Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Практически эта задача решается подбором. Конечно, для рассмотренной простой задачи матричная запись алгоритма метода начальных параметров ничуть не проще, чем запись в форме уравнений (30.1) и (30.2). Однако матричная форма имеет более общий характер, а ее вид сохраняется для различных по своей структуре систем. Рассмотрим, например, крутильные колебания стержня ступецчатого переменного сечения с распределенной массой, Для одного участка постоянного сечения длиной 1 амплитудная функция выражается формулой (см. с. 144) и = С,совал+С, з(паз (а = )Грлй,/(С,/ ) ).
2ЗВ Значение этого вектора для сечения,, расположенного левее 1-го диска, будем называть Х;, правее — Х;: Амплитудный крутящий момент в сечении М = 01р(с)и/с)г) = 61ри( — С, япаг+ С, сов аг). Если известны значения и, и М, в сечении 1 (г =. О), то можно най ти С, =- иь Сз =-- М(/(а61р), а затем и и М в сечении 2 (г =- 1): ! из = и,созЛ+ М,— — япЛ, игр М, =- — и, — !, япЛ+ М,созх, Таким образолс, и в этом случае вектор Х, = 1М ) для сечения 2 /и,Л получается линейным преобразованием такого же вектора для сечения 1: Х, = МвзХ„ ! ! сов Л вЂ” — з!и !.
бур Л пг — — Ляпх созЛ ! Мвз (30.6) При переходе через сечение, в котором закреплен диск с моментом инерции 1в, изменяется лишь величина крутящего момента на — рв/;ив, что учитывается умножением вектора состояния на матрицу: ~,-( вч Рис. 80.3 846О— б( йгаг --д!бг с ржубб ! (У~ — ' ' деззгб Метод, изложенный выше на примере крутильных колебаний, полностью применим и для продольных колебаний, В качестве простого примера рассмотрим расчет частот и форм собственных продольных колебаний ступенчатого стержня (рис.
30.3, а) с грузом на конце, причем масса груза раина массе прилегающего участка стержня: пз = рЯ. Введем характерные /сечения стержня 1, 2, 3, 4, в которых будем вычислять вектор состояния где и — амплитудное смещение; А/ — амплитудная нормальная сила. В сечении 1 и = О, а для А/ можно принять любое значение. Примем А(, = ЕЕ/1 (тогда перемещения будут безразмерными).
Итак, х, = ~ „/, ) . (30.7) В сечениях 2, 3 и 4 будем иметь: (30.8) ! ! — — з!и Л 2ЕР Л сов Л Мв,= 2Еà — — Лыпй ! сов Л созЛ 1 ! — — япЛ ЕГ Л Еà — — Лыпй соз), Мз-— -( )1 Л=Р!/а; а = 1~ Е79 . Так как сечение 4 взято за массой, нормальная сила в нем должна быть равна нулю: Следовательно, собственная частота Р должна быть определена так, чтобы вектор Ха, вычисляемый по формулам (30.8), имел вид (30.9). Ведем расчет подбором. При р = 0 Л = 0; Таким образом, Р/ (0) = ЕР/!. Задаем р' = ЕР/(ав!! = 2/3 Е/(ай' (зто значение соответствует частоте колебаю|й массы ав на невесомом стержне); р =- 0,816 а/!, Л = 0,816, сов Л = 0,685, ып Л= = 0,728; ! — 0,890 ЕР 0,685 0,445— ЕГ 0,685 М,з= ЕР— 1,19 — 0,685 ! ЕР— 0,595 — 0,685 24! Хв =- МвзХ,; Хз — — МвзХз' Хз = МзХз.
где (см. формулу (30.6)! 0 (! !/(2ЕР) ~1 !/(ЕР)) !! О) Получаем: Хв™двХв= ! Хз=МввХз — ( ! Х =Х ! ЕР/!)' — ЕР,!/ в= в (30.9) !!(! л(з — 2 ЕР Тогда 0,685 0,445!((ЕР) Л ( 0 1 ( 0,445 Хз= ~ 1 19РРЛ 0 685) ) (ЕРЛ/ (с0,685ЕР( !) Хз'= й(ззХз= ( 0 205ЕР/! ) ' а (,— 0,405ЕР/! ~ Х =34зхз= ( л/ (0,816) = — 0,405ЕРЛ.
'Так иак между Р = и Р = — 0 р = 0,816 а/1 уснлие /У меняет знак, то собственная з 1 =06 Л=О 825 Для следующего расчета принимаем: Р = О,баЛ, . =,, соз з(и Л = 0,565, шрз = 0,36ЕР/!. 0,825 0,4?0!/ЕР) / 0,825 0,940!/(ЕР) ) ~ — 0 6??ЕР(! 0,825 ( зз (,— 0,339ЕР/! 0,825 ( о) ( — 0,36ЕР/! 1( Действуя так же, как и выше, получаем Ха = ЛО, 1ООЕР/!) . Отсюда следует, что собственная частота лежит между а / ЕР') Для ориентнровочкого цодсчета можно исаользовать формулу линейной интерполяции Р~14 (Р ) — Р~/( (Р ) 0,816 .
