом вращении, подставляя выражения (47.9) в фо (47.7), получаем: ~ я , ) в формулы М„= (1,в/р — 1,) р'Ь„; М = (1,со/р — 1,) р'Ь„. Сопоставляя полученные знаки моментов с п ин лениями (см рис 475 ви им ч момент ис..о), видим, что в данном случае гироскопический направлен в сторону уменыпения угла поворота касательной (рнс.
47.7, а). Точно так же можно установить, что при обратном вращении изогнутой оси вала гироскопический момент М =- (/,в/р+ 1,) р20 (47.12) направлен в сторону увеличения угла д (рис. 47.7, б). Подставляя в уравнения (47.8) значения х, у, б и Оу из формул (47.9) и (47.10), видим, что в обоих р случаях два последних уравнения оказываются тождественными с двумя первыми. Для прямого вращения изогнутой оси имеем: 22 ,,'/ ° 4 (1 Ро тЬи) Ь (РЧ, — рв1,) о„=- 0; Аро т0,2+ 0 (1 — (Р211 — Ро/о) 022)= 11рправняв нулю определитель этой системы уравнений, получим уравнение частот при прямом вращении ! 1 — ротЬн — (Р21 — р 12) 04 — РЧпо„1 — (РЧ, — рв1„) 022~ = О.
(47. 13) Точно так же для частот колебаний при обратном вращении изогнутой оси получаем уравнение 2 Р тон (Р 12+ Рв/о) 022 1 —.= О. (47.14) — рот022 1 — (р212+ Рв!о) о 2 1 Заметим, что уравнения (47.13) и (47.14) отличаются только знаком произведения рв. Поэтому можно ограничиться решениями только уравнения (47.13), имея в виду, что при одинаковых знаках р и в мы имеем прямое, а при разных — обратное вращение изогнутой оси вала. Так как уравнение (47.13) является полным уравнением четвертого порядка, оно имеет четыре корня. Следовательно, вращающийся вал с диском в отличие от покоящегося имеет не две, а четыре различные частоты собственных колебаний. Две из них соответствуют прямому и две — обратному вращению изогнутой оси вала. Обозначив р/р, = г; р, = )/1/(лсЬи) — частота колебаний, вычисленная без учета ннерс!ионных моментов, приведем уравнение (47,13) к виду (47.
! 6) Оо 72 Ро 1! Ро и!4~ т! е1 и!! 4442~ тзез и42 4=! тп -= айпи Я1(ро~ 2 !) Я (р о» .!) Рис. 47.3 ио, ...тз ер и!2 у !=-! л и;, тте! ип Ъ~! !'=! !! =- созо41 !( р! "' ) Ооа»( р»21 ) е, (47.17) Р; == т 44»2 (Е; + г!), где Рие. 47.9 и!»~т»еги 4 иа,~~тоезиач г !'=-! ! —..- ! (47.18) 360 361 определяющего собственные частоты невращающегося вала с диском. Решение уравнения (47.15) может быть представлено в виде номограммы (рис. 47.8). Здесь по горизонтали отложена величина г 10 .:= р1ро, а по вертикали — — . Так как принято р) О, то положительра 12 ные значения оа соответствуют прямому вращению изогнутой оси вала, а отрицательные — обратному. Построение на рпс.
47.8 выполнено при 141(тр) Как видно из графика, частоты колебаний, соответствующие прямому вращению изогнутой оси вала, выше, а частоты, соответствую- щие обратному ее вращению, ниже, чем частоты невращающсгося вала. При заданной угловой скорости движения вал имеет четыре разных частоты собственных колебаний. Так, например, при (еи1ро)(1211 ) = =-. 2 частоты колебаний вала составляют; р, .—. 0,48 р„р, .:. 1,2 ро', ро =2,55 ро, ро =-= 3,25 ро. Первая и третья частоты соответствуют обратному, вторая и четвертая --прямому вращению оси вала. При наличии периодических возмущающих сил, изменяющихся с одной нз собственных частот, имеет место резонанс. Колебания многомассового ротора, вызываемые дисбалансом.
