Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Рассмотрим матричное уравнение Му =йу, где й — параметр. Это уравнение можно представить в виде (М вЂ” йЕ) у = О. Подобно уравнению (!2.28) колебаний системы с и степенями свободы, это уравнение может быть выполнено только прп равном нулю определителе !)е((М вЂ” ЙЕ) = О, (32.1) откуда определяются 2п собственных чисел й2 (1 = 1, 2,...,2п) матрицы М. Каждому собственному числу соответствует собственный вектор у2 (за который может быть принят один из столбцов матрицы, присоединенной к матрице М вЂ” й;Е; см.
8 12). Каждый из собственных векторов удовлетворяет уравнению Му, = й,уз Вектор состояния Х; можно представить в виде разложения по собственным векторам матрицы М: где У вЂ” матрица, столбцами которой являются векторы у1, .с— вектор, составленный из постоянных. Тогда вектор состояния в (! + 1)-м сечении Х2„, = МХ! =- чв с,Му, = — э' с,йзуз = УКс, диагональная матрица собственных чисел. Так как, с другой стороны, Хьм — МХ; = МУс, то МУс = УКс.
Это равенство должно выполняться при любых значениях вектора состояния в 2-м сечении, т. е. при любом векторе постоянных с. Отсюда следует равенство матрицМУ = УКи выражениематрицы перехода через ее собственные векторы и собственные числа (ср.
с формулой (28.9)' Представление матрицы перехода в виде (32,2) позволяет теперь связать вектор состояния в любом г-м характерном сечении с вектором состояния в сечении, принятом за нулевое: Х,=ММ...МХ,=М'Х,. г сомножителей Непосредственно легко убедиться, что М2 ММ УКУ-! УКУ-! УК2У-! М! УК, У-2 но г-я степень диагональной матрицы Если вектор состояния представить в виде разложения по собст венным векторам: Х, =- М' Х, =- УК'У 'Ус = УК'с = ~~~с,й22 у,. Таким образом, при переходе от нулевого к г-му сечению вектор постоянных умножается па диагональную матрицу А', или, иначе говоря, каждая из постоянных умножается на соответствующее характеристическое число в степени г. Собственные числа матрицы М могуг быть либо сопряженными комплексными, либо (некоторые) действительными. В первом случае соответству!ощип двум сопряженным числам собственные векторы также являются сопряженными комплексными. В случае, если характерные участки системы не меняют своих свойств при перемене нумерации сечений ! (! — , ,'1) или составлены из элементов, обладающих этим свойством, то характеристическое уравнение является возвратным, т.
е, каждому корню й! соответствует другой корень й, =-1Й;. При расчете свободных колебаний участка конструкции, состоящего из г однородных элементов, векторы состояния в начальном (нулевом) и конечном (г-м) сечениях выражаются в соответствии с формулами (32.3), (32.4) через 2а постоянных сп Вместе стем на каждый из этих векторов наложено по и линейных зависимостей - — это либо граничные условия, если сечения ! =- О и с = г являюгся границами системы, либо условия сопряжения с нерегулярными частялги системы.
Таким образом, всегда получается система 2п линейных однородных уравнений относительно постоянных сп Собственные частоты находят из условия равенства нулю определителя указанной системы. После определения частот вычисляют отношения между константами сг и по формуле (32.3) рассчитывают форму колебаний, Вычисления могут выполняться в общем виде (для простеиших задач) или в числовой форме. Рассмотрим некоторые простые примеры. Определим частоты н формы собственных крутильных колебаний вала, несущего !и распо- ложенных на равных а) расстояниях дисков с ол дасгод моментом инерции / каждый (рис. 32.6, а). Крутильные жесткости участков вала между дисками — с. Левый диск свободен, правый соединен валом жесткости со с маховиком, момент инерции которого /,.
Схему такого рода часто используют при расчете крутильных колебании коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания. На рис. 32.6, б показан типовой элемент системы, состоящий из участка вала и диска. Состояние каждого сечения характеризуется вектором 2г!4 х-( ). !де и — амплитудный угол поворота; М вЂ” амплитудный Составим выражения для и и М в (!'+ 1)-м сечении: и;„= и!+ (1/с)М,; М !„=-= М; — вЧи;„=- — соЧи; + (1 — вЧ/с) М,. момент Таким образом, 1 Л'!.,! = МЛ'б М =-,/ 1/с Характеристическое уравнение (32.1) получает вид 1 — /г 1/с йе((М вЂ” ЙЕ) = = О, или /Р— 2(1 — 2!.л)/г — , '1 = О, йв = вЧ/(4с). Отсюда получаем два значения: й, = 1 — 2),л -1- 2л )/лл — 1, й, = 1/й!.
Практиче~ кое значение для определения собственных частот имеет случай л' с 1, когда корни комплексные: я! = е', /го=е ! =- ~/ — 1; сов!о == 1 — 2>,л; гйп ° = 2л) ! — лл, (32,5) а второму множителю /г, = е ч — собственный вектор =-(- ! '-.— !) Таким образом, в соответствии с формулой (32.4) в любом г-м сечении амплитудные перемещения и момент определяются формулами и, = С,е"'+ С,е '~~; М, = — с[С!(! — е") е" + С,(1 — е ~') е "'). 265 Каждому значению /г соответствует собственный вектор, для которого Мо = с(1 — /г) ио ° Принимая и, 1, находим, что гхарактернстическому множителю е" соответствует собственный вектор С, =-1/а Се~а; С, ='/,Се 'о, Х, = '~' с,й".у = $'К'с. яп ]ф+ — о) = О, 1 Так как матрица Км =- — диагональная, то указан- откуда и, = С соз((г — Ч,) у]; М, = — 2Ссяп(р/2) янга.
