Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Для этой системы с одной степенью свободы находим амплитудное перемещение конца верхней пружины (податливость): )~!з! 2 1 — т з/(2с! (29.3) с ! — т з,'с 227 Следовательно, частоты собственных колебаний заданной системы л!ажно найти, если известны динамические податливости подсистем. Рассматривая нагруженне балки силой 1 созв! (рис. 29.2, а) и представляя перемен!ения ее в виде х(г, 7) = и(г) сов в!, 1 и =— г с !в т 2/с пружин и массы в условии задачи, груза через, можем выра- ~ ! — Л /8 1 — Л4/3 сс Х' 43 При этом амплитудное перемещение груза составляет Учитывая выражения жесткости жесткость и массу балки, указанные вить г)о(о)) также через параметр Л; (о) 2 !о (в) = —— 3 Е/ Из графика рис.
29.3 видно, что движение груза т существенно только при первой и второй формах собственных колебаний, Все последующие корни частотного уравнения соответствуют значению 1)(о) с ', т. е. неподвижному грузу т. Построение на рис. 29.3 позволяет установить границы низшей частоты колебаний системы, а именно эта частота всегда заключена между собственными частотами подсистем. Для подсчета динамических податливостей можно использовать формулу (15.16), выражающую динамическую податливость через статическую, резонансные р и аитирезонансные [1 частоты системы: и(! /о ) Е)(в) = 8 П (1 — /р,') ег пп) -4В 2 Рис.
22.3 1 Для определения собственных частот системы из уравнения 17(" ( ) — Т)")(в) = 0 используем графический метод. В координатах у, Л(рис. 29.3) строятся кривые у = /) (Л) н у= (и (о) = — Т) (Л). Точки пересечения этих кривых соответствуют собст- )2 венным частотам системы: р) ='Я ) ЕЛ/(то/') =' 205 Ъ ЕЛ/(то(') [ ро — — 5,07)/Е3/(то(4), ро = 22,4 )/Е7/(то(*) . Последующие корни с достаточной точностью определяются значениями р„= (/гч/2)о )/Еу/(то/4) (й = 4 5 6 ".) ° 2,' 228 Для груза с пружинами это выражение сразу приводит к точной формуле (29.3), так как здесь 6 = 2/с, имеется одна резонансная частота р = )/с/т и одна антирезонансная, соответствующая частоте собственных колебаний системы' с закрепленным верхним концом пружины Р =- )' 2с/т.
Для балки, статическая податливость которой 6 = В/(ЗЕ/), имеется бесчисленное множество собственных частот и частот антирезонанса. Резонансные частоты — это собственные частоты консольной балки, антирезонансные — балки, заделанной на одном и опертой на другом конце. Таким образом, пользуясь результатами, полученными в 2 18, находим резонансные частоты: р), = г,ор )/Еу/(пг 14); ). р — — 1,875; Л р — 4,695 и т. д.; антирезонансные частоты: ()~ =)о~о )ГЕ//(п)о('); ),„= 3,927; ),„= 7,069 и т. д.
Так как значения рок и о)оо быстро возрастают с номером, то для представления динамической податливости /70)(в ) в области не слишком больп)их частот в достаточно удержать в бесконечных произведениях лишь несколько первых сомножителей. Так, сохраняя в числителе один, а в знаменателе — два сомножителя, получаем приближенно (0 П 1 (Х)3 о27)4 1) (в) —— 36/ [! (),/1 873)41 [1 (Х/4 Юз)41 В пределах изменения Л на рис.
29.3 приближенные значения динамической податливости практически не отличаются от точных и приводят к тем же значениям трех первых собственных частот системы. Поэтому, если целью расчета является определение только низшей или нескольких низшихчастотсобственных колебаний системы, вполне допустимо использовать приближенные выражения динамической податливости подсистем. В качестве второго примера рассмотрим определение частот с об 222 .
