Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 34
Текст из файла (страница 34)
е. ! ., „' ~ брус деформируется подобно витку пружины растяжения. Известно, что в этом случае в поперечных сечениях возникает крутящий момент д) игигг М = — 61„й гдхг/д-;, где 6йи — крутильная жесткость сечения бруса. Наконец, если отлична от дгхн нуля и вторая производная дг то меняется кривизна бруса и возникает изгибающий момент Рис. 2ДЗ М„и„- ЕУрг 'д хг!дд М„н„= (Е4,4(л) х,.
При переменном по длине повороте х, соседние сечения поворачп ваются друг относительно друга и возникает крутящий момент М„- - 64'„гг 'дх,~ди. Суммируя силовые факторы, связанные с перемещениями хг и л, получаем: ~ йгд,г (23.13) М„-- 6У„( в — ""' Ђ Я и Рдв Составим уравнения движения элемента ггс(г( бруса (рис. 23.4). где г', — момент инерции сечения относительно центральной осн, лежащей в плоскости кривизны. Найдем силовые факторы, связанные с поворотом х,. Если хг постоянно„то происходит осесимметричный изгиб кольца, причем в его сечениях возникает изгибающий момент При этом пренебрежем инерцией поворота элемента вокруг своей оси. Условие динамического равновесия в направлении нормали к плоскости кольца приводит к уравнению (23.14) дги ' дг Сумма моментов относительно нормали и к оси элемента "'" --М вЂ” (О = О.
ди (23. 15) Сумма моментов относлггельио касательной к оси элемента джк — '" — Мн„= О . (23.16) дт Исключив поперечную силу из уравнений (23.14) и (23.15) и заменив моменты в полученном уравнении и уравнении (23.16) их значениями из (23.13), придем к системе, в которую входят только перемещения хг, х,: и~ ~~йсг дд г и ° '"г и, -г„-' гн „дмиг ( игг дср длгн иди диг ~х игг Рис. 2д.4 (23. 19) исбйи, (Е46 + 1 )г Р Наименьшая отличная от нуля частота соответствует )г = 2. Е2 дги Едиг Ед, Едвг (, ' ЕЮ, ) диг (23.17) ~+ П2и '1 дгх, ~' 62и дих, Е2, Едт', ЕХ дуг Ограничимся исследованием собственных колебаний замкнутого кольца. В этом случае решение уравнений (23.17) можно представить в таком виде: х, =- А соз)гй созр4, х, =- В соя(г, созрй (23.18) Подстановка значений (23.18) в уравнения движения дает Из равенства нулю определителя этой системы находим собственные частоты: ГЛАВА 1У х; = и! гйп р/.
а в общем случае пропорционально форме (24.2) (/ = (/,з)пг/!/, т+ (/= Поэтому должно быть шо ПРИБЛИ)КЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ Методы расчета, рассмотренные в гл. П, 1П, становятся тем более громоздкими, чем сложнее структура рассчитываемой системы. Поэтому возникает необходимость в способах, позволяющих успешно рассчитывать и сложные системы. Одни из возможных путей состоит в применении простых приближенных формул (например, формулы Рэлея). В этом случае задают форму колебаний системы, сводя ее таким образом к системе с одной степенью свободы.
При удачной аппроксимации получают достаточно точное значение низшей собственной частоты системы, однако другие ее динамические характеристики остаются не раскрытыми. Схематизация реальной системы, как имеющей несколько степеней свободы, достигается в методе Рэлея — Ритца, при использовании которого форма колебаний системы задается в виде выражения, включающего несколько параметров. Другим приемом, позволяющим свести реальную систему к системе с конечным числом степеней свободы, является метод прямой дискретизации.
Чем больше число элементов, на которые разбита система при применении этого метода, тем ближе расчетная схема к исходной системе. Вместе стем, если элементы выбраны однотипными, даже при большом их числе оказывается возможным реализовать расчет колебаний, используя матричные методы с применением ЦВМ. Два таких метода — метод начальных параметров в форме матриц перехода и метод прогонки — рассмотрены в настоящей главе. Применяя матрицы перехода к регулярным системам (т. е.
к цепным системам, составленным из одинаковых элементов), удается получить замкнутые расчетные формулы при произвольном числе элементов. При динамических расчетах конструкций сложной конфигурации в последнее время широко используется метод конечных элементов. Для реализации этого метода необходимы достаточно мощные вычислительные машины. В том случае, когда сложную колебательную систему можно разделить на несколько подсистем, динамические характеристики которых определяются сравнительно просто, полезными являются методы динамических податливостей и жесткостей.
Эти методы представляют собой обобщение на динамические задачи мегода сил и метода перемещений строительной механики. В методе последовательных приближений задача об определении собственных частот и форм колебаний сводится к многократному расчету деформаций системы под действием известной статической нагрузки. Выбор того или иного метода для динамического расчета сложной механической системы зависит от структуры этой системы, задач расчета н вычислительной техники, имеющейся в распоряжении расчетчика. з 24! пРОстейшие ИРНБлиженные ФОРмулы Лля Оцгнпп НИЗШЕЙ СОЬСТПЕННОЙ ЧАСТОТЫ Вывод формулы Рэлея.
