Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 58
Текст из файла (страница 58)
'И( М М('(, ) При принятых значениях спектральная функция ускорения имеет вид, представлеиньш на рнс. 42.5. Дисперсия ускорения />7 определяется интегралом Интеграл такого типа может быть вычислен аналитически*, но более быстро ' Смл Г р а д ш т е й н И. С., Р ы ж н к И. /(. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведевий, с. 232 — 233. ведет к цели численное интегрирование. Таким образом„в данной зздачс получе- но значение Следовательно, среднеквадратическое ускорение составляет 2 5 й 5 Б 789/О /5 20 50 40 50 б070цл,с Рпг.
425 Для оценки этой величины отметим, что максимальное ускорение туловища человека при нормальной ходьбе составляет * 2,5 и,'с-". * См.:Ротенберг Р. В., Вурлаченко Н. П. Офязнологических критериях плавности хода автомобиля. — автомобильная промышленность, 196(>, йй 2. ГЛЛВЛ ЧП1 УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕХАВ1121ЕСИИХ СИСТЕМ При соударении механических объектов возникают их колебания. В предыдущих разделах книги возмущающие силы считались заданными. При ударе возмущающие силы возникают в результате взаимодействия соударяющихся объектов и могут быть найдены только в связи с изучением динамической деформации последних. Существенной является возможность разделения деформаций при ударе на деформации, локализованные вблизи от места соударення, и общие, захватывающие весь объем соударяющихся объектов.
При соудареппн массивных тел (в частности, шаров) их общей деформацией можно пренебречь по сравнению с местной. Основанная на этой гипотезе теория упругого удара была разработана Герцем. С другой стороны, можно построить теорию удара, в которой игнорируются местные деформации п учитываются лишь общие. Применительно к продольному соударению стержней такая теория была построена Навье, а затем, в более удобной форме, Сен-Венаном и Буссннеском (см.
3 22); аналогичная теория для изгибающего удара была также предложена Сен-Венаном. Проведенные эксперименты показали, что пренебпеженпе местными деформациями, как правило, недопустимо. Теория упругого продольного удара стержней, учитывающая как местные, так и общие их деформации, была предложена Сирсом, а теория изгибающего удара — С. П.
Тих!пшенка. Следует отметить, что идея, лежащая в основе теории С. П. Тимошенко, — определение контактной силы из интегрального уравнения — является универсальной и может быть использована прп решении всех задач ударного взаимодействия. В настоящей главе рассмотрены классическая теория удара Герца и теория, основанная на идеях С. П. Тимошенко. Также излагаются приближенные приемы расчета на удар, позволяющие получить грубую оценку динамических перемещений и напряжений. Более полное изложение вопросов расчета на удар содержится в гл. Х книги 140], а также в работе 117].
Специально вопросам распространения ударных волн посвящены книги 130] и 141]. 5 43. ТЕО!>ИЯ ГЕРЦА (43.1) Коэффициент й зависит от кривизны поверхностей тел в точке контакта н от свойств материала. В частности, если поверхности являются сферическими с радиусами кривизны Р! и Р„то х, где р — коэффициент Пуассона для материала обоих тел; Š— модуль упругости. Рассматривая два тела т, и тз, движущиеся до соударения со скоростями и! и пл по одной прямой (рис. 43.1), получаем следующие уравнения движения их центров инерции при ударе: Риа 48.! (43.2) т,х, = — Р(а); т2х2 Р (а) > где х, хз — координаты центров инерции тел; Р— контактная сила; ! а — сближение тел вследствие местного сжатия. Отсчитывая х, и х, от положения начального контакта тел, устанавливаем, что (43.3) а =х — х ! Исключив нз уравнений (43.2) х, и х, с помощью соотношения (43.3), придем к уравнению а = — Р(а)lт, (43.
