Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Подсчитываем время пробега волны по стержню: с=- — = — '= — 666.!О в с, 0,333 а 5.10-г где а: )'Е/р =- [хх2 10"/(8.10') = 5 10' м/с. В качестве интервала М при численном решении задачи приннмаем Л1.= — т = — 33,3.10 в с. 2 Подсчитываем: Р / ал! [г (5!)г 0 Зззг 0 5г 2ЕЕа [, ! / бт 2 2 1Огг.4 44.10-г 5.!Ог (33,3 1О ')г -[- ' = 37,3 ° 10 " м.с/Н. б 1 339 Р и. 1Ов СО СО «О СЮ Л СЮ Со СО С'» СО С СО СО СЧ 11!+ Л:ОО»СОСЧЮ»со СОСЧС \'ЬЮОО«О Ю ЮО' СО« 1 Ю 1' СО СО Со 1! 1+ 11 Таблица 44.1 гс оп и с!1»!.1О-««1 ! = »ца»1 Гс Опи с/(»! 1О и) союо сч 1 с си л «ОС» СОЬЮО» СО жЯ» О»«О 2» - !"! 1+ 2 5 О 5 5 7 а Л 2188,2 3045,4 4099,2 5443,3 7176,8 6 7 8 9 !О 37,3 173,6 445,0 888,0 1476,! Рис.
44.5 ЮЮ СЮ«ОО «- СО .О 1' СЧО СО юс сч ли»- ю ю ь сч с» 1111 о и осою сои ю СЧ и»и»С» Ю 111+ ь,сч ! 1!' Ь 1(о.)1 7 1 с » о и и о й а -!о 1 0 1100 1480 1350 950 950 1320 1330 1020 — 490 о ЗЗ,! О О О 0 0 0 66,2 7,54 55,7 ~ 6,34 36,6 4,16 16,7 1,90 28,4 ' 3,23 50,9 5,78 40,3 4,58 ' 21,6 2,48 0 1О 15 20 25 30 35 40 45 0 0 5,75 10,95 17,04 21,32 25,06 30,87 36,87 48,01 0 ! 3 4 5 6 7 8 9 — 21,8 33,11 33,1 — 15,2 11,3' 44,4 — 80 — 3 9' 10 "» 11,8 — 11,9, 28,6 11,З вЂ” О,! О8,5 — 10,9 11,2 39,7 — 9,5 0,3 40,0 — 36,4 — 9,2, 30,8 — — 45,6 — 14,8 — 3,29 О 29 — 1,20 1,78 1,7! — 1,65 — 1,43 — 5,49 СЮ СЧ С» СО С» О» СО Ь й '" и»«ю--О»О» С'» СС мэ ! с О» счс»ьи»ю1 311 340 Знаменатель формулы (44.13) получает значение У (й!) + 8 . Л! 37 3 .
10-'О + 3 4 . 10-О . ЗЗ 3 . 10-4 151 . 10-12 м.с/Н Вычислим также значения функции Уа(Й !) для !' = 1, 2,... Эти значения приведсны в табл. 44.1. Расчет изменения контактной силы во времени приведен в табл. 44.2 и 44.3. В первой из этих таблиц вычислены значения Ьб 1 — 1 Р = ~~8 Р.—..б!М' Р .
Необходимаядляэтихвычисленийвеличина 1= 7 21;= ~„1, а=о О=О « — 2 УО 'г' 1(1 — л) Л!! подсчитывается одновременно в табл. 44.3. а 2 а=а Полученный в результате расчета график изменения контактнои силы представлен на рис. 44.5 сплошной линией. Штриховой линией Таблица 44.2 на том же рисунке показано изменение контактных сил, вычисленное без учета местных деформаций (см. 9 22), а штрихпунктирной линией — изменение контактных сил с учетом нелинейной зависимости Р(а) (см.
(40]). Сопоставление кривых показывает, что линеаризация контактных деформаций вполне допустима. Вместе с тем расчет без учета контактных деформаций приводит к более чем трехкратному преувеличению контактной силы. Заметим, что в результате расчета мы получили значение максимальной контактной силы 15 500 Н, достаточно близкое к тому, которым задавались при линеаризации контактной силы (15000 Н). Если бы разница в значениях Р, превышала 30% (что отвечает 10%-ной разнице в величине 6), пришлось бы провести расчет с новым значением 6. В рассмотренном примере в связи с большой простотой функции 172 все вычисления легко выполнить вручную.
Более сложные задачи решают на ЭВМ, причем программа может быть составлена в соответствии с тем же алгоритмом. Изменение типа упругой системы приводит лишь к изменению ее РЫЮгии Уе(г) На ЛИНЕЙНО ВОЗРаСтаЮЩУЮ НаГРУЗКУ. АЛГОРИТМ ж расчета сохраняется прежним. Так, например, рассматривая воздействие линейно возрастающей силы на среднюю точку балки постоянного сечения на двух опорах, найдем реакцию балки на эту нагрузку: 1 е (г) = — э — (Р„г — ып Р„г), иы/ ~ Рз а=па,а... л где т / — масса балки; Р„=- лена )' Е,//(т„Р) .
— частота л-и формы где ше — и собственных колебании. Следователыю, прн ударе грузом массой и по балке функция Уе(г) имеет внд е (г) .~ , (/ »» ' ьгп Риг) '» а л!35...ра П и малых значениях Р,г ряд в выражении для Ге(г) плохо сж- р дится. Здесь может быть использована приближенная форму а л 1 . 1 зи 1 Ма 'ч — (Р,г — з(п Р„г) ж —" — (Р,/) и а и па а,... Рй 1 [Р = — яе [' Е//(ггго/а)[, которая получена из рассмотрения реакции на лшгейио возрастающую нагрузку бесконечной балки'. 6"Г ' »П МП г»»11 ге гП б) Р,н га П П/ Пг Пб йп гд г,б (б г,с ю-' Рис. 44 б * Ом.: Л у р ь е Л.
