Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Следовательно, весь этот участок отображается в точку 0 (е = О, о = 0). В ту же точку отображается и вся заштрихованная площадь, лежащая ниже характеристики 1 — 2. Действительно, каждая точка этой площади может быть соединена характеристиками положительного и отрицательного направлений с точками, в которых, как мы уже установили, а = 0 и о =-О, значит, и сама эта точка отображается в точку О. Отрезок линии г = 0 между точками 1 я 3 отображается на плоскости ое в точку 1, так как произвольную точку этого участка А можно соединить характеристикой отрицательного направления АВ с точкой В нулевых скоростей н деформаций.
Отображением этой характеристики на плоскости оа является прямая 0 — 1. Вместе с тем усилие в точке Л задано, следовательно, задана и деформация е = а,. Значит, отображение точки А лежит одновременно на линии 0 — ! и на линии а .. е„следовательно, оно совпадает с точкои 1. Теперь можно установить, что вся внутренность треугольника 123 отображается на плоскости оа в точку 1.
П роизвольная точка этого треугольника С находится на пересечении характеристики отрицательного направления АВ, проходящей через нулевую точку, и характеристики положительного направления ОС, проходящей через точку 1!. Так как на плоскости ое точка Ту отображается в точку 1, то этим двум характеристикам соответствуют линии 0 — 1 и 0 -2. Точка С отооражается в точку пересечения этих двух линий, т. е. тоже в точку !.
Далее, с помощью характеристики ЛЕ, отображением которой является линия 1--2, люжно обнаружить, что произвольная точка отрезка 2 — 4 отображается в точку 2. Затем таким же образом устанавливаем, что вся внутренность треугольника 2, 3, 4 отображается в точку 2, а вся внутренность треугольника 3, 4, Б — в точку 3. Внутренность треугольника 4, б, б отображается в точку 0 и т. д. Характеристики 1 — 2, 2 — 3, 3 — 4, 4 — б являются линиями раз- ИЗ за 2а 2а 20 2«2« 2 д.( 01 а и а 184 рыва: при переходе через инх скорости н усилия изменяются скачкообразьсо.
После того как найдены значения о и е для точек плоскости г1, задача, в сущности, решена. Для большей наглядности можно построить графики изменения усилий и скоростей в различных сечениях стержня по времени (рис. 22.8). Из построенных графиков видно, что максимальная ди- намическая деформация в стержне иеран«и 7=0 вдвое превышает величину е«, соот- «, ~ < ,', ' ~ < .:1;<; г ветствусосцую статическому действию р 0 силы. Рассмотренная вьппе теория 0 24 ':,:: ь распространения продольных колеге«ение г=х баний полностью пригодна и для изучения крутильных колебаний стержней, которые также описываются волновым уравнением.
Прн этом следует иметь в виду, что прн кру,,„: аг« ~ ' тильных колебаниях скорость рас- пространения волн а, 1 ~",р, а -Е сере«ее г=1(р=0 место поступательной скорости сечения о и относительной деформации е занимают угловая скорость сечения и угол закручивания на едьпсицу Рии 228 длины стержня. Распространение волн при изгибе. Льсфференциальное уравнение (18.1) ; с с к с ь с к си с)н ь я при изгибе, основанное на гипотезе Бернулли, <1« ! дьх л , д«х — '(Е3 — ~ —: <по —. — 0 дге дге,) ' д!« не является вольсовьслс.
Поэтому оно непригодно для изучения распространенна волновых фронтов по длине стержня. Это положение связано с самой расчетной схемой бруса, лежащей в основе технической теории изгиба. В самом деле, в этой теории предполагается, что деформация бруса при изгибе обусловлена только растяжением и сжатием продольных волокон. Расчетную схему бруса можно представить в виде шарнирной цепи из жестких звеньев, связанных по верхнему и нижнему поясам упругими пружинами (рис.
22.9). В этой схеме движение одного звена при неподвижных соседних невозможно, а значит невозможно н разрывное распределение скоростей, характерное для волновых процессов. В отличие от уравнения (18.1) уравнения (18.22) д"х «« д«х да дг«6 с)С«дг й 23. КОЛЕБА11ИЯ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ Рассмотрим круговой брус мас радиусом )с осевой линии 0) Колебания в плоскости кольца. лой кривизны постоянного сечения х м'— д дс! Рис. 2Д! 185 д«ьь < дга ОР ! дх '1 дг' Е д!' «Е0 дг ! для балки Тимошенко являются волновыми. В этом можно убедиться, если принять во внимание, что вблизи фронта распространяющейся волны все переменные (перемещения, повороты) меняются очень быстро, поэтому их производные велики по сравнению с самими переменнымп.
Поэтому при изучении законов распространения волновых фронтов в уравнениях (18.22) можно в первом приближении пренебречь правыми частями. При этом уравнения относительно х н б становятся независимымн обычнымп волновыми уравнениями с характернымп скоростялсьс, соответственно аи = ) 6((ай); а = ) х(и.
