Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Следует отметить, что в балках на упругом основании, например в железнодорожных рельсах, величина критической скорости оказывается осычно очень большой. Надо также иметь в виду условность рассмотренноп расчетной схех!ы, в которой полностью игнорируются инерционные и демпфирующие свойства основания. В других случаях, однако, колебания, возникающие вследствие совпадения скорости движения нагрузки со скоростью распространения бегу- с щей волны, представляют реальную йчи опасность.
Это относится прежде всего к дискам паровых и газовых турбин, в ко- 2д торых опасные вибрации возникают при совпадении скорости вращения со скоростью распространения волн изгиба по окружности диска. Эти вибрации яв- ! ляются следствием того, что аксиальное давление газа, неравномерно распределенное по окружности, представляет 5 22. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УП1'УГИХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ Из теории упругости известно, что имеются две характерные скорости, с которыми деформации распространяются в упругом теле,— это скорость распространения объемной деформации с, =- 1--. и Е (1 + и) (1 — 2р) (22.1) н скорость распространения деформации сдвига с = )гб/р. (22.
2) * См.: Б и д е р м а и В. Л., Б у х и и Б. Л. Расчет критической скорости пневматической шины. — Иав. АН СССР, С'!'Н. Механика и машииостроенеиие, !961, 7»Т 1. 173 собой по отношению к вращающемуся диску подвижную нагрузку. Основы расчета на вибрацию дисков турбин изложены в 4 49. Лругнм важным примером возникновения колебаний при совпадении скорости движения нагрузки со скоростью распространения бегу!цей волны является так называемая критическая скорость качения пневматической шины. Сущность явления состоит в том, что при увеличении скорости качения шины до определенной величины резко меня- Риг.
21.3 ется характер ее деформации. В то время как при малых скоростях качения деформации локализуются в непосредственной близости от площадки контакта шины с дорогой, при критической скорости на боковой поверхности шин образуются волны (рис. 21.4). В связи с расширением области деформации при приближении скорости качения к критической резко возрастает сопротивление двп- Риг. 21.4 женню, Как правило, при работе на скоростях, близких к критической, шины очень быстро выходят пз строя*. Волны обоих этих типов возникают при динамическом воздействии на стержень.
Однако в процессе распространения эти волны многократно отражаются от боковых поверхностей стержня и интерферируют. В результате на некотором расстоянии от источника возмущения формируются новые волны, распространяющиеся по специфическим стержневым законам. Законы распространения этих волн при крутнльных и продольных колебаниях стержней с удовлетворительной точностью описываются теорией, основанной на сравнительно грубых гипотезах, Распространение волн продольных деформаций. При рассмотрении продольных колебаний стержней на основе гипотезы Бернулли путем пренебрежения поперечными движениями частиц стержня мы получили уравненне движения (см. 917). дох ! дох — — — — =,О, (22.3) дг' ао ды где х — перемещение поперечного сечения, начальное положение которого характеризуется координатой г.
Было рассмотрено решение уравнения (22.3) в форме Фурье. Однако эта форма решения не является единственной. Можно указать и другие способы решения волнового уравнения, которые более приспособлены для исследования нестационарных процессов, — волновой метод Даламбера и метод характеристик. Рассмотрим решение уравнения (22.3) по методу Даламбера. Легко видеть, что выражение х = ?(а/ — г) + а (а/+ г) (22.4) всегда является решением уравнения (22.3), каковы бы ни были функции / н !р. Вычисляя производные от выражения (22.4), находим: дох/дго =/а(а! — г)+ а" (а/+ г), (22.5) дох/д/о = ао/" (а( — г) -1- а'-,"(а/ + г), где штрихи означают дифференцирование функций / и !р по аргументам.
Подставляя выражения (22.6) в уравнение (22.3), видим, что оно удовлетворяется тождественно. Таким образом, выражение (22.4) действительно является решением уравнения (22.3) и притол! решением общим, так как оно содержит две произвольные функции. Физический смысл выражения (22.4) очевиден. Первое слагаемое /(а! — г) =- х, представляет волну деформации, движущуюся вдоль стержня в направлении оси г со скоростью а. Действительно, при г = = а? + С х, = сопз1, т. е.
для наблюдателя, движущегося вдоль стержня со скоростью а, картина деформаций, соответствующих функции х„остается неизменной. Точно так же второе слагаемое представляет волнудеформации, движущуюся с той же скоростью в противоположном направлении. Движение стержня можно рассматривать как результат сложения двух волн деформации, движущихся в противоположных направлениях. Задача заключается в выборе вида функций / 174 н о так, чтобы выполнялись начальные и граничные условия. Эта задача может быть решена в каждом частном случае. Расслютрим сначала случай приложения заданной нагрузки Р(!) к торцу полубесконечного стержня (рис. 22.1), причем предположим, что прп ! -- 0 стержень неподвижен и ненапряжен.