4) где т =- !я!я!,,!(2п2+ та). Первый интеграл уравнения (43.4) легко вычислить: К ! о!такта. Во-вторых, предполагается, что контактная сила и кон ью, как тактные деформации связаны при ударе такой же зависимостью, к и при статическом сжатии тел, т. е. не учитываются силы инерции элементов тел, прилежащих к площадке контакта в их относительном движении. В такой постановке задача удара сводится к исследованию относительного движения двух жестких тел, соединенных нелинейной пружиной. В соответствии с теорией контактных деформаций Герца, если начальное касание тела осуществляется в одной точке, а расстоя сстояние между телами вблизи этой точки может быть аппроксил2ировано уравнением второго порядка, контактная сила Р в зависил2ости от сближения тел а определяется формулой Р = ьаа/2 331 330 Теория удара Герца основана на двух основных гипотезах. Вопервых, предполагается, что общие деформации соударяющихся тел л2алы по сравнению с их деформациями в окрестностях площадки (а)2!2 = — — ~ Р (а) да + С.
т . о (ах) — и = — — ~ Р(о)с(а. 'г 2 оа о (43.5) (43.12) ввх 2 1 — Р(о) 1)а = о дх о (43.6) ~ Р (а) да = — йа ' 2 313 о (43.7) и максилгальное сжатие ааааа (43. 8) Рп„х= йа, —..- й ~ — 1иоа) *. (43.9) о (43.10) Р (х) а(а =- — йап,,„- - с о Отсюда 3 33 1~3 о .=- — вп 4 с=- — й' Р О - "' 4 па ах Ю т' = -. ~'1Ыс )-2и 7оа, 332 333 Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при 1 == 0 а = 0 и а равно начальной относительной скорости соударяющихся тел ао. Отсюда С = пог72 н Уравнение (43.5) позволяет определить максимальное сближение тел, обусловленное местной деформацией. Так как при максимальном сближении а = — О, то ап„„определяется из равенства Если справедливо уравнение (43.1),то Соответствующая контактная сила Определим время удара из уравнения (43.5): Разделяя переменные и интегрируя, находим продолжительность удара т: швх ~ г 2 — 113 г = 2 ~ ~о,— — ~ Р (х)юЬ 1Ь.
о па о Подставляя сюда значение (43.7) и переходя к переменной интегрирования ь =- а/а ах, находим 1 ~~пах (' 11". оа 03 )с! —.313 Определенный интеграл равен !,4716 и, таким образом, т = 2,9432 — а'в" = 2,9432 ( — ) о . (43.11) Следовательно, время соударения изменяется обратно пропорционально скорости соударения в степени 0,2. Теория удара Герца неоднократно проверялась экспериментально, причем неизменно получалось близкое соответствие между расчетными и экспериментальными значениями контактных сил н времени соударения, если только при экспериментах выполнялись предпосылки теории (главным образом отсутствие пластических деформаций).
Теорию Герца нетрудно модифицировать, принимая вместо (43.1) другие зависимости между контактной силой и сближением тел. Так, в работе (28) получено регпенис задачи для произвольной степенной зависимости Такая зависимость получается при упругол1 сжатии тел, контакт между которыми является более плотным, чем в теории Герца (в этом случае, как показано И, Я.
Штаерманом, 1 = п (372). В форме 43.12) удается также представить экспериментальные зависимости (а) прп наличии развитых пластических дефорл1аций (см. (26]). Можно также учесть различные законы изменения контактной силы в зависимости от а прп нагрузке и разгрузке (за счет пластических деформаций). Во всех случаях расчет выполняется по тои же схеме, меняется лишь завнсимость Р(а) в формулах (43.5), (43.6), (43.10). Следует отметить, что результаты расчета не очень чувствительны к деталям формы зависимости Р(а). Поэтому возникает возможность линеаризации этой зависимости.
Так, в частности, нелинейную зависимость (43.1) можно заменить ломаной линией (рис. 43.2), выбрав ее так, чтобы значениям а О„Р,О„. по приближенной и точной зависимости соответствовала одинаковая энергия деформации. Изэтих условий нетрудно вычислить хо н жесткость на линейном участке с: * 313 Ршах =- '"птах = с (%пах хя)~ Расчет линейной системы с этими значениями ао и с приведет, конечно, к тем же значениям а,„ах и Рп,„., что и расчет нелинейной системы. Однако этого нельзя утверждать относительно продолжительности соударения.
При ударе по линейной системе продолжительность удара складывается из полупериода собственных колебаний системы я )'т!с и времени прохождения грузами отрезка ао при сближении н расхождении: Подставив сюда значения а, и с, найдем 2)911л~пах~пюа 0 а[к осо[ак (44.1) Рис. 48.3 Р[[с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