'оа Рис. 29.4 Рис. 29.5 0 (в) = — ( — ") Рис. 295 г =" 1' в то1 г (Е г) ° ((синге = 17(ЕУ); Е1ови!бга =- — твеи (т =-- пго(). лп, Гг 2Д Рис. 29.2 Рос, 29.8 231 ственных колебаний Г-образной рамы с распределенной массой (рис. 29.4, а). Расчленим систему, врезан шарнир в угловой точке* (рис. 29.4, б), и приложим гармонический момент 1.созвй Частотное уравнение снова имеет внд Е)( ) (в)-1- )А( )(в) .= О, где Е)(г) ((о) и г)(')(()) — динамические податливости, соответствующие действию каждого из единичных гармонических моментов. а) 5) а) г 5) салаг' А а ссаогг ',Юй)~ лга, Ед Е)(г) (в) найдем, рассмотрев рис.
29.5, а. В этом случае стержень АВ движется как жесткий по горизонтали. Поэтому его можно зал(енить сосредоточенной массой т,1 (рис. 29.5, б). Располагая начало координат на заделанном конце стержня, имеем следующие граничные условия для амплитудной функции и(г): г =-. О: и ==- О; ((иг'бг =- О; Из этих условий определяют постоянные, входящие в общее выражение (29.1) для амплитудной функции и(г). Затем определяют величину диналшческой податливости: Б( )(в) = — (((и/((г), г. После несложных преобразований находим (1) 1 1 КаКа КгКа + Л (Ка КаКа) П ((о) — —— Ег Л К,К„)(в+Л(К,К, К,К,) ' где в выражениях функций Крылова опущен для сокращения аргу- мент ). = о( =.
~А' вето(а)(Е,() . а банни изменяемых систем мы имеем полное право рассматривать (см. 4 15). 230 11 Используя соотношения (18.6), можно выражение 1)(г) ((о) привести к виду ('), ! 1 с)гЛа!пЛ-|-вЬЛ сов Л+ 7 (с|г), сов л — !) 12 (в) — —— Е2 л сьлсоь) -|-1 — Л(с)г) вп).— ан).сов)) Для второго единичного мол ента схема па| р ужения показана на рпс.
2(9.6, а. В этом случае вертикальный стержень нс деформируется и схема нагружснпя равноправна с изображенной па рнс. 29.6, б. савв) Располагая начало координат на ле- о) вом конце, имеем граничные условия: при г = О и = О; ((еиlбге = 11(Е1); при г =1 ((визге = О; (Ри/((га = О. После определения из этих уравнений постоянных С),...,Са находим динамическую податливостли Кг — К.К. Е| Л КгКа — 1(аКа где аргументом функций Крылова является Используя снова зависимости (18.6), находим с) ((о) = (г) 1 1 с)гЛсовЛ+1 ЕХ Л с1гла1пЛ вЂ” вЬЛсовЛ Графическое определение двух первых корней уравнения 1)") (в)+Е)(~) (в) = О показа- но на рис.
29.7. В рассмотренных выше примерах для расчленения системы достаточно было устранить одну связь. Несколько более сложно применение метода податливостей в случае, если расчленение системы до. стигается устранением нескольких связей.
На рис. 29.8 схематически изображена конструкция, состоящая из ротора А, подшипники которого закреплены на упругом корпусе Б. Корпус в свою очередь связан К 225252 с основанием пружинами. Рассмат- 1 ривать колебания вала, считая его неподвижно закрепленным в подшипниках, можно только в том к ссг с!с — случае, если корпус очень массивный и жесткий. В противном случае необходимо учесть совместные колебания обеих деталей. Расчленим систему и приложим гармонические силы взаимодействия (рис. 29.9). Условия равенства перемещений в точках 1, 2 могут быть записаны в таком виде: Х1Р„(со) + Х2Ра (а) = О Х,Р,1(а) + Х,Р„(а) = О.
Коэффициенты динамической податливости Р определяем сум мированием коэффициентов, относящихся к подсистемам А и Б: А, Б Р,,= Р»+Р». Собственные частоты системы определяем из уравнения Л (в) - (в) " (")1 = О. Ргс(о!) Ргг(а) 1 (29.4) Рп (со) =- Р!! (в) + Р!г (со) + 1/с„ 232 Таким образом, для того чтобы определить частоты собственных колебаний, следует рассмотреть нагружение подсистем А и Б единичными гармоническими силами, приложенными в точках 1 и 2. Значения динамических податливостей Р» вычисляем при ряде значений частоты в и строим график зависимости 2(в).