Очевидно, что в этом случае волны деформации распространяются только р(1) слева направо от нагруженного конца стержня. ??оэтому функция !р (а! + г), соответствующая волне, распространяющейся справа налево, равна нулю. Итак, для рассматриваемой задачи решение уравнения движения (22.3) имеет вид х =- /(а/ — г). (22. 6) Вид функции/определил! из того условия, что на левом конце стержня (г -=- О) нормальная сила равна внешней нагрузке: Л'= ЕРдх/дг, (22.7) (22.8) (22.
10) (22.14) 176 ?хг=о = Р(!) Частная производная функции (22.6) дх/дг == — )' (а/ — г), (22.9) где штрих означает производную функции по ее аргул!енту. Следовательно, Л' (г, /) = ЕР дх/дг = — ЕР/' (а! — г). Из равенств (22.8) и (22.10) следует ?' (а!) = — Р (!)/(ЕГ). (22.11) В выражении (22.11) аргумент ай который может принимать любые значения, обозначим ь. Тогда Пи =- — — 'Р ( — "- ). (22.12) Интегрируя это выражение и учитывая, что /(О) =- О, так как в момент ! —.—: 0 сечение г = 0 еще не двигалось, находим ЕЕ. 1а) (22.13) о Форл!улы (22.12) и (22.13) определяют функцию Дь), через которую выражаются перемещения. Теперь вычислим нормальную силу в произвольном сечении стержня. Для этого в общем выражении (22.10) заменим /' ее значением из выражения (22,12): Л/(г, ?) =- Р(? — г/а). Из формулы (22.14) следует, что нормальная сила в сечении г в момент ! равна нагрузке, которая прикладывалась к концу стержня в момент ! — г и.
Это пояснено схематически на рпс. 22.2. Итак, сила, а значит, и напряжение и деформация распространяются вдо.чь оси стержня со скоростью а - ! Е'р. Для стали, полагая Е .— !,96 10нПа, Р— 7,85 10' кг!ма, на- ходим скорость распространения де- Р,и формации: Г1,9! 1О а =- ~г ' ' — 5000 мус. $' 7,85 . 1О' 2 Скорость движения сечения а оп ределяется формулой Рис. 22.2 о(г, 7) . — — а!'(а( — г) — — — Р 1! — — ') . (21.15) дг ЕЕ ' а! Из сопоставления формул (22.15) и (22.14) видно, что внутренняя сила и скорость движения сечения связаны зависимостью о (г, 7) —...—. — !ау(ЕР)~ Ь' (г, 7).
(22. 16) Зависимость (22.16) справедлива и для нагруженного конца стержня (2 - 0): о,— л:.: — '(а!(ЕЕ) !Р О Ь (22.! 7) 1(онечно, растягпвающей силе (см. рис . 22.1) сссзгетсчвует движение счержня влево, поэтому в формулах (22,16) и (22.17! стоит знак минус). В рассмотренном выше полубескопечном стержне распространялась чолько прямая волна деформации, движущаяся с,чева направо. Если стержень конечный, то волны отражаются от второго его конца и в общем решении уравнения (22.4) о~личны от нуля обе функции 7ич В качестве примера того, как конструируются функции ) и гр вэтом случае, рассмотрим классическую задачу об ударе жесткого груза по стержню, конец которого заделан (рнс. 22.3). Предполагается, что после соприкосновения груз и т стержень представляют собой одно — 2 0 целое до тех пор, пока усилие их щим.
Поместим начало координат ю в точку удара. Тогда для закрепленного конца стержня (а - !) получим граничное условие х, ~ -=- О. Подставив сюда вместо х выражение (22.4), найдем 7" (а! — !) + г (а! + !) =- О. Так как в этом равенстве ! может принимать любое значение, то '2 (6) =- — 1(" — 20 !76 где аргумент ~ может принимать произвольные значения. Если произвести соответствующую замену в выражении (22.4), то х(г, !) =- !'(а! — 2) — 1(а7-- г — 2!). (22.!8) Вид функции ! можно определить, рассматривая взаимодействие стержня с грузом, Считая, что груз движется вместе с концом стержня (г — 0), нахо- дим его силу инерции: — лт(д'-'хй)!а), м Эта сила уравновешивается про- дольной силой на конце стержня, равной ЕР(дх7дг),.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