(32.7) М,„(1 — гаа1е/са) = саЧаи . (32.8) те, Так как и„и ̄— действительные, то очевидно, что величины С, и Са — — сопряженные комплексные. Положим где С и ф — действительные. Тогда получим следующие значения амплитудного поворота и крутящего момента в г-м характерном сечении: и, = С соз (ф -]- гр); М,=- сС(сов [ф+ (г+ 1) р] — соз(ар+- гр)) =- = — С 2с яп(р/2) яп(ар+ (г+ '/и) о]. (32.6) Для определения постоянных ф и С рассмотрим граничные условия. Добавив левее первого диска участок вала (штриховые линии на рис.
32.6, а), что не меняет условий работы конструкции, разместим там нулевое сечение. В этом сечении крутящий момент равен нулю. Полагая в формуле (32.6) г = О, находим Следовательно, для любого сечения Рассматривая участок вала правее и-го сечения, получаем: и „,=и +М /с,; М,„=саЧ,и,„+е Исключив отсюда и чп получим граничное условие для и-го сечения: Примем в формулах (32.7) г =-т и подставим в уравнение(32.8).
Тогда после некоторых преобразований получим следующее трансцендентное уравнение: с(дтр = (2с/са — 1) 1я(Р/2) — 11(1,яп р). (32.9) ьч значений р, являющихся корнями этого уравнения*, легко определить, после чего определяются соответствующие значения 1.а = ='/,(1 — совр) и собственные частоты р = 21, ]~с/1 . а Соответственно точкам пересечения т ветвей графика левой части уравнения (32.9) на интервале 0 ~ ф ~ и с графиком правой части. 266 Расчет циклических систем.
Весьма любопытно применение изложенного метода к расчету циклических (замкнутых) систем, составленных из т одинаковых элементов. В этом случае, определив матрицу перехода М для типового элемента и назвав одно из характерных сечений нулевым, представим вектор состояния этого сечения в виде гл Х„=.. ~с у = г'с.
~'=1 Для любого г-го сечения вектор состояния Но последнее, т-е, сечение в замкнутой системе совпадает с нулевым Поэтому должно выполняться равенство Х„= Х„Рс = РЪ"-с. ное равенство может быть выполнено только в том случае, если она единичная. Таким образом, устанавливаем, что в данном случае й; = 1 и все собственные числа представляют собон корни и-й степени из единицы: /а == >/1 = е =- соз(2я/гл)1-( 1яп(2п/гл)/' (/'= — 1,2, ...,т). (32.10) Эти числа являются сопряженными комплексными, за исключением /а =1 и (при четном т) Й /а = — 1. Собственные векторы и собственные частоты, соответствующие числу йп определяются из уравнений (М вЂ” /г/Е) у/ = О, с]е1 (М вЂ” й Е) = О.
Каждому значению йу соответствует столько частот, сколько степеней свободы имеет типовой элемент системы при закрепленных крайних его сечениях. При этом спектры частот, соответствующие сопряженным комплексным Ап й /, совпадают, а собственные векторы являются комплексными сопряженными. Отделим действительную и мнимую части в собственном векторе, соответствУюЩем /гу и оДной из частот а>,: Уу — — Ул/+ /Уа. Тогда собственный вектор, соответствующий й /и той же часто у / — — ул — йуг.
Заметим, что у," и у! определены не единственным образом. Так как собственные векторы можно умножить на произвольный множитель, то вектор в1! Уг -= (У соз ф — у( 3!и ф) + 1 (У8 3!и 1]1 + у . соз 1!1), 1 где ф произвольно, также является собственным вектором. Поэтому за ул, уй могут быть приняты также величины ун =-уйсоз5р — у з!пгр5 у'., =-Уяз!п5р-]-у(созгр, (32,11) з где уя, у;.
— действительная и мнимая части первоначально найденного собственного вектора. Прн колебаниях с частотон 02; вектор состояния в начальном сечении составляет Х,( — — с~у —,' с у Так как вектор Х,( — действительный, то постоянные с, с комплексные сопряженпыс. Обозначим (32. 12) с( = '/,(с1 — !'с,), с /= !(2(с, + (сг), Тогда Х01 = /2(с1 — !сг) (У1 + !у/) + /г (с1+ !с ) (,У( — !У!') = и, 4 = сгу! + с,у!.
В произвольном сечении (в-м) вектор состояния 5 5 Х57 = ~!~(у( ! с55 1Ь50-гум ( = /г (с1 гсг) в (У1' + (У1) + + /2(сг+ !сг) в (у( — гу() = — с1 [у! соз (2к/г(т) — у; з]п (2п(в/т) ] '- и з + с, [у!88!п(2 !2(т)+ у!сов (2е/в/т)] . (32Л3) Если характерные сечения совпадают с осями симметрии конструкции, то формы колебания разделяются на симметричные и кососимметричные относительно нулевого сечения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