Корни уравнения (29.4) являются собственными частотами системы. Метод динамических податливостей чрезвычайно эффективен, если требуется подобрать те или иные элементы системы так, чтобы собственная частота последней имела заданное значение. Пусть, например, в схеме рис. 29,8 требуется подобрать жесткости подшипников, так, чтобы частота собственных колебаний равнялась р,.
Используя значениядинамических податливостей вала А и основания Б, имеем для системы с податливыми опорами: Р21 (а) Р12 (а) Р!2 (в) + Р!2 (а) Р22(в) = Рог(в) + Р22(а) + 11сг где с, и с, — жесткости левого и правого подшипников. Подставляя эти значения в уравнение частот (29.4) и полагая а = р„получаем простое уравнение, позволяющее подобрать с, и с,.
Примеры такого рода расчетов приведены в 1201. Метод динамической податливости может быть использован также и для расчета вынуженных колебаний системы поддействием гармонических сил. Пусть, например, на вал системы, изображенной на рис. 29.8, действует нагрузка, пропорциональная соз ас. Тогда кроме определения динамических податливостей Р„(в), Ра(а), Р„(а) необходимо определить амплитудные смещения Р!Р, Р,р ло направлениям Х„Х, при воздействии возмущающих сил на изолированный вал. Система уравнений, определяющая амплитудные значения реакций Хс, Х„получит вид с1Р11 (а) + Х21~12 (а) + Р1Р 0 Х2Р21 (а) + ХКР 2 (в) + Ргр = О.
Определив отсюда Хс и Х„нетрудно затем получить полную картину движения подсистем А и Б. Рассматривая в качестве нагрузки единичную гармоническую силу 1 созе!1, можно определить динамическую податливость сложной сисгемы. А Б Последовательное применение этого приема позволяетизучить динамические свойства системы, состоящей из большого числа лодсис- Рис. 29.10 тем. Если разделение системы на подсистемы достигается устранением одной связи, то методы динамических жесткостей и податливостей совпадают. Рассмотрим, например, двухпролетную балку (рис.
29.10). Дав сечению балки на среднеи опоре угловое перемещение ср = = Хсозв1, найдем амплитудные моменты в сечениях левой и правой балок над этой опорои: МА = ~И!! (о!), МБ = !И!! (о!), А Б где )сп (в) я )сп св) — динамические жесткости балок. Суммарный момент фиктивной опоры М, + М, = Х 111'и ( ) + Я,', ( )1 = О. Частотное уравнение имеет вид )1Аа Ба„ и( ) ! и( ) Так как Я~!! (в) = 1/Рг! (в), И!! (а) = 1/Р!"! (а), 233 Х ()с!"! + )л!~!) + (л'!~~ + Я!и = О. (~ — — ) ,о Р,смсог л Б ' сЬ2 Ь Рис, 29.(2 Рис. 29.(2 Рис. 29.П 235 то вычисления ие отличаются от вычислений при решении этой задачи по методу динамических податливостей.
При расчете вынужденных колебаний той же системы, вызываемых нагрузкой, пропорциональной солсо(, придется кроме определения динамических жесткостей (с„, Я„расс!!отреть вынужденные Л Б колебания левой и правой балок с заделанным сечением 1 и опре- Я Б делить амплитудные реактивные моменты (с!р, (с,р в этом сечении (по'южительное их направление совпадает с направлением отсчета ср). Уравнение, определяющее амплитуды Х угла поворота в сечении 1, имеет вид Вследза определением Х находим перелсещения и внутренние силовые факторы в системах А и Б.
При этом поворот сечения ( рассматриваем как кинематичсское возмущение. (Заметим, что соответствую- л щая задача уже была решена при определении жесткостей (си и рв ) Метод динамических жесткостей можно успешно использоватьдля расчета разветвленныхсистем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
