Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Высшая частота соответствует повороту сечений и касательных к изогнутой оси в противоположные Риа 181! стороны (рис. 18.1!,б). Рассмотрим в качестве примера колебания балки прямоугольного сечения с отношением длины к высоте поперечного сечения 1/й = 10. В этом случае А == / »' Ё// = »' 121«/Ч = 34,6. Принимая Е/Сс=- 2(1; 9) .=- 2,6, а = 1, 2, получаем »»« — б/(«Е/ == 0,32.
Используя эти данные, можно по формуле (!8.26) вычислить час готы ры и /ь,, соответствующие различному числу полуволн /р, 162 ПолУченные таким способом отношениЯ (/Ры//Рр) и (Раз/Ро) ~Ри~~ депы ниже: ! 2 3 4 6 0,98 3,74 7,92 13,08 18,77 70,0 73,6 78,2 84,0 91,6 Приведенные числа показывают, что частота ры всегда оказывается ниже, чем частота, вычисленная без учета сдвигов (напомним, что теория, не учитывающая сдвигов, дает для частоты колебания, имеющего а полуволн, значение /рь = йР/рр). Снижение частоты собственных колебаний за счет влияния сдвигов тем больше, чем короче волны изгиба.
Для основного тона колебания снижения составляет всего около 2%, в то время как для пятой гармоники,;!ля которой длина полуволны равна удвоенной высоте сечения, это снижение составляет уже »(25 — 18,77)/25» 100 = 25%. Частота колебаний второго типа р, оказывается очень высокой и только для весьма коротких волн сравнимой с частотой колебаний первого типа. 4 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОГЕРЖНЕИ Если частоты и формы нормальных колебаний системы с распределенной массой определены, то расчет вынужденных колебаний может быть произведен по методу, изложенному в 9 15 предыдущей главы.
Полученное таким образом решение представляет собой разложение вынужденного движения по собственным функциям системы и выражается бесконечным рядом. Преимуществом указанного метода является его общность; однако в ряде случаев более удобными являются другие методы, позволяющие получить решение в замкнутой форме. Так, например, при расчете продольных колебаний, если действие возмущающих сил является кратковременным, значительное преимущество имеют методы разрывных функций и характеристик, подробно рассмотренные в 9 22. При расчете стационарных колебаний, вызванных гармоническим возбуждением, наиболее целесообразно записывать решение в виде гармонической функции времени того же периода, что и возмущаю- РФ щая сила.
Такой прием позволяет ~г получить результат в замкнутой форме. Для сравнения двух способов х расчета рассмотрим пример. К средней точке балки, лежащей на двух опорах (рис. 19.1), приложена возмущающая сила Р (/) =- Р, соя рай Сначала применим метод главных координат, изложенный в 9 15. 163 Согласно этому методу [см. формулу (15.1)], смещение л1обой точки бал ки может быть представлено в виде »=1 где ид(г) — прогиб при /г-м нормальном колебании (амплитудная фУнкцил); 4/д(1) — фУнкциЯ вРемени (главнаЯ кооРдината), опРеделЯемая из уравнения (15.4): 4/„+ р 4)д == Яд(1)/йггд.
Здесь р» — й-я собственная частота, Ц» — обобщенная сила, равная сумме произведений возмущающих сил на перемещения точек их приложения при й-м нормальном колебании, 2Л вЂ” обобщенная масса. Для балки постоянного сечения на двух опорах (см. 3 18) упругая линия при й-м колебании представляет собой синусоиду с й полуволнами: ид .. яп (/гяг/1), а частоты собственных колебаний определяются формулой Рд = я Р14 где р, =-яг ) Е//(т414). Таким образом, ! РЛ» = ~ и т,дг .— —.
!н„~ яп' (Йяг/1) дг = 1/2т,1, о о о Яд = Р (1) ид (1/2) = Р„соз в1 яп (Ая/2). Уравнение, определяющее функции 4/д(1), принимает форму 2 2Р» Мп (»и/2) 4/д+ Р 4/д = ' созв1. т1 Стационарное решение этого уравнения имеет вид тг! ( Р» — иг) Следовательно, смещения в любом сечении балки при вынужденных колебаниях определяются формулой х(г, 1) = ~Д 4/д (1) ид (г):= ».=1 со5 в1 э ' 51п (А .г/!) то! »=1 » Ьюи р2, 2 гибы обращаются в бесконечность, если частота возмущения в совпадает с одной из частот собственных симметричных колебаний балки. Полученный ряд'для прогибов сходится очень быстро и удобен для вычислений.
Так, наприл1ер, прогиб в средней точке балки (г =- 1/2) 2Р4 1 х,=!т -= —" соз »11 »4рг — иг »=1,3, Б ... 1 Вычислим сумму ряда при частоте возмущения в два раза меныпей, чем низшая частота собственных колебаний балки: 2Р4 4 СО5 0)! т 1рг /и 4»4 ! о »=-1, 3. 3....
