Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В этих условиях любая разумная гипотеза о распределении сил трения является одинаково приемлемой. Естественно поэтому для простоты предположить, что силы трения распределены таким образок!, что главные координаты для консервативной системы являются главными и для системы с трением и что при вынужденных колебаниях они определяются уравнениями (16.4). Коэффициент и, в зависимости от принятой гипотезы о распределении сил трения может быть задан в форме 2 па= по+1ра либо принят тем или иным на основе использования данных эксперимента.
Изложенный простой способ учета трения сводит задачу о колебаниях системы с и степенями свободы к п задачам о колебаниях систем с одной степенью свободы при наличии трения. Однако этот метод не всегда приложим, если в систему специально введены элементы трения (демпферы колебаний). Большие силы трения, развивающиеся в таких демпферах при режимах, близких к резонансным, могут заметно исказить формы колебаний системы. В этих случаях целесообразно проводить точное решение задачи. Свободные колебания (точное решение).
Дифференциальные уравнения колебаний системы с вязким как внешним, так и внутренним трением имеют вид" Ут! х + ~ а!.х + ~~г!1х1=0 (1= 1,2,..., и). (165) Здесь а!1 — коэффициенты вязкого трения. Представим решение сисммы уравнен!ш (16.5) в комплексной форх, = и, е' ', !' =-- ) ' — 1 . (16.6) Л и ! — ~~ и, и!сов+ ио э аци;+ ! — ! 1=! '~~~ гциу — — О. (16.7) 1=1 (16.7), получим алгебраи- Приравняв нулю определитель системы ческое уравнение степени 2п гй (оа) = О.
Корни этого )равнения (2п корней) определяют комплексные частоты. Имеется и пар корней вида о!да = .+ Ра+ !иа (Й = 1, 2, ..., и). Каждому корню соответствуют свои оотношения между комплексными амплитудами грузов иь В общем случае эти соотношения комплексны и, следовательно, при данной частоте оад каждая масса колеблется со своей фазой ру!. Только при пропорциональнок!деа!пфировании отношения и!а/иуа действительны, а форма колебания с частотол ыд со временем не меняется. В этом случае она совпадает с формой колебаний консервативной системы, Вынужденные гармонические колебания.
Метод комплексных амплитуд. Пусть на упругую систему действуют гармонические возмущающие силы частотой со. Уравнения движения можно записать в форме [см. уравнение (16.5)) р ~» т,;х,-1- ~~' а, х. + '~' г„х = Р, (1), 1=! 1=! 1=! (16.8) где Р!(1) — возмущающая сила, соответствующая перемещению х!. Запишем эти силы в виде Здесь и, =-. и е — комплексные авшл!пуды; со=р'+ !и' — комплексная частота; и, ач р', и' — дсйсчвптелы!ые величины. Таким образом, принятая форма решения и ! Еы !р'-~!а'> ! и и — и'!и! ( ! т!) (р'!+" соответствует затухающим по экспонснциалшюму закону колебаниям. Подставив выражение (16.6) в уравнения (16.5), получим систему линейных уравнений с комплекснымн коэффициентами относительно амплитуд: Р,(1) = Ре ~.
(16.9) Здесь * далее длн обозначении номеров координат исцольаоваиы индексы 1, /; буква !' означает мнимую единицу. Р! — — Р!и 'ю о 135 где Р', — -амплитуда силы, приложенной к 1-й массе; сгс — ее фаза. Введение фазовых углов с( с имеет смысл только в том случае, ес. ли имеется разница в фазах спл, приложенных к разным точкам, Перемещения х, при стационарном режиме также будем искать в виде х,= и,ес где колсплексная алсплитуда е ис =- псе (16.10) определяет как действительную амплитуду иь так п фазу зс колебаний. Подставляя значения Рс(1), х, в уравнение (16.8), придем к системе алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.
Эти уравнения получаются из исходных дифференциальных путем замены оператора дифференцирования множителем йч: Таким образом, отношение комплексного перемещения к комплексной силе представляет собой комплексное число, зависящее от ь>. Обозначилс хесе(1) =- Е,(с ). (16.12) 1ЗГ> «~ и'с> "> чп ' '~~«е">Я+ гс>пс 1=> 1=> 1-> Решивэту систему, получим значения и,(1=1, 2, ..., и), т. е, значения амплитуд и фаз колебаний всех грузов.
3 а м е ч а н и е. Может создаться впечатление, что применение метода комплексных амплитуд неправомерно, так как в этом случае дифференциальные уравнения (16.5), справедливые для действительных переменных хь применяются для комплексных ль В са>юм деле система уравнений порядка 2п для комплексных переменных представляет собой систему порядка 4>г для их действительных и мнимых частей. В данном случае такой приам вполне допустим. Решающим является то обстоятельсгво, что коэффициенты уравнения (16 5) действительные. Поэтому при всех операциях действительные части остаются действительными, а и~имыс — мнссмьслги.
Поэтому при замене х и Р на х и Р уравнение (16.5) полностью сохраняет свою силу отдельно для действительных, отдельно для мнимых частей л и Р. Такпмобразом, если расшифровать записи (16.9) и (16.10), то можно сказать, что нагрузкам Рс(1) = Рссоэ(с>1 + >1>с) соответствуют перемещения хс(1) = ссссоз(с»1 —,— (>с), а нагрузкам Рс(1) =— = Рсгйп(о>1 — ', срс) --- перемещения хс(1) = исяп(спг —,— >(>с). Отметим важный частньш с,чучай — действие на систему еднкичной гаргюнической силы. Представляя эту силу в форме Р(1) = ес с, обнаружим, что лобое комплексное перемещение х,— -- и,е' Очевидно, что модуль этого числа 1Р>(с се) ~ представляет собой отно- гпение ампл>пуды перемещения к амплитуде силы, а аргумент агпрс(сй>) составляет разницу фаз силы и перемещения.
