Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 28
Текст из файла (страница 28)
По таблицам находим: К, (2,5) =- 2,66557, К, (2,5) = 3,32433, Кз (2 5) = 3,9667! К«(2 5) . 2 72586' К, (1,25) == 1,!0187, К,(1,25) = 1,27545, К, (1,25) = 0,32647. Подставляем зти давные в уравнение (18. 15а) и вычисляем опрсдслнтельг Л(2,5) = 0,7383. Теперь примем Лз = 3,0. Повторяя вычисления, находим Л(3,0) =. 0,0332. Следующее приближение принимаем по формуле (!8.
16): = 3,02. 3 . 0,7383 — 2,5 0,0332 0,7383 — 0,0332 Снова вычисляем определитель: Л(3,02) = — 0,0276. Таким образом, низший корень уравнения (18. 15а) заключен между ). = 3,0 и Л = 3,02. По формуле (18. 16) определяем 3,0( — 0,0276) — 3,02 0,0332 ).— 3,011. — 0,0276 — 0,0332 * При расчете на ЦВМ нспольз)ются стандартные программы решения трансцендентных сравнений. Полученное таким образом значение ).
мо«кпо счг1таз ь достаточно точным. Следовательно, пившая чзстота колебаний балки составляет Р = )Л Р'Е1,г(ше!«) = 0,066 У751)(ш«Р1!. Используя формулу (18.14), легко составить единое выражение функции и(г), например для балки постоянного сечения с закрепленным на ней жестким грузом (рис. 18.7). Для левого участка (г ( а) имеем и (г) = С«Кз (аг) + С«К« (аг). !Постоянные С, и С, в общем выражении (18.5) обращаются в нуль в связи с шарнирным закреплением конца балки г =- О.] В точке г = а к Рнс !8,7 балке приложены сила инерции груза и момент сил его инерции.
Амплитудные значения силы и момента составляют: Р, = игр'и (а); М, = — )р'и'(а). Знак минус в формуле для Л)а связан с тем, что прп положительном значении и' инерционный момент направлен против положительного направления, принятого ца рис. 18.5. В соответствии с формулой (18.14) получаем при г .а )Р« и,(г) = СзКз(аг) -,'— С,К,(аг) — — и'(а)Кз[а(г — а))+ ««Е1 и (а) К,[а (г — а)). ««Е1 Здесь и(а) = — СзК,(аа)+ С,К,(аа), и'(а) = аС,К,(аа) + аС,Кз(аа). Таким образом, на правом участке амплитудные прогибы выражаются через те же постоянные С„С,, что и на левом, Граничные условия на правом конце и„(1) = О, и" Я = О 'приводят к двум уравнениям относительно С, н С.,: С, ][Кз (а)) — — К, («а) Кз (а()) + — К, (аа) К, (а)))1 + «Е1 ««Е1 + С„~К,(а)) — Р К,(аа) Кз(а[))+ — РК,(«а) К,(а())~.—. О, «Е1 ««Е,) )рз ш!гз ! С.~К«(а!) — — К,(аа)К,(аб), К.(та)К,(«Ь)1 1- «Е1 ««Е1 +С«~К«(«1) — Р Кз(аа)К«(аб) -;- — пр Кт(.а)Кь(«Ь))=-О.
«Е 7 ' ««Е1 157 Собственные частоты балки определяются из условия равенства нулю определителя этих уравнений. Так как искомая частота Р входит в уравнения как в явной форме, так и в выражении коэффициента а, целесообразно заменить аг на а'Е.//тз и ввести обозначения для безразмерных величин: шо1з) = й т/(/пз/) — -- р ) = зЛ Тогда уравнение частот можно привести к следующему виду: А — С/г = О, А == К, (л) — чл'К, (ла//) Кз (лЫ/) —; )л/Кг (ла//) Кз (),Ы/), К (л) 1л Кз(ла//)К,(лб /) .
