Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Рассьготрим и качестве примера заделзнн1ю по контуру прямоугольную пластину постоянной толщины (см. рис. 34.2). Огрзничиааясь одним слагаемым выражения (38.3), примем в = с [! 4- соз (2ях,'а)] [! + соз (2су/Ь)!. Проиодя вычисления по формулам (38.1) и (36.2), находим: Г/о = со/32яоаЬ [3/а' + 2/(аоьо) + 3/Ьо[; ЗЗ[ = о/о горла Ь. Для частоты колебаний получаем Р 1, 24/оГЯ огг,по )Г/З/(р!гао) В случае Ь.=а р = 37 2 1' 07[ЗЬа4) что на 3,3[о выше точного значения. позволяет определить частоты собственных колебаний. Если в выражении (36.3) ограничиваются одним слагаемым, то частота определяется по формуле Рэлея: Л' = 2[/,/3)[. (36.5) Можно задаваться выражением для формы колебаний, в которое параметры с„ с„..., с„ входят нелинейно: [/о == [(а' — и')'+ 2 (1 — [о) (з — 1) (2пзз — и' — з')] ~ йога -аг[г.
24 (! — р') (36.8) а = .р ~ /г гыыбг г Чтобы оценить погрешность метода, применим его к расчету ча стоты колебаний диска постоянной толщины при двух узловых диа метрах. В этом случае яЕЬо 2 !о-!) Г (ао — 4)о [/о = /4 ~ + (1 — !о) (8а — 4 — з')~! 24 (! — ро) ~2(а — 1) д4[ = пр/г[Са !'+!1/[2(а+ 1)]. Отсюда а+! [(и 4)з ы а — ! 2[/о Еяо Р 3[и 12о (1 — о~) Ро где интегрирование выполняется по всей срединной поверхности ил асти ны. При изучении колебаний осесимметричных пластин полагают пг(г р) = [от(г) созна.
В этом случае интегрирование по гр можно выполнить в общем виде и выражения для [/о и д)[ представляются в форме [/, =- — ' ~ О ~~Ю" пг — К' — — Ю') + 2 (1 — р) и' ~~ — К) 1— ао — 2 (1 — р) [е" ] — [[г"' — — К)) гг[г! (36.6) го [й[ = в ~ рп]Ргг[г. (36. 7) Для сплошной свободной пластины вычисления упрощаются, если принять функцию [17(г) в форме, предложенной А. Стодолои: [р' =- г', где з — параметр, определяемый из условий минимума дроби Рэлея 2[/о/рос Тогда аЬ о — 2 (1 — [г) (з — 1) (8а — 4 — аз) ]. гс 174 уи Рис. Зо./ 2Ю 282 При расчете колебаний круглых пластин целесообразно использовать выражения энергии деформации и обобщенной массы в полярных координатах г, <р: [/„— ~~ — ~~ —,+ — — + —, — ~ + 2(1 — р) ~ — ] — — 11— дов / ! дв ! д'в! — 2 (1 — р) — [ — — + — — ]~ го[ге[со; ,: д,,] И = ~1рйш"бгбр, Изменение этой величины в зависимости от параметра з показано иа рис.
36.1. При а = 1,742 достигается минимум р' ==. 29,41/7/(р/г/[го). Следовательно, частота составляет р =- 5,43)'г /)/(р/тйо) . Точное значение частоты, найденное выше, составляет 5,17]/О/(рЩ4). '2 ") (аН!о) (иа+ иа+ ига) дп 4 37. колеБАн)чл ОБОлОчек 7~ Таким образом, метод Рэлея — Ритца в данном варианте дает ошибку порядка 5')а. )га ! ) (6 Ь Р [(х -)- ха)а -+ 2 (! — и) ( х!г — х!ха) ~ дц Колебания изгиба пластин можно рассматривать независимо от их колебаний в своей плоскости. В отличие от этого при колебаниях оболочек изгиб стенки связан, как правило, с растяжением срединной поверхности.
Потенциальная энергия деформации оболочки вырагкается формулой (7 У1+ Ца где Бл 2 (/! -.= — [ ! ' [(а, + аа)а+ 2(1 — )г) (у!з/4 — а!ха)] Й), (37.1) гаа з (/! =-- — [ ( [(х, + ха)а+ 2(1 — (!) [ х!з — х х.,)] гЕ' Частота колебаний определяется формулой Рэлея ыа = 2 (У ! + [/а) !И; (37. 2) и числитель и знаменатель дроби (37.2) зависят от выбора функции перемещений и, и, кг. При этом истинные формы собственных колебаний сообщают выражению (37.2) стационарные значения, а первая собственная форма — минимум.
