Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 36
Текст из файла (страница 36)
26.2 приведены расчетные схемы, которые получаются путем схематизации консольной балки постоянного сечения в виде одного, двух и трех участков с массами, размещенными по концам. Справа на рисунке даны значения отношения низшей собственной частоты данной схемы к низшей собственной частоте балки с распределенной массой. Наиболее общим приемом дискретизации системы с распределенными параметрами является метод конечных элементов (МКЭ), при использовании которого дискретизируются не только инерционные, но и жесткостные характеристики системы. Описанию метода конечных элементов и способам реализации расчетов на ЭВМ с его помощью посвящена обширная литература (см., например, 124, 38)).
Поэтому ниже приводятся лишь простсйЕние сведения, позволяющие понять основные идеи МКЭ применительно к исследованию свободных и вынужденных гармонических колебаний систем. Суть МКЭ состоит в том, что конструкция разбивается на элементы, связанные между собой в отдельных точках (узлах). Перемещения узлов (каждый узел может иметь несколько степеней свободы) принимаются за обобщенные координаты системы. Предполагается, что перемещение любой точки, лежащей внутри тго элемента, полностью < т < т У= — хгх; Т = —,хтх, 2 (26.2) т причем как матрица жесткости и, так и матрица массы т — симме рич ные квадратные матрицы.
Размер этих матриц равен числу и степеней свободы всех узлов системы. С другой стороны, как потенциальная, так и кинетическая энергия всей системы представляются суммами соответствующих энергий всех входящих в нее элементов. Энергия же каждого а-го элемента выражается по формулам, аналогичным (26.2): (I,=- — х г х,; Т,= — хт х„ 1 т (о < " т (о (26.3) где х, — вектор, составленный из перемещений узлов, к которым примыкает а-й элемент, и('<, т(' — матрицы жесткостц н массы элемента. Разумеется, количество компонентов вектора х, меныпе, чем полное число степеней свободы системыи. Можно считать, что недостающие компоненты заменены нулями и матрицы и<', т<'> также дополнены нулями до квадратных размера и х и.
Тогда из формул суммирования энергии и=~'и;, т= '~ т, следует, что матрицы жесткости и массы всей системы равны суммам соответствующих матриц для составляющих ее конечных элементов: 'ч г(п т ~1 т(0 (26.4) 202 определяется перемещениями узлов, с которыми связан этот элемент: (26.1) Здесь з' — — какая-либо проекция перемещения точки; х,, — пере- (и мещения узлов, с которыми связан элемент; 1<(о — аппроксимирующие функции, зависящие от координат точки в элементе. Аппроксимирующие функции должны быть выбраны так, чтобы перемещения изменялись непрерывно как внутри элемента, так и на границах соседних элементов. Далее вычисляются потенциальная и кинетическая энергии элел(ента; онн выражаются соответственно через перемещения и скорости узлов, вычисляется также виртуальная работа внешних сил.
Полная энергия системы получается суммированием энергии всех ее элементов. Так как рассматривается линейная система, то кинетическая энергия представляется квадратичной формой в зависимости от скоростей, а потенциальная — квадратичной формой в зависимости от смещений.
Если ввести в рассмотрение вектор перемещений узлов х, содержащий столько компонентов, сколькими степенями свободы обладают все узлы конструкции, то потенциальная и кинетическая энергии могут быть записаны в виде (см. 2 12) Формулы (26,2), выражающие потенциальную и кинетическую энергии системы через узловые перемещения, не отличаются от соответствующих зависимостей гл. 11. Поэтому и уравнения движения имеют обычный для системы с и степенями свободы вид (10.6) или (12.23): (26.5) тх+ гх —.. Р, где Р— вектор приведенных узловых нагрузок.
Системы уравнений движения, полученные методом конечных элементов, имеют высокий порядок, однако их решение облегчается благодаря тому, что матрицы т, и содержат много нулей, так как в каждой их строке имеется лишь столько ненулевых элементов, сколько степеней свободы имеют все узлы элементов, примыкающих к данному узлу. При рациональной нумерации узлов матрицы т, г часто могут быть сделаны ленточными, т. е.
такими, в которых ненулевые элементы содержатся лишь в нескольких диагоналях, примыкающих к главной. Из приведенного выше описания видно, что метод конечных элементов применительно к расчету свободных колебаний представляет собой разновидность метода Рэлея — Ритца. В самом деле, в этом методе как и в методе Рэлея — Ритца, форма колебания задается в виде, включающем ряд параметров — та- о) 2 х, х <2 кими параметрами являются здесь ! $ )„ перемещения узлов. Разница состоит лишь в том, что в методе Рэлея — х( Ритца координатные функции задаются едиными для всей системы выражениями, а в МКЭ вЂ” внутри Г, (г1 каждого элемента принимаются Й свои аппроксимирующие функции.
6 (г1 В качестве примера, поясняю- < щего суть метода„рассмотрим расчет с помощью МКЭ поперечных ~г(г) колебаний балки. За конечный элемент примем участок балки длиной 1 (рис. 26.3, а), причем бу- ч(') дем считать его нерастяжимым. Предположим, что перемещения элемента полностью определяются поперечными перемещениями и углами поворота его концевых сечений. Тогда элемент будет иметь четыре степени свободы. Как видно из рис. 26.3, смещения здесь считаются положительными, если они направлены вверх, а углы поворота — если они направлены против часовой стрелки.