Функция Рс(сь>) называется (комплексной) частотной характерис- тикой сиете>яьс илп колтлексной ссередаточносс функцией Функция Рс(се>) определяется решением системы уравнений (16.11) и представ- ляет собой дробь, знаменатель которой равен определителю системы (16.11), а числитель — тому же определителю сзаменой 1-го столбца столбцом правых частей, где лишь одна возмущающая сила равна еди- нице, а остальные — нулю, Динамический гаситель колебаний с затуханием. В качестве приме- ра точного решения рассмотрим задачу о динамическом гасителе коле- баний с затуханием.
Выше (см. 3 15) было установлено, что динамичес- кий гаситель колебаний без затухания устраняетколебания основной системы прп частоте настройки. Однако при этом возникают новые ре- зонансные частоты. Поэтому, если частота возмущения не является строго определенной, установка гасителя не достигает цели. с 1 Этого недостатка лишен динамический гаситель с затуханием. Пусть основная система состоит из груза р~р~ массой т, и пружины жесткостью с,.
На спс груз действует гармоническая возмущающая сила Р(1) =. Р,со>наг. Динамический гаситель ~2 с затуханием представляет собой дополнительный груз т,, соединяемый с основным т пружиной жесткостью с, и демпфером с коэффициентом вязкого трения а (рис. 16.3), Рпа 163 Целью расчета является выбор оптимальных параметров гасителя. Приближенное решение этой задачи методом главных координат (в предположении о пропорциональном демпфпровании) привело бы к выводу, что увеличение коэффициента трения всегда полезно и что при а — оа колебания в системе не возникают.
Ясно, что на самом деле это не так. При болыпом трении грузы т, и т, движутся совместно, демп- фер пе работает и система имеет неограниченные амплитуды при резо- нансной частоте возмущения (16.13) ь>а == )' е>>>пс> ' сггс) т сх. + а ( ха — х>) + с., (х, — х,) —.-- О. (16. 14) Для решения уравнений (16.14) применим метод комплексных амп- 137' Для того чтобы полуюп.ь решение задачи, справедливое при любых значениях а, следзет использовать точный метод.
Составим уравнения движения системы: т,хс+ а ~хс — х*)+ с;хс -, 'е„(хс — х ) =. Р(1), и и„ 76 й7б 8 7)677 0 4 б 6 70 72 74 76 76 см х; = э' с), (7) пи,. с! Рис, 76.5 Рис. 76.6 Чтобы выполнить первое из этих условий, необходимо настройку д мпфера выбирать так, чтобы о =- 1/(1 -1- (3). При этом ординаты точек 5 и Т составляют .,ъ. = ~'Д лил .
Определение оптимального значения р более сложно. При его выборе можно руководствоваться рис. 16.5. Здесь по оси абсцисс отложено отношение масс ть7т, — 1/(1, кривая 2 определяет необходимое вязкое сопротивление р, кривая ! — максимальное значение и,гис, а кривая 3 — отношение 7Ли„ где и — максимальное перемещение груза тлотноснтельно т,(максимальное растяжение пружины с ). Данные проведенного анализа могут быль полностью перенесены и на динамический гаситель крутильных колебаний с вязким трением (рис. 16.6). В приведенном расчете окончательные значения амплитуд удалось представить в формульном виде вследствие простоты рассчитываемой системы (две степени свободы).
При применении точного метода к расчету систем с вязким трением, имеющих большее число степеней свободы, основная трудность заключается в рсшенин уравнений типа (16.15) с комплексными коэффициентами. Применение вычислительных машин позволяет реализовать вычислениия и при большом числе степеней свободы. Другим способом решения задачи с использованием вычислительной техники является численное интегрирование дифференциальных уравнений движения (типа уравнений (16.14)) при произвольных начальных условиях.
Так как в уравнениях учтено демпфирование, свободные колебания системы, зависящие от начальных условий, через некоторое число циклов затухают и получаются сгационарные решения. Преимуществом этого метода является возможность учета и невязкого трения (например, сухого), а также и других нелипейиостей в системе. Вычисления могут быть реализованы как на цифровых, так и на аналоговых машинах. ГЛАВА П1 КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ й1АССОИ Общие закономерности упругих колебаний, установленные для систем с конечным числом степеней свободы, остаются справедливыми и для систем с распределенной массой. Однако так как системы с распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бесконечно и число форм и частот их собственных колебаний. Если все эти формы и частоты определены, то решение задачи о вынужденных колебаниях может быть получено методом главных координат. При этом, однако, перемещения отдельных точек представляются уже не конечными суммами, а бесконечными рядами вида Соответствующие ряды большей частью обладают хоро7пей сходи.
мостью и могут быть успешно использованы для расчетов. Поэтому ос ионное внимание в настоящей главе уделяется методам определениг форм и частот собственных колебаний стержней. При этом рассматри ваются в основном сравнительно простые системы, для которых ре щения могут быть получены элементарными методами, Методы расчета более сложных стержневых систем рассмотрены 1 гл. 1~7. В настоящей главе рассмотрены также явления, возникающие системах с распределенной массой, которые не имеют аналога в систе мах с конечным числом степеней свободы. К ним относятся распростра нение волн деформации и возбуждение стационарных колебаний дви жущейся нагрузкой. $17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