)з>К,()а//)К,(лЫ/), с = Кз (л) ')лзКз (ла//) Кз (хЫ/) + ВлКз (ла/1) К (ЕЫ/), 0 =- К, (1) — йлзК, (ла//) К, (> Ы/) + Р1Кз ()а//) Кг (>.Ы/). Решить это трансцендентное уравнение можно подбором, так же как и в предыдущем примере. Использованный в приведенных примерах метод начальных параметров, приводящий к трансцендентному частотному уравнению, це- валь всех сил, приложенных к элементу бг балки, произведению массы тзбг этого элемента на его ускорение дгх/д/з, получим д0, дгх дгх З вЂ” — л/г -,— Р—.
аг = шз —,з, дг ' дгг ды' илн д0 дгх дзх — =- Р— — пг— дг дгз о дм С другой стороны, используя уравнение момен~он, получаем дМ/дг = Я. Как известно, изгибающий ьюмент М и приближенное значение кривизны дгх/дг' связаны зависимостью Еудзх/дгг = М Исключив из полученных уравнений М и 1~, найдем следующее уравнение движения: (18. 17) дг Р дзх тр д'х + — ' — — О Е/ д,з Е1 Шз Отыскивая соответствующее гармоническим колебаниям решение уравнения (18.17) в форме х = и(г)сов(Р/+ О), получаем для амплитудной функции и(г) обыкновенное дифференциальное уравнение — "+ —" Ыг х дг' Рис. /дя лесообразно применять только при небольшом числе участков.
В более сложных случаях вычисления, связанные с получением трансцендентного уравнения и его численным решением, становятся слишком громоздкнми. В этих случаях рационально применять либо метод начальных параметров в численном варианте, либо другиечисленныеметоды расчета, рассмотренные в гл. 1Ч. Влияние продольных сил на частоту изгибных колебаний. Продольные силы, нагружающие колеолющуюся балку, изменяют частоту ее собственных колебаний.
При растяжении собственная частота повышается, при сжатии — понижается. Выведем дифференциальное уравнение движения растянутой балки постоянного сечения (рис. 18.8). Приравняв сумму проекций иа верти- (18.18) ЕУ Е/ где штрихами обозначено дифференцирование по г. Нетрудно написать общее решение уравнения (18.18), включающее четыре произвольные постоянные. Граничные условия доставляют уравнения для определения постоянных„а равенство нулю спределителя этих уравнений представляет собой уравнение частот. Ограничимся только случаем балки, шарнирно опсртой;по концам (рис.
18.8). В этом случае уравнение (18.18) можно выполнить, если принять для амплитудной функции выражение и = з(п (/зтг/1) (й = 1, 2, 3, ... ), (18. 19) которое удовлетворяет также '1Подставляя это выражение Ыхз Р з11' Е3 граничным условиям. в уравнение (18.18), получаем Ыхг р'т„ — — О, Р Е/ 159 откуда угловая частота собственных колебаний, ссотвез ствующая /г-й форме, Р / йгчг)л" ЕЛ/(глз/з) )л 1+ Р/з/(йзпзЕ/) . г.— г ~ 1 пг.
2 1)+ -о — е(х аа прн сжатии р = ре 1' ! — 1'/1'е г Рис. 18.10 Рис. 16 9 (18.22) (18.23) 0 В сои(/кг/1)сои(р1+ 6). !6! 6 — 316 160 Низшая частота соответствует изгибу балки по одной полуво,тне синусоиды (/г = — 1) р=-.'ген( .Р) ! ) — ггг., (18.20) где Р,=кеЕ2 Р— критическая сжимающая сила для балки, соответствующая продольному изгибу ее в плоскости колебания. Сопоставляя формулы (18.20) н (18.11), видим, что влияние растигивающей силы отражается дополнительным множителем )г ! + Р/Ре.