Обозначим характерный размер оболочки )7, характерную толщину й,. Тогда формула (37.2) получает структуру ига = [), »- г,а (! — Иа) айа, !2йа (37.3) где Л')! (г!7за) [(Ч+ аа)а+ 2(! г) (та /4 Ч'~)1 дц )) (аг'иа) (и' + иа + ва) дп Величина У! представляет собой энергию растяжения оболочки,' ,'/а — энергию ее изгиба, е„е„уга — компоненты деформации сре-" дипной поверхности, я„х„х„— параметры изменения се кривизны.. Интегрирование в формулах (37.1) выполняется по всей срединной поверхности () оболочки.
Величины е„аа, у„, х„х„х„по известным формулам (см. [3)) выражаются через компоненты амплитудного перемещения и, о, пг точек оболочки. Амплитудное значение кинетической энергии движения оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой ег, составляет 7'=:. г/,игЩ, д)(=- (~рй(и' »-па-» ша)!»о, — безразмерные величины, зависящие от вида амплитудных функций и, и, ш. Заметим, что второе слагаемое в формуле (37.3), соответствующее энергии изгиба оболочки, имеет малый множитель йа,)(12)гз). 1'1оэтому прн минимизации ыа наиболее существенно уменьшение й„ т. с. слагаемого, соответствующего энергии растяжения срединной поверхности. Если геометрия оболочки и условия ее закрепления это допускают, то наименьшие значения частот отвечают та- .а!И~ кому выбору функций и, и, ю, при котором ), О.
Но требование ),! =- О может быть )з выполнено только при е, =- О, еа = — О, Т„= О, т. е. при отсутствии растяжепия срединной поверхности. Такой вид деформации оболочек называется чистым изгибанием. Теория колебаний оболочек без рас- Рио Д7.7 тяжения срединной поверхности. Рассмотрим на основе этой разработанной Рэлеем (см.
[42)) теории колебания цилиндрической оболочки (рис. 37.1). Определим положение произвольной точки М на срединной поверхности оболочки координатами а =- хЯ, 5. Компоненты перемещения точки в продольном, окружном и нормальном к поверхности направлениях обозначим соответственно ц, о, ял Компоненты деформации срединной поверхности определяются формулами ди Яда ди ) га ди ди дд;! Л )гд !ада (37.4) Приравняв а„ з, и у„ нулю и проинтегрировав полученные пения, выразим и,п,щ через две произвольные функции угловой линаты урав коор и = )! (»)) и аг! (!)) -В!а (!)) пг а!! (()) г2(й) (37.5) где штрихи означают дифференцирование. Из полученных формул видно, что при деформации цилиндрической оболочки без растяжения срединной поверхности образующие остаются прямыми, а осевые перемещения не зависят от продольной координаты. Формулы показывают, что чистые изгибания замкнутой цилиндрической оболочки возможны: а) если ее торцы свободны (в этом случае отличны от нУлЯ и ), и га); б) если на одном из тоРцов запРещены перемещения о, и!, но разрешено перемещение и; в) если на одном из (37.7) где Риа ЗХ2 !2 (! — !с') га' Г ра ' .
~[А!( — — 1) Е ~,дйа 1 — р) С1,1)в + С!)а1 = — О, дай два — ~ — уа — Ц вЂ”.—. О. (37.8) 286 2В7 торцов запрещено перемещение и. Если оболочка оперта на обоих торцах, чистое изгибание ее невозможно. Составим выражения потенциальной и кинетической энергий оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой ы. В об.
щем выражении потенциальной энергии деформации сохраняется только слагаемое (уа (37.1). Входящие в него параметры изменения кривизны определяются формулами ! дааа х — — — — — =- О 'а ра да ха = — — [о — — ) = — — ~ — а [)! (Р) + 7! (Р)[ — ,' +)г([))-и!г (р)~, ! д ! дав~ 1 = — — [ — —,,) =- — —, [7 (Р)+6 (Р)[. После подстановки этих значений н выражение (уа (37.1) и интегрирования по а с учетом того, что Йо = МЧИ, найдем (7:=- и, = — ', „' ~ [А(~, + [Г)' — 2В([ +[щ)(['+ Б")+ + С[(7г+!а ) + 2(1 — )а)(7' +7 ")~[пР, (37 6) аа = РЛа [ (А, [( Га)'-~- ( 7!)'! — 2В, ( )аа(а + ~~ Гг) + + С, [Д-,- Д ([,')')) бй, А.= ) йааЧа, В = ~Ь'ада, С = [ ВЧа, О а А =- [ !гаЧа, Ва = ~ Ьайа, С, = [ йс(а.
Интегралы в выражениях А, В, С, А„В„С, вычисляются по всей длине оболочки. Из основного уравнения (25.2) метода Рэлея — Ритца следует, что выражение а/,р ас — (7, где р — частота собственных колебаний, должно иметь стационарное значение '!' ' руд( — (7)=О. ~,2 Отсюда следует система обыкновенных дифференциальных уравнений для функций ~,ф), ~Я). В этом случае, если форма всех меридиональных сечений одинакова (толщина оболочки не зависит от О), коэффициенты А, В, С, А„В,, С, постоянны и уравнения получают такой вид: );! ' да 'а да Г да(а ага дза ' дга д)' "дй 1) [В, "„~ — С,),,1 =- О. Решение этих дифференциальных уравнений для открытой оболочки должно бьгть подчинено граничным условиям на продольных кромках.