Следовательно, в балке Тимошенко имеются две характерные скорости распространения волн: разрывы поперечной силы распространяются со скоростью ао, а разрывы изгибающего момента — со скоростью а. Таким образом, наибольшая. скорость распространения возмущений в балке Тимошенко совпадает со скоростью распространения продольных волн в стержнях. (Заметим, что точное значение максимальноп скорости распространения упрутнх волн можно получить, пользуясь формулой (22.1).1 Решения ряда задач распространения волн в балках на основе схемы Тимошенко приведены в работах (17, 401.
Следует, однако, иметь в виду, что хотя простое дифференциальное уравнение (18.1) н непригодно для анализа распространения волновых фронтов, оно дает надежные результаты при исследовании общих деформащш бруса даже при сравнительно резких (но не мгновенных) ударных нагрузках. Так, при расчете удара груза о балку (с учетом местных деформаций) величины прогибов и изгибающих моментов, вычисленные на основе уравнения (18.1), как правило, не более чем на 10 — 15'и отличаются от величины, вычисленных на основе более точной модели балки Тимошенко.
(рис. 23.1, а). Брус считаем нерастяжимым. Перемещение центра тяжести поперечного сечения, зафиксированного угловой координатой сг, можно разложить на радиальный (х,) и окружной (х,) компоненты. Из условия нерастяжимости оси бруса следует, что перемещения х~ и х, связаны зависимостью (23. 1) — .'- — '=О. Рдз Р Угол поворота поперечного сечения бруса в процессе движения определяется формулой х, дх, (23.2) Р Рдт соответствует на рис. 23.1 повороту против (положительный знак б часовой стрелки).
Изменение кривизны бруса х равно производной отб по дуге (23. 3) Рдт РЯ 1, дт дт~ / Изгибающий момент в сечении кольца (23.4) й" "1 д„" д+ Теперь составим уравнение движения элемента М~ бруса (рис. 23.1, б). Проектируя приложенные к элементу силы (с учетом силы инерции — т,Р»(е —, где т, — масса единицы длины бруса) на д'-х, Ж'- радиус, получаем ш,Р—, + — +/у = О.
дх,, до ды д» (23.5) дх, дУ тлР— '+ 1',1 — — ' = — О. дгл дв (23. 6) Наконец, уравнение моментов дМ/дв =. ЯР. (23. 7) Исключим из уравнений (23.5) и (23.6) нормальную силу Л', а поперечную силу 9 заменим ее значением из уравнения (23.7): »лоР' — „( — '-3- х,)+ — ~ — --,'- М).=-.0. (23.8) Подставив сюда значение М из уравнения (23.4), получим уравнение движения в перемешенпях хь х„и, наконец, исключив один из 186 Равенство нулю суммы проекции сил на направление касательной приводит к уравнению компонентов перемещения, с помощью условия нерастяжимости (23.1), придем к уравнению, в которое входит единственная переменная х,: дтв дт4 дт~ Е/ дм 1 д»" Решение уравнения движения, как обычно, представляем в виде ! х,= и,(л)совр/, х., = — из(р)з!пр/.
При этом для и, получается обыкновенное дифференциальное уравнение дби дта ~ а дтл Ь./ ( Д л и, = — Йиз/бд. Согласно общим правилам следует найти общее(включающее шесть постоянных) решение уравнения (23.10) и подчинить его граничным условиям. На каждом конце бруса должны быть равны нулю либо компоненты перемещений (х„х;, 0), либо соответствующие им внутренние силы. Равенство нулю определителя системы, выражающей граничные условия, является уравнением частот. Лля замкнутого кольца граничные условия заменяются условиями периодичности, которые выполняются, если принять: и,~= соз/гт, и, =/гз(пзбг~. (23.11) Подставляя выражение (23.11) в уравнение (23.10), устанавливаем, что последнее удовлетворяется тождественно, если ь(ь. 1)»- е/ Р Рл ,-,— „.1 1~' т.Р Формула (23.12) определяет частоты собственных колебаний кольца в своей плоскости.
Значению й =- 1 соответствует нулевая частота, так как при й =- 1 формулы (23.11) описывают смещение кольца как жесткого тела. Формы движения при й = 1, 2, 3 показаны на рис. 23.2. Колебания, перпендикулярные плоскости кольца.
В данном случае положение поперечного сечения кольца в процессе движения характеризуется смешением хл его центра тяжести из плоскости кольца 1 Рис Дд.д 1З7 и углом поворота сечения х, (рис. 23.3, а). В поперечном сечении кольца возникают изгибающие и крутящие моменты (рис. 23.3, б) и поперечная сила, перпендикулярная плоскости кольца. Установим зависимость моментов от перемещений. Пользуясь линейностью задачи, рассмотрим сначала силовые факторы, связанные со смещением х,, а затем --с х,. Если хи постоянно подлине окружности, то кольцо смещается как жесткое и внутренние силы не возникают. Еслих,меняется в зависимости от центрального угла по лпнейиомУ законУ (длпг дг( = а) = сопЛ), то ось бруса превра— щается в винтовую линию, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