Если продольная сила Р— сжимающая, то ее вносят в формулу (!8.20) со знаком минус. Можно показать (см. (40)), что если на балке имеются присоединенные грузы, то частота ее колебаний также может приближенно определяться по формулам: при растяжении где р, — частота, вычисленная без учета продольных сил. При достижении продольной сжимающей силой критического значения балка перестает сопротивляться действию поперечной нагрузки, и частота изгибных колебаний ее обращается в нуль.
Влияние сдвигов и инерции осевого движения элементов балки. Рассмотренная выше техническая теория колебаний изгиба, базирующаяся на гипотезе Бернулли и игнорирующая инерцию продольного движения частиц балки, имеет ограниченные пределы применения. При высокочастотных колебаниях, когда длина волны изгиба не очень велика по сравнению с размерами поперечного сечения, погрешности технической теории могут быть большими. Они также существенны для конструкций, выполненных из слоистых материалов, оказывающих малое сопротивление сдвигу. Пределы применимости техннческоп теории можно существенно расширить, если усовершенствовать расчетную схему балки и предположить, что сечения се, бывшие до деформации нормальными к оси балки, остактгся при деформации плоскими, но перестают быть перпендикулярными изогнутой осп балки. При этом угол между нормалью к изогнутой оси балки и плоскостью сечения (угол сдвига) считается пропорциональным поперечной силе'.
Такая расчетная схема балки получила в литературе название балки Тимошенко. Выведем уравнения движения балки Тимошенко. Для этой балки положение каждого сечения в процессе движения определяется двумя координатами — поперечным смещением х центра тяжести и поворотом плоскости сеченняб (рпс. 18.9). Внутренние силовые факторы ~И, * Несколько иные гипогезы, прииодпщие, однако, к тем же окончательным реаультатаы, пропиты е книге 1401. Я в сечении связаны с перемещениями зависимостями й1= Е3 — ', Я= — (б — — ~, дв СР 1 дх! (18.21) дг и (, дг ) Здесь (б — дх/дг) — угол сдвига, а — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по сечению и зависящий от его формы. Для прямоугольного сечения а =- 1,2.
Составим уравнения движения элемента йг стержня (рис. 18.10). Приравнивая нулю сумму проекций на вертикаль приложенных к эледах менту сил (включая силу инерции — ррйг —,,), получаем дС дах — — йг — ррйг — = О. д д1а Сумма приложенных к элементу моментов (включая момент сил инерции при повороте элемента) д."г! дев — йг — 12с1г — р/йг — = О. дг ды Заменим в полученных уравнениях поперечную силу и изгибающий момент их значениями по формулам (18.21).
Тогда, производя простые преобразования, получаем следующую систему уравнении: дех ~у дех да дг' С ды дг деа р деа СР ' дх~ Общее решение уравнений (18.22) является довольно громоздким. Ограничимся поэтому исследованием колебаний балки Тимошенко, шарнирно закрепленной на концах. Граничные условия для этого случая будут выполнены, если принять: х — — А з)п (/екг/1) сои(р/ -1- л), Подставив выражения (18.23) в уравнения (18.22) и сократив общие множителв, получим: А ( — й«яз/Н + раар%)+ В/са/1 = О, А(/са//) СсЕ/(«Е/) + В( — /р«а /14-»- р р/Š— БГ/(«Е/)» = О, (!8 24) Эта система может иметь отличные от нуля решения только в том случае, если ее определитель равен нулю. Таким образом, получаем следующее уравнение частот: := О. (18.
25) Ьа ОР И ", Р Р ОР «Е/ 1 Р Е «е/ / Введем обозначения: А = 1»/ Й/ — гибкость балки: р„ = †.' 'рс х р ес«~сс) — б без учета сдвигов и инерции вращения; 6«=-6/(«Е), с учетом которых уравнение (18.25) примет вид Решая это уравнение, получаем две частоты р„, и р„, соответствующие одному и тому же числу полуволн упругой линии Г 2 ай~ (18.26) Низшая из этих частот соответствует такой форме колебаний, при которой поперечные сечения поворачиваются в ту же сторону, что и касательные к изогнутой оси (рис. 18.1»,а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
