Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 54
Текст из файла (страница 54)
(39.8) Из уравнения (39.8) нетрудно подсчитать скорость флаттера. Не останавливаясь на дальнешнем анализе этого уравнения, проследим на числовом примере, как изменяются частоты свободных колебаний крыла по уравнению (39.6) при увеличении скорости потока. Допустим, что (о)„/оы )а =--- 1/1О; р =-- 10; а —... 0,10 Ь = 0,058 гаПа =- =.—. 6,06. Этим данным соответствуют скорость дивергенции (найденная по уравнению (39.7)) пд ..—.— 1,25ом 1 н скорость флаттерае ео —.
0,836го„( (по уравнению (39.8)). График изменения частот колебаний системы в зависимости от скорости потока, построенный в соответствии с уравнением (39.6), показан на рис. 39.2. * Отметим, что результат нашего грубого расчета не слишком далек от действительности. В книге (61 приведены графики (рис. 9. 6, в), иэ которых можно устаиовить, что при точном учете аэродинамических воздействий скорость флаттера для данного крыла составляет о4, = Ео ы Д ГЛАВА Ч11 СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 4 40. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ зоо При п =- 0 система имеет две частоты собственных колебаний, мало отличающиеся от частот чисто крутильных и чисто изгибных колебаний.
С увеличением скорости потока частоты сближаются и при скорости флаттера оказываются равными друг другу. Как указывалось в 9 13, наличие кратных собственных частот для консервативной системы не связано с какими-либо особенностями ее поведения. Для неконсервативи/ ной системы, которую представля- ет собой крыло, находящееся в 10— потоке воздуха, слияние двух частот ведет к потере устойчивости движения. В процессе колебаний система начинает интенсивно потреблять энергию потока и амплитуды колебания неограниченно нарастают. Механизм этого явления легко понять, если представить себе, что происходящие е одинаковой ~аетатой кр утильные и 0 Об 0806 1О 1ш„изгибные колебания крыла сдвинуты по фазе на и!2, так что, когда крыло движется вверх, его угол атаки (а значит, и подъемная сила) больше, чем когда оно движется вниз.
При этом за полный цикл подъемная сила будет совершать положительную работу и энергия колебания будет непрерывно нарастать. Сделанный вывод о неограниченном росте амплитуд связан с тем, что рассматривалась линейная система уравнений. Для определения установившихся амплитуд флаттера следует учесть нелинейности как механического, так и аэродинамического характера. Однако этот вопрос не имеет большого практического значения, так как в реальных самолетных конструкциях разрушение при флаттере происходит раньше, чем установится стационарный режим движения.
Рассматривая вынужденные колебания, мы считали возмущающие силы детерминированными функциями времени, т. е, изменяющимися в зависимости от времени по известному закону. В большом числе технических задач колебания возбуждаются случайными воздействиями. Примером случайных колебаний являются колебания, вызываемые ветровой нагрузкой. Проектируя то или иное сооружение, мы располагаем лишь статистическими сведениями о ветрах в данной местности (силе и длительности порывов ветра и т. и.), но, конечно, не можем предсказать в точности закон изменения ветрового давления на сооружение во время его эксплуатации. Важными примерами случайных колебаний являются также колебания транспортных машин, вызываемые неровностями дороги, колебания конструкций, вызываемые давлением струи реактивного двигателя, и т.
п. Вопросы теории случайных процессов получили широкое развитие за последние 20 лет, главным образом применительно к задачам автоматического регулирования и связи. С основами теории можно ознакомиться по книгам !15, 44, 45, 47!. Кыига 114! специально посвящена применению статистических методов в строительной механике, а книга 146! — расчету случайных колебаний транспортных машин. Некоторые методы расчета случайных колебаний нелинейных систем изложены в работе !29!. В .настоящей главе рассмотрены лишь простейшие расчеты. Предполагается, что читатель знаком с теорией вероятностей в объеме общего курса математики для втузов*.
Необходимые понятия из теории случайных функций приводятся с соответствующими пояснениями. Основные определения. С л у ч а й н а я ф у н к ц и я — это функция, значение которой при данном значении независимой переменной является случайной величиной. В качестве примера случайной функции рассмотрим продольный профиль дороги. Если речь идет об определенном продольном сечении участка дороги длиной 1, то профиль дороги может быть из- * См.: например: А. д. М ы ш к н с. Лекции по высшей математике. М„ Наука, 1969.