Балансировка гибких роторов. Рассмотрим вал с несколькими эксцентренно закрепленными грузами (рис. 47.9). Не уменьшая общности рассуждений!, можно предположить, что центры масс всех грузов расположены в одной плоскости (в противном случае следует рассматривать проекции эксцентриситетов на две взаимно перпендикулярные плоскости). Тогда для колебаний, например, в вертикальной плоскости получим уравнения л т„=- ~~~~~! — гп, 341 т„- т,е,ором яп ы11, 1=! где гп — вертикальная проекция прогиба вала в точке закрепления груза тб е; — его эксцентрисптет. Уравнения (47.16) представляют собой уравнения вынужденных колебаний системы с и степенями свободы, причем возмущающими силами являются проекции сил инерции несбалансированных грузов Р =: т е о»2 з!п о»1. Используя метод главных координат (см.
гл. !!), стационарное решение системы (47.!6) можно записать в виде Здесь ип, и,о, ... — формы собственных колебаний; рь р,„. Р)(„ййео, ... — их частоты и обобщенные массы. Аналогично, для колебаний в горизонтальной плоскости Таким образом, как и при одном грузе, изогнутая ось вала, сохраняя свою форму, вращается в пространстве с угловой скоростью ео. Полная сила инерции, с которой груз т, воздействует на вал, Если угловая скорость вращения вала ы значительно меныпе, чем низшая частота его собственных колебаний р, («жесткий» вал), то величины г! чалы (так как р„о/еоо)) 1). В этом случае, для того чтобы вал не воздействовал на опоры, достаточно, чтобы система сил Рм =--- п444оое! была самоуравновешенной. Для этого необходимо уравновесить ротор как жесткий, т. е.
М =(то !!)Р й (47. 19) Мо = 1!Р Е! Я =- У т, и, — ~"„(7, — 1,); Ь, ! ! (47.22) (47,20) (47. 21) 362 363 совместить центр его массы с осью вращения (статическая балансировка) п добиться, чтобы ось вращения была главной осью инерции вала (динамическая балансировка). Балансировка роторов как жестких производится путем установки дополнительных грузов нли снятия части материала ротора в двух плоскостях. Методы балансировки и устройство балансировочных станков рассматр!шаются в курсе теории машин н механизмов.
Как видно из формулы (47.17), балансировка ротора как жесткого не обеспечивает отсутствия воздействия его на опоры при больших скоростях вращения, Полная уравновешенность ротора при любых скоростях вращения может быть достигнута только в том случае, если ротор не только уравновешен как жесткий, но и выполнены ус- ловия ~~~~те~и =-0 (й= — 1, 2, ..., л), )=! т. е. если распределение дисбалансов е; ортогональпо ко всем формам собственных колебаний. Условия (47.19) выполняются только в том случае, если все эксцентриситеты равны нулю, т. е.
ротор уравновешен в каждом сечении. Конечно, выполнить это требование невозможно, да и не необходимо. Так как слагаемые в выражении (47.18) быстро убывают, достаточно добиться обращения в нуль нескольких первых членов суммы. Так, если рабочая скорость вращения гибкого вала лежит между первой н второй собственными частотами, то достаточно достигнуть ортогональности эксцентриситетов к первой и второй собственным формам; '~" тле! и1о — — 0,1 у=! Выполнение этих условий позволяет устранить вибрации не только на рабочей скорости, но и при проходе через резонанс при разгоне и остановке (в связи с ортогональностью возмущающих сил к резониРующей форме колебаний).
Если для балансировки ротора как жесткого достаточно располагать балансирующие грузы в двух плоскостях уравновешивания, то для балансировки на первой критической скорости [т. е. при выполнении условия (47.20)1 необходимо использовать уже три плоскости уравновешивания. Это нужно для того, чтобы при установке балансировочных грузов не испортить балансировки ротора как жесткого.
Часто вместо балансировки гибких роторов на резонансных оборотах выполняют балансировку их на рабочей скорости вращения. В этом случае обеспечивается устранение вибраций на рабочей скорости, но не ограничиваются амплитуды при проходе через резонанс. расчет критической скорости вала с учетом гироскопических моментов. Так как критические скорости вала совпадают с частотами его собственных колебаний, то для их расчета используются те же общие методы, что и для расчета изгибных колебаний балок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