Зададимся видамп дефоря<ации элемента, соответствующими еди. ничным значениям узловых смещений (рис. 26 3, б): )<(г), 1,(г), 1,(г), Цг), При произвольных значениях х<,...,х, гюперечное перемещение точки элемента составит 203 й = ХД(г)+ ХА(г)+ хз/з(г)+ х,/4(г); потенциальная энергия деформации элемента ! 'боолз ! узы ! 4 4 (/= — )Е3( — ! <(г=- — ~"'~ г хх, о (26.6) (26.7) где ! !0 — — ) Е11!//<(г.
о Нетрудно видеть, что г;/ являются элементами матрицы жесткости, так как выражение (26.7) можно представить в виде и=— 2 (26.9) где х, Ги Г,з Г!3 Г!4 Х, Г„г<щ Гз х=; г= Хз ' Гз! Гю Гзз !'34 х, гм г,.„, г„ Кинетическая энергия элемента составляет 4 4 Т = — ! то (й)2 <)г =- — ~' '~~ т, х х/ 252+М+ о /=1<=1 (26. 10) (26.11) где ! т(/ = ~ то)<//<(г а т, — масса единицы длины элемента. Сопоставляя формулы (26.11) и (26.3), видим, что величины т;; представляют собой элементы мат- рицы масс.
Если в качестве аппроксимирующих функций /!(г) принять формы проги- бов балки постояннога сечения при соответствующих концевых нагрузках, по- лучим: /! (г) = 1 — 3(г/1)о-)-2 (г,'1)з, /о(г) =1(г!! — 2 (г/!)'+ (г/!)31, /3(г) =3(г/!)' — 2(г/1)з /4(г) =11(гд)з (г/1)31, Для элеиента постоянного сечения па формулам (23.8) и (2а.12) получаем следу- ющие значения матриц жесткости и массы: 6 31 — 6 31 251 31 2!3 — 31 13 Р— 6 — 31 6 — 31 31 /з — 3! 2!о 221 54 — 131 4!о >31 — 313 131 156 — 221 — 312 — 221 412 !56 221 54 — 131 !"41 т=— 420 (26.!3) 204 После того как матрицы жесткости и массы для отдельных конечных элементов составлены, формируются матрицы для всей системы.
В соответствии с формулами (26.4) общие матрицы получаются суммированием матрицдля конечных элементов. Прн этом суммируются коэффициенты жесткости, соответствующие одной и той же паре перемещений. Та же процедура используется и при составлении общей матрицы массы. Поясним это на примере соединения балочных элементов (рис. 26.4). Пусть в узле, номер которого /, соединяются два элемента: 3-й и (3 + к.ф 1 ~хы,, х<юйг~! х/г Рис. 26.4 + 1)-й. Узел имеет две степени свободы. Перемещения узла обозначим х/ь х/, (смещение и поворот). Тогда коэффициенты жесткости, соответствующие строкам 11, 12 матрицы г, будут: <о) . = г('> г. = г('> -1- г<'+') 11. (/-и! 3! ' Г/1, (!' — 1) 2 32 ' Г!'1, 11 Гзз + 1! (о) и+1) ('+1) (о+1) Гн 2 Г- +!ю Г!1 <!+1>! Г<з Г/! 0+02 Гы [о) <и <и, (о+!) Г4! Г 2 </ и 2 — 42 ~!2 11 — Гэо ! Ги <Ю ('+! > <'+1) Г(о+1) Г/2 !2 = !44 + !22 о !!2 (!+1) 1 23 о /2, (/+1) 2 24 205 Здесь в правых частях равенств верхний индекс показывает номер конечного элемента, для которого вычислен коэффициент жесткости, а нижние индексы соответствуют формулам (26.10).
Элементы общей о) матрицы масс вычисляются по, а,, 3 А гюо ав В таким же формулам. !" )</ l Рассмотрим простейший пример определения частот и форм собственных колебаний ступенчатой балки (рис. 26.5,а). Каждый из участков постоянного сечения будем считать конечным х х элементом. Так как концы балки заде- ! ланы, в схематизированной системе сохраняются лишь четыре степени свободы, соответствующие поступательным хг хо перемещениям и поворотам сечений А и Рь Г!уиЕрацня И ПОЛО1КИтЕЛЬНЫЕ На- Рис.
26.5 правления узловых перемещений показаны на рис. 26.5,6. Матрицы жесткости и масс каждого из участков !, 1/, 1/1 определяются формулами (26. 13), причем для участка 11 1 должна быть заменено на 41, а шо — на 2лзо. Элементы объединенной матрицы жесткости определяются следующим образом: и 2 4Е3" ~43 "43 ( — 6) 1з и 2 4Е1 311 = П4 = — 31, !3 2Е3' гзз = 344 + тзз = — (213 + 4 . 213), !з 2 4Е3' гзз = гзз = — ( — 31), 13 1 Е! Рз = 46, 027 т41 2 4Е1 'м — т. = — Р, 3.1 Р и !и 2Е3' гзз=-гзз +вы = (4 6+б), !з ЗО 9! — 24 121 1013 — 12! 413 — 121 30 — 91 413 91 1013 2Е1 91 г = —,— Р— 24 121 !зт 1 бзт! 234 111 54 111 бр 131 54 131 234 — 131 — 3!3 — 111 тз! тл =-— 210 Рис, 26.7 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