мерен и значения высоты неровностей в каждой точке над некотор условным уровнем могут быть изображены графически. орым Конечно, вид этой конкретной функции зависит и от выбора учас астка измерения, и от того, вдоль какой линии проводились замеры. Е слн повторить замеры вдоль другой линии, мы получим другой граф афик Рис. «0.1 Каждый из конкретных графиков зависилюсти высоты неровностей от пути можно рассматривать как одну из возможных реализаций случайной функции х(г).
Сама случайная функция задается множеством своих реализаций. Количество возл!о>кных различных реализаций, вообще говоря, бесконечно. Случайная функция х(1), независимой переменной в которой является время, называется также с л у ч а й н ы м н р о ц е с сом. Значение случайной функции при фиксированном значении аргумента 1 =1, является случайной величиной, различной для различных реализаций (рис. 40.1). Эта случайная величина характеризуется определенным законом распределения )(х, 1,), представляющим собой отношение к бх вероятности того, что х(1,) заключена в пределах х, х+ дх.
Одной из вероятностных характеристик случайной функции является математическое ожидание т„ (1) = [ ип — ~~~' х„ (1) = М [ х (1)]. (40. [) л- >у с=! (40.2) М[х(1)] = ~ х[(х, 1)![х. Величина >п„(1), представляющая собой среднее вероятное значение х в момент 1, является неслучайной функцией времени. Разность случайной функции и ее математического ожидания о х(1) = х(1) — лл„(1) (40.3) 310 Здесь символ математического ожидания М[ ] означает осреднение значения х в данный момент 1 по всем возможным реализациям х„(г == 1, 2,...,оо).
Если известен закон распределения 1(х, 1), то математическое ожидание можно также вычислить по формуле называется центрпрованной случайной функцие й. Естественно, что М[[х(4=0. В дальнейшем будем рассматривать колебания линейных систем. '[ля таких систем справедлив принцип суперпозиции н движение, п>!звонкое случайной нагрузкой: о х (1) = т„(1) с х (1), кладывается пз движения, вызываемого детерминированной нагрузкой и!«[1), и действительно случайных колебаний!, обусловленных на- о грузим.! х!1). Лля расчета первого из этих движений используются ооьщные методы расчета вынужденных колебаний.
Поэ>ол!у в дальней- и!ем рассматриваются в основном центрированные случайные фупк- о цип х(1). Разброс случайной функции около своего средне!о значения характеризуется дисперсией, т. е. средним (по возл!ожыым реализациям) квадратом отклонения. Р(1) М [хо (1)1. Наряду с дисперсией рассматривают и среднеквадратическое ) отклонение («стандарт»): о (1) = )'0ф (40.5) Как дисперсия, так и средне- квадратическое отклонение являются неслучайными функциями. Величина дисперсии, характеризуя разброс значений функции х(1) в данном сечении, никак пе определяет характера изменения случайной функции в зависимости о) от аргумента 1. Так, например, функции, некоторые реализации которых представлены на рис. 40.2, соответствуют примерно одинаковым значениям дисперсии, однако характер их изменения совершенно различен.
Па рис. 40.2, а представлен «, график случайной постоянной, на рис. 40.2, б — медленно, а на рнс. 40.2, в — быстро изменяющейся функции. В значительной степени поведение случайного процесса во вре- Рии 40 ' 311 меня характеризуется его корреляционной функиией е и Го в 1 К„(/„ /2) = 11!п — ~ хт (/1) х„(/2) =.. М [х (/,) х (/,) ]; (40.6) х 1 2 и .„ т.=! здесь осреднение выполняется по всем реализациям функции х(/), Корреляционная функция отражает связь между значениями слу. чайной функции при двух разных значениях независимой перемен. ной.
К„(1„ /2) является симметричной функцией своих аргул!ентов: Кт (/! ~2) Кт (/2 /1) При /1 = /2 формула (40.6) совпадает с формулой (40.4) и корреляционная функция оказывается равной дисперсии; Кх(г, О =-а/ (/). (40. 7) Важным классом случайных функций являются стационарные случайные функции, т. е. такие функции, вероятностные характеристики которых одинаковы при всех значениях /.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