11а этих кромках могут быть заданы перемещения и (постоянные вдоль каждой кромки), а также перемещения о, ю и угол поворота О, =-: — !о — ~~) в двух различных сечениях по длине оболочки. Итого й! дй имеется семь кинематических граничных условий на каждой продольной кромке, что соответствует 14-му порядку уравнений (37.7). Если закрепления отсутствуют, то кинематические граничные условия заменяются естественными граничными условиями.
Если оболочка симметрична относительно поперечного сечения а =- О (см., например, рис. 37.2), то В = В, = О и функции 7а(6) и )а(э) определяются независимыми дифференциальными уравнениями Функция 7, описывает в этом случае кососнмметрнчные относительно сечения а =- О формы колебаний, а функция !а — симметричные.
УРавнение, опРеделЯющее фУнкцию Га((!), не отличаетсЯ от УРавнения колебаний кольца в своей плоскости. Для замкнутой оболочки граничные условия заменяются условиями ])] периодичности, которым удовлетворяют функции /г ==- Мсоэ/г[), — Л'созЦ. В случае симметричной оболочки подстановка этих выражений в уравнения (37.3) приводит к следующим значениям частот: 1 Е )го(!го--1)'!)ггА 1-2(! — а) С) /'м 12 (1 - — ао) ?Нг Ог (И -)- !) А, и,- С для кососимметричных колебаний н 1 Е С йо (?гг — 1)' г 12 (1 — аг) г)гг Сг аг+ 1 для симметричных колебаний.
/!ля оболочки постоянной толщины Ь и длины 21 (рис. 37.3) о2!]о А — — 21!о ~ аида = — Ьг [ — ], С =- 2йо [ о)а = 26о/— г?гг ггд Лг.=. 2/г ] аЧа =- — й ~ — ), С, = 2/г ] г)а = 2/г [ — ) . г 1 В этом случае ело ао (ао — Во !ао (!/Р)'+ 8 (1 — ! )1 12 (1 а ) оУ ао (ог+ В ()М)о+ 8 ЕЬ' !Р ()го — 1)' Роо Щ (1 — Ио) Ой' во+ 1 Как видно из полученных формул, при колебаниях оболочек без растяжения срсдишсой поверхности частоты определяются зависимостями такого же типа, как и для пластин: р = ), ]?7 /~р1~~~, где  — цилиндрическая жесткость, ). — числовой коэффициент. Прн стремлении толщины оболочки к нулю частота ее колебаний без растяжения срединной поверхности также стремится к нулю.
Применим изложенную теорию к расчету низших частот собственных колебаний конструкции, состоящей из круглой пластины и цилиндрической оболочки (гибкое колесо волновой передачи, рис. 37.4). Считая пластину нерастяжимой, будем иметь в сечении А — Л оболочки граничные условия о = О, щ = О. Располагая здесь начало отсчета координаты а, установим [см. формулы (37.4)], что в этом случае функция /о(6) === О и перемещения оболочки определяются формулами и = /, (6), о =- — а/! (6). щ = а/! (])).
Задавая /г(6) = соз/г6, вычислим по формулам (37.6) энергию и обобщенную массу оболочки 1с учетом того, что Яг (/го — 1)о А -] - 2 (! — р) /го (йо — 1)' С), 12 (1 — !.о) Яг 77/оо - срРо[йг(/го+ 1) Л, + С,). Здесь ири /г((1 !га о а!о .', 8На ! а! НЬ зР ~ )1,]' ', Н, а!)' о о В месте стыка цилиндрической оболочки и пластины осевое перемещение /г(6) =- соз/г6, а угол поворота образующей в своей плоскости дм 1 " И 8, —.. — — .
— — /, (!)) — — соз/г6. ггда )1 Н Рис. 8? 4 Рис. 87.5 Пластина деформируется также по /г волн, причем на ее внешнем контуре задано (рис. 37.5): гпоо ==. иог =- сов/г6, да!со/дг = Ь! =.- (йоИ) сов/г[). Этим условиям можно удовлетворить, если принять упругую поверхность пластины в виде юо, ==- (г//7)' сов ггб. Потенциальную энергию и обобщенную массу пластины находим по формулам (36.6), (36.7): Уаг = — о/г ро/(/гг + 1) деформации /'о(6) ==0): У,о — —" Ьо! Ноа С.-=- ] /гос(а= — [1+ — ), ао! ) о — — ао ( )1, ( 1)]~ 10 — 318 289 Суммируя (/ =- (/,з -,'— (/„„йз1 = ззг,а ( яг/ „, далее находят частоты колебаний по формуле Рэлея: р, = 2(//здг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