Рв Операииоииое исчисление. М., ГТТ11, Ю18. ях г,к а формула справедлива, конечно, только при малых з ч ях Ра, когда влияние опор еще не сказывается существенно на дви нии сРедней части балки (пРи Р,г = и/4 ошибиа составля~т 306) На рис. 44.6, а приведены результаты расчета для случая удара стального шарика диаметром 2 см по балке квадратного сечения 1 х 1 см, длиной 15,36 см.
Скорость удара 0,01 м/с. Штриховая кривая получена для этого же случая С. П. Тимошенко при йелинейной зависимости местных деформаций от контактной сплы. На рис. 44.6, б приведены аналогичные кривые для удара шариком, имегощим диаметр 4 см, по балке сечением 1 х 1 см, дли. ной 30,7 см. В этом случае в процессе удара имеют место трн отдельных периода контакта между балкой и шариком. Сопоставление кривых показывает, что и при изгибающем ударе линеарнзацня контактных деформаций вполне допустима. После того как изменение контактной силы определено нет подсчитать и внутренние силовые факторы в каждой из соударяющихся систем, считая возмущающую силу Р(г) заданной.
4 У»»РОП(е Т/1111 31ЕТ11Д11 Р УЛ»»РНЫХ НА1 РУ301 Точный расчет упругих систем и в особенности с1гстеа деленной массой на ударную нагрузку весьма сложен. Кроме того, часто сами соударяющиеся детали имеют настолько сложи ю к фг аию, ур ц, что схематизация их в виде бруса является чрезвычайно грубой. Поэтому в практике применяют упрощенные методы расчета на ударную нагрузку. Прн точном расчете по заданным начальным условиям определя1от движение упругой системы в процессе удара. В отличие от этого при упрощенном расчете закон движения системы задают на основе тех или иных соображений и вычисляют лишь примерную величину максимальных перемещений и напряжений.
Расчет выполняют либо путем рассмотрения движения упрощенной системы с одной степенью свободы, к которой приводится реальная упругая система, либо путем приравннвания энергии деформации системы кинетической энергии ударяющего груза. Собственную массу упругой системы или не учитывают вовсе, нли учитывают как некоторую эквивалентную сосредоточенную массу, приведенную к точке удара.
Если игнорируют массу упругой системы и деформируемость груза, ударяющего по ней, то задача удара сводится к изучению совместных колебаний груза (который в данном случае характеризуется только своей массой лг) и упругой системы, которая характеризуется только своей податливостью 6.
Во время совместного движения груз и упругая система представляют собой колебательную систему с одной степенью свободы, расчет которой не вызывает затруднений. Так, если имеет место горизон- 343 Хо1ат '= У /ст г (Оо/р) /иаа = /от ~ 1' /ст-1 (оот р) (45.5) /а = о/р =- т: Утй, (45.2) Рис. 45Л Рис. 45.2 /-0 Рис. 45.5 Рис. 45.4 (45.5) х(0) = — /„; х(0) = о„ 13 — 318 345 тальный удар (рис.
45.1), то, отсчитывая время от момента первоначального контакта, находим закон движения груза: х = (о,/р) ейп /г/, (45.1) где оо — скорость удара; р = г'1/(т8) — собственнаячастотасистемы. Продолжительность контакта равна полупериоду собственных колебаний системы: а максимальное смещение х „достигается в момент Р = 1/о/' (рис. 45,2): х,„= по/р = ооУт8 = 1/ тоо8 = У2Т3 (45 3) Здесь То =тф2 — кинетическая энергия ударяющего груза. Максимальная сила удара Р. =х..„/8 =У22ТТо/3. (45.4) Как видим, в данной простой системе динамические перемещения и усилия полностью определяются энергией удара. Формулы (45.3) и (45.4) могут быть получены и наоснове рассмотрения энергии системы.
Для этого нужно приравнять кинетическую энергию груза Т,= = тооо/2 энергии деформации (/ системы при максимальных перемещениях: (/таах = хааа/(28) = Ртад 8/2 В случае вертикального удара (рис. 45.3) закон изменения перемещений за время контакта (с учетом влияния силы тяжести) получим, отсчитывая смещения х от положения статического равновесия. Тогда начальными условиями движения будут условия где /„ = тд8 — прогаб системы под действием веса груза. Соответственно перемещения определяются выражением х =- — /„соз рг+ (оо/р) з1п р1. Графпк изменения х показан на рис.
45.4. Максимальное перемещение Полная деформация / „„, отсчитанная от недеформированного положения, больше х,„на величину статического прогиба: 1 Максимальная сила удара Ра.„= /иаа/8 =- 1;г+ У я' —; ооо/(р'8') где Я = гггд — вес груза. Продолжительность удара в данном случае го =- 2 (я/2 + агс(я (р/„/оо)1/р. (45.7) Формулы (45.5), (45.6) для /иаа и Р „можно, как и при горизонтальном ударе, получить из рассмотрения энергии. Для этого нужно максимальную потенциальную энергию деформации си- пг стемы /а „о/(26) приравнять сумме кинетической энергии тооо/2 -(Ь1' и Работы свлы тЯжести 14/и„а.
При приближенном учете собственной массы системы путем приведения ее к точке уда- пгг ра принимают, что соотношения между перемещениями точек системы при ударе такие же, как при ее собственных колебаниях основного тона или прн деформации системы статической нагрузкой, приложенной в точке удара.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