0,100 — 0,6 ( — 0,405) Д (Р,) — Лг (Р,) 0,100 — ( — 0,405) Повторяя расчет при этом значении р, находчм: Хд — ЕР; Хз= 0 80 ' з 0,160 — 0,003— Ошибка достаточно нала (Мз близко к нулю), и р пе зая частота собственных колебаний системы равна , а 0,643 аЛ. При этом найдевные значения векторов Х юейэпю но мальных позволяют построить форму колебаний и соответствующую ей эпюру р сил (см. рис. 30.3,6). , сле ет и одолжить счет Чтобы найти более высокие собственные частоты, с еду р при больших значениях Р. Давая значения р =, Р =- 1,57 аЛ и Р =- 2аЛ, находим соответствующие значения усилия в сечении еп Д!з (1,57) = — 0,50ЕР/!, М, (2) = 0,90ЕРЛ.
Следовательно, собственная частота лежит между этими значениями. По формуле линейной интерполяции находим 1,57 0,90 — 2 ( — 0,50) а Р 0,90 — ( — 0,50) ! При этом значении Р вычисляем /Уа(1,72) линейную интерполяцию, находим 1, 57 ( — О, 096) — 1,72 ( — 0,50) Р а 1,72— — О,С96 ЕРЛ. Снова, применяя а а 1,75— ! — О, 096 — ( — О, 50) Векторы Х при этом значении Р составляют: — — 0,1?9 — з — 0,454 0,005— Так как остаточная сала за гр) зсм равна нулю (в пределах точности вычисления), можно считать, что Рз — — 1,75 аЛ=1,75)(~!(рР) представляет собой вторую частоту собственных колебаний системы. На рис. 30.
4 представлен об- Р ! щий характер зависимости остаточной б( силы от частоты, который показывает, что система не имеет собственных частот между Рг = 0,643 аЛ и р = 1,75 аЛ. Форма колебаний, соответствующая второй собственной частоте, показана на а рис. 30.3,в. а Таким же способом выполняется расчет высших частот и форм соб- Рис, 30.4 ственных колебаний. Разумеется, для рассмотренного простого примера (два участка) метод начальных параметров пе обладает заметными преимуществами по сравнению с методом непосредственного решения задачи путем составления уравнений движения по участкам и их стыковки. Однако при большем числе участков выгода весьма велика.
При изгибных колебаниях, так же как и при продольных или крутильных колебаниях, параметры, характеризующие состояние сечения стержня в конце участка, выражаются по линейным формулам через параметры сечения в начале участка. Поэтому и здесь можно использовать метод начальных параметров. Дело, однако, усложняется тем, что при поперечных колебаниях прямых стержней положение поперечного сечения и внутренние силовые факторы в пем характеризуются не двумя, а четырьмя величинами — прогибом, углом поворота, изгибающим моментом и поперечной силой. Поэтому в данном случае амплитудные значения этих величин составляют четырехмерный вектор 243 1 ! Р/(2Е /) !з/(БЕХ) О 1 !/(ЕУ) !з/(2Е,/) 0 0 1 ! о о о (зо 1з) Формула перехода от вектора Х, в левом сечении участка к вектору Х, в правом сечении имеет вид Хз — — М„Х„ (ЗО 1О) где Мз, — матрица перехода 4 х 4. Для участка стержня длиной 1 постоянного сечения с распределенной массой (рис.
30.5, а) матрицу перехода легко сконструировать, используя функции Крылова. Общее выражение для амплитудного прогиба в любом сечении дается формулой (18.5), причем постоянные С„...,С4 выражаются через значения и, ~р, М, (! прн г — — 0 по формулам (18.8). Таким образом, и (г) = и (0) К,(аг) + — Р (О) Кз (аг) + ! Рис, 50.5 + — Кз( г)+ — Кз("г) М (О] !1 (О] азЕ./ азЕ/ (30.11) (3 1 — Кз ()) Е/зз Е!Лз — К, (Л) (з — Кз (Л) Е/Лз — К'з ().) Е5Л ! К, (),) К, (Л) Л вЂ” Кз (Л) К! (Л) Мгз Е/, Е/ (30. 12) (. л'Кз(Л) — ЛК, (Л) К, (Л) — Кз (Л) (з ' ' ( ), Е/Лз К з (Л) — ) зКз (Л) — К, (Л) К, (Л) (з (з (Л = а!) ( Если на участке ! — 2 длиной ! распределенной массой т, стержня можно пренебречь, то для этого участка матрицу перехода можно получить либо из матрицы(30.12) предельным переходом при Л-з О, либо непосредственно, рассматривая уравнение упругой линии безмассового стержня.
В этом случае. 244 Приняв здесь г = 1, получим выражение и на правом конце стержня через начальные параметры. Вычисляя з (!) = (![и/![г), !, М (1)=Е/(дзиЯгз), ), Я (!) =Е /(вази/![гз),=з, можно найти и выражения этих величин через начальные параметры. [При дифференцировании следует воспользоваться соопюшениями (18.7).] Таким образом, определяются все элементы матрицы перехода М !г.' Наконец, если участок представляет собой жесткий груз массой зп с центром тяжести С на осп стержня и моментом инерции / относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.
30.5, б), то и, =-и,+ зз!, 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 тр' 0 0 1 Таким образом, имеются формулы перехода для типовых участков вала. Остается рассмотреть вопрос о граничных условиях. Рассмотрим сначала свободные колебания. Как бы ни был закреплен левый конец стержня, на нем имеются два однородных граничных условия. Так, например, если конец заделан, то и(0) =-О, зр(0) = 0 и вектор состояния задан с точностью до двух констант: 0 0 М (0) Я (О) Чтобы исключить из числового расчета неизвестные М(0), Я(0), вектор Х! представляют в форме Х, = С,Х!-(- С,Х!, (30.16) где Хз и Х** — произвольные линейно независимые векторы, удовлетворяющие граничным условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