Пусть упругая система совершает свободные колебания с частотой р, причем смещения х„отсчитываемые от положения равновесия, изменяются по закону Кинетическая энергия системы меняется пропорционально квадратам скоростей: T = г/г/гггг! созгф, (24.1) где при диагональной матрице масс обобщенная масса 1В1 = Чс ~т,,и,.и/. !=!/=1 Потенциальная энергия системы изменяется квадратам перемещений и может быть записана в где (/г — энергия системы при амплитудных перемещениях х, -= и,. Из закона сохранения энергии следует 'гР/Л ~/О' Таким образом, частота колебаний может быть определена по формуле р' = 2(/г/ЗС 124. 3) Как было показано выше (см.
3 12), если при вычислении 1/, и Т задаваться формой й-го собственного колебания системы и; = и,!„по формуле (24.3) будет рассчитана /!-я собственная частота: рг . 2(/оь/Лю (24.4) Однако если задать форму колебаний, не слишком сильно отличающуюся от первой собственной формы, то формула Рэлея (24.3) поз- 192 р' =- ~ Е3( —,~ с1г ) т,иЧг. о ,о валяет определить приближенное значение первой частоты собственных колебаний системы. Докажем это. Пусть мы задались приближенно формой колебания системы, т.
е. совокупностью амплитуд ее точек и,, Зта форма может быль рвало>кена по собственным формам системы: и; = с,ип -)- сои;2+ сои?е+ Если форма близка к первой собственной форме, то коэффициенты сг, се,,,, малы по сравнению с с„. Потенциальная энсргпя системы !/, и ее обобщенная масса 33!, как показано в 2 12, также могут быть разложены по собственныч формам: !/о = с-",(/„- с-,(/„2 с ", и = с-',2)7, + српо -, ..., где !/Ро и 327) -- потенциальная энергия и обобщенная масса, соответствующие /1-п форме собственных колебаний.
Подставляя значения !/, и ТС в формулу Рэлея, получаем 2 ! 2 С) ЬО! ! СЕУОЕ + р' =: 2 С-',Я, + СЕЯЕ+ ". Вынося за скобку в числителе и знаменателе полученного выра- жения первые слагаемые н учитывая тождества (24.4), получим =- Р, 2 ! + (РЕ/Р)) (спс!) Рр?))2/17?р/! + (Ре!Р!) (Ер/с,) рррр)??/Щ +' ' ' о! 1+ (СЕ/С))23й2,'Я) + (Се/с?)23312)Я) + Если принятая для расчета форма колебаний мало отличается от первой собственной формы, отношения с,/с,, с,)сь... малы. Формула (24,5) показывает, что в этом случае отличие частоты, рассчитанной по формуле Рэлея, от первой собственной частоты имеет второй поря- док малости.
Так как все слагаемые в числителе и знаменателе формулы (24.5) положительные и каждое слагаемое в числителе больше, чем соот- ветствующее слагаемое в знаменателе (так как ре/р))1), то формула Радея дае? преувеличенное значение первой собственной частоты, если только принятая форма колебания не совпадает с первой собст- венной формой. Рассмотрим пример применения формулы Рэлея. Требуется рас- считать частоту собственных колебаний консольной балки постоянно- го сечения. Обозначая амплитудные прогибы балки и(г), будем иметь 1 1 ! 4)?о )2 (/о =-- — 1 Е3 ! — '! ))г, Л -: — ) тоиЧг, о о где Е3 — жесткость; т, --масса единицы длины балки.
Таким образом, формула Рэлея получает вид Зададимся параболической формой прогибов и = — (г/!)2. Тогда 1 '1 Е3( — ) бг = ) Е3 ! — ~ бг = —, о о ) т,иЧг = ) т (г/!)~ дг = т,1/5. о о и = (Р1г'/2 — Рг?/Б)ДЕ3) Имеем (/о = 1/2Ри,=) = Р'!'/(БЕ3), ! т„РЕ " 11 2 е ' ЗЗ Р?с?р!? (К/)2 ! (, 2 6 / !260 (Е/)2 о о Вычислив теперь частоту по формуле Рэлея (24.3), получим Р == )~ 2(/о/Я= 3,55 )р Е3/(то!4), что только на 1% отличается от точного значения. Приведение массы. Если форма колебаний системы уподобляет- ся, как в рассмотренном выше примере, форме статических ее пе- ремещений под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в какой-либо точке А системы, формуле Рэлея можно дать следующее кование.
ределим энергию деформации как (/, =- с~~~/2, истол Оп 7 — 318 193 Получаем р'-?РЕ?1),!'), р — 4 4? ) ЕЛ! )) . Точное значение первой частоты р) = 3,515!'Е3/(т,!'). Таким образом, в данном случае формула Рэлея дает весьма большую ошибку, превышающую 20%2. Нетрудно установить причины этой ошибки. Функция и(г) = (г/!)2, которой мы задались, неплохо представляет общий вид упругой линии балки; однако при вычислении потенциальной энергии нам понадобилась вторая производная с(ои/с)го = 2/12, а эта функция весьма далека от действительной. Поэтому желательно использоватьформулу Рэлея, так, чтобы избежать дифференцирования.
/1ля этого можно принять форму колебаний подобной форме статической деформации системы какой-либо подходящей системой сил Р,. Вычислив перемещения, вызываемые этими силами, можно подсчитать потенциальную энергию деформации системы как работу этих сил: (/ ! Рис. 24.! р' р Так, например, для консольной балки можно принять за форму колебаний прогибы ее под действием силы Р, приложенной на конце (рис. 24.1). Тогда где с — статическая жесткость системы по отношению к силе Р (пред- полагается, что перемещение ид совпадает по направлению с направ- лением силы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