Х, !2=- Ра !3 1 1 1 — — со5 в1 1 + Е1 1, 3 323 ' 2499 Вполне достаточную точность дает учет одного только первого члена ряда. Сходимость ряда для изгибающих моментов М .= Е/ — ' .-.— -- — ' " соз в.' ~~ ' яп (/гчг/1) дгг 232Е/ Р» Дг !и (» . 2) !" ю! р2 г »=, »-4 оказывается'более медленной. При и! =-- р„'2 для вычисления изгибающего момента в среднем сечении балки с достаточной точностью необходимо учитывать три — пять членов ряда.
Теперь рассмотрим второй метод решения задачи. Решение уравнения (18.1) колебаний балки дг4 д!2 где Е/ = соп51 записываем в форме, соответствующей характеру изменения возмущающей силы: х(г, 1) =- и(г) созв!. При этом для функции и(г) получается уравнение д'и — — или= О, дг4 тождественное уравнению (!8А) при значении аг =-- илгт,/(Е/). Решение этого уравнения на участках балки, свободных от нагрузки, можно представить в виде зависимости (18.5), причем постоянные интегрирования определяются из граничных условий. В данном случае вследствие симметрии достаточно рассмотреть левую половину балки.
Имеем следующие граничные условия: г —. О; и.—. О; — == О; дгг 164 165 В этом выражении присутствуют только слагаемые, соответствую щне симметричным формам колебаний балки (т. е. нечетным й). Про 1 ди дли Р„ 2 дг дгг 2Е1 (19. 1) Отсюда откуда К (') / С К (") Кг (Л) К („) /' 1 г (Л) К (Л) )1) .! !~~ф Кз(Л)К4(Л)5ЬЛзпЛОиЛ вЂ” Ла Рис. 19.2 где 4" ). =- а(/2 = '/, )/ пгошзЯ(Е./) . М ((/2) -'-" Ро( (1я Л+ Гп Л)/(8Л). о,=Е (е+ г — ). дз ' д1, 167 166 Последнее из записанных условий означает, что слева от точки приложения силы Р(1) амплитуда поперечной силы равна Р,/2. Условия (19.1) позволяют определить постоянные вобщем выражении (18.6) функции и(г): им (г) = С,К, (аг) + СзКз (аг) + С5Кз (аг) + СоКз (*г).
С, =- Сз - О, СзаК, (Л) + С,аКз (Л) = О, Сза'К, (Л) + Ср'К, ()) = — Ро/(2ЕХ) (>. =- а!/2) ° Кз (Л) )о Кт (Ц С,= —— 2азЕ/ Кг (Л) Кз (Л) ' 2азЕ/ К» (Л) Кг р) Следовательно, амплитудные перемещения при О <: з ~ 1/2 определяются уравнением () Р Р Кз (Л)К*( ) Кз ООК ( ) 192) 16Е/ Лз Кз (Л) Кг (Л) В частности, в точке приложения силы (з = 1/2) имеем 1 о1 1 Кз (Л) Кз (Ч Кт (Л) Кз (Л) 2 / Г6Е/ Лз Кз(ч Кзр) После подстановки выражений (18.6) функций Крылова приведем эту формулу к виду г1т РР 1 с'м( — ) = о — ((п),— 1)ЛЛ), (с 2 ~ 32Е/ Лз Формулы (!9.2), (19.3) представляют прогибы в замкнутой форме, что является нх большим преимуществом.
Не вызывает трудностей и вычисление амплитудных изгибающих моментов: ) б и ! Р,1 1 К (Л) К, (аг) — Кз(Л) К,(аг) К', (Л) — К, (Л) В частности, в точке приложения силы Изложенный выше метод может быть с успехом использован также для расчета вынужденных колебаний при кинематическом возбуждении. Рассмотрим, напримео, балку (рис. 19.2), один конец которой шарнирно за креплеп, а другой совершает заданное движение по гармоническому закону хг г= /созш1 Решение уравнения свободных колебаний балки записываем в форме х (г, 1) = — и (г) соз шг. Для функции и(г) получаем граничные условия: прн г == О и .=. О; и" =- О; прн г = 1 и == /; и» =. О.
Нз условий гри г —. О следует, что постоянные Ст'н Сз в общем рсшсвпи (18.6) равны нулю. Условия при г = 1 приводят к уравнениям С»Кз (Л) + С»Кз (Л) = / С.К» (Л) .+ С,К (Л) = О (Л = ай, Таким образом, амплитудные прогибы в любом сечении апре деляются равенством ц з СК СК К*()К»( ) — Ко()К»( ) Кг (Л) 1.2 (Л) Резонанс имеет место, когда знаменатель этого выражения обращается в ноль, т. е. когда Таким образом, в данном случае резонансными являются частоты о » = Ла Т Е31(шом) = йзаз р Еу) (топ), (~ соответствующее частотам собственных колебаний балки на двух опорах. 1 й 20.
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПР)1 НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ В 9 16 было установлено, что метод главных координат можно нс пользовать и при наличии вязкого трения, если коэффициенты вязког трения пропорциональны массам или жесткостям элементов системы о Это утверждение справедливо и для систем с распределеннои массон. Покажем это на примере изгиб«ых колебаний балки постоянного сечения. Поскольку масса балки равномерно распределена по длине, то и внешнее вязкое трение будем считать равномерно распределенным по длине, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
