Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Эти эпюры строятся как эпю- Ры моментов от амплитУдных инеРционвых сил Р,л = Рь!»т,>г л. Раа =- Рз! — -- 32,4Е1/Р, Рг, =64,8Е1/и, Р>2 Ро» =. 486Е1/!з Рг, == 0 Рьз = — Рьь = Рзз = 1296Е1,'Р. Эпюры показаны на рис. 15.2. Легка проверить нх ортогональность. Теперь изгибающий момент з любом сечении можно найти, суммируя моменты, соответствующие главным координатам; гг г!.б !г !йв— ' !' 54 Ед !1 (,) з М(г, !) = ",~ Мл(г)Ч,(!).
л=! В частности, в точке приложения силы Ро М = (10,8Ч! + 54Ч -1- 1084 ) Е1/Р = = (Ро!/36) (5 — 2 соь рь!— — 2 соь Рь! — споро!) . Риг. !5.2 В сечении под средним грузом М =- (Р,!/36) (3 — 4 соь Рг!+ соь рз!). диалогично, в сечении под третьим грузом М = (Р,!/36) (! — 2соьр,!+ 2 соьро! — соь Ро!). Как видно из сравнения формул для прогибов и изгибающкх моментов, ко- лебаниЯ с высшими частотами Рз и Р сРавннтельно мало сказываютсЯ на изменении перемещений; в изменении моментов роль высокочастотных колебаний больше.
Случай приложения возмущающей силы в безмассовой точке. В результате схематизации реальной механической системы, как имеющей п степеней свободы, может оказаться, что в схематизированной системе точка приложения возмущающей силы не совпадает с точкой размещения масс. Простейший пример такой системы показан на рис. 15.3,а. Конечно, непосредственный расчет этой системы не вызывает никаких затруднений. Но возникает вопрос о применимости для расчета метода главных координат. Единственная форма собственных колебаний системы, показанная на рис.
15.3,б, соответствует нагружению балки силой инерции груза. Если прож!б под грузом принять равным единице, то прогиб в точке приложения силы ир = б>Р/ба!. Главная П7 координата д(равная в данном случае перемещению х груза) определя ется уравнением д--рао.=-Р(1)и ~дб (15.5) где Ра = — 1/(паап).
а) и =1 Рис. 15.4 Рис. !5.8 Если бы мы непосредственно составлялн уравнение движения груза сп, то получили бы точно такой же результат: тх+ (1Лн) х = Р (1) 31 Таким образом, при определении перемещений груза метод главных координат приводит к правильному решению. Однако эпюра изгибающих моментов при вынужденных колебаниях, имеющая излом в точке приложения силы Р, не может быть получена умножением треугольной эпюры (рис, 15.3,в), соответствующей форме собственных колебаний, на координату с1. Рассмотрим этот вопрос в более общей форме.
Пусть сила приложена к безмассовой точке системы с п степенями свободы (на рпс. 15.4, а с двумя). Введем фиктивную массу шо в точке приложения силы (рис. 15.4,б). Теперь система имеет и + 1 степень свободы и к ее расчету можно полностью применить метод главных координат. Таких координат, конечно, тоже и + 1, н они соответствуют п + 1 формам собственных колебаний. Все эти формы взаимно ортогональны. Пусть масса апф стремится к нулю. При этом и форм собственных колебаний будут приближаться к формам заданной и-массовой системы. Остается выяснить, что будет с (и + 1)-й формой. Так как опа остается при тф — О ортогональной ко всем без исключения формам собственных колебаний заданной системы, то смещения всех масс при этой форме должны стремиться к нулю.
Соответствующая этой форме собственная частота стремится к бесконечности, и поэтому прогибы в точке, где размещена масса тф, остаются конечными. Итак, (и + 1)-я форма колебаний при сп,~, — ~- О вырождается в форму статического равновесия системы, все массы которой закреплены, под действием силы Р(1) (рис. 15.4,в). 1!8 Таким образом, чтобы найти внутренние силовые факторы в систе- ме, нагрузка на которую приложена в безмассовой точке, нужно к си- ловым факторам, найденным методом главных координат, добавить силовые факторы, вызываемые статическим действием силы на систему с закрепленными массами.
То же относитсяи к перемещениям точек, не совпадающих с местами крепления масс. б Проверим правильность вывода на 1 и примере задачи (см. рис. 15.3). Согласно указанному выше пра1 нилу, эпюра моментов балки складывается из умноженной на д эпюры, соответствующей форме собственных колебаний (см. рис. 15.3,в), и эпюры, соответствующей нагружению силой Р(1) балки с закрепленной массой (рис. !5.5). Таким образом, например„сум- ! Р(, 5~1) марный момент в заделке составит б Ма = — дтРа( + Р (1) (а — 1Ь, р)аи) (сжатое волокно внизу). Заменим в соответствии с уравнением (15.5) ~"()- ) парад = Р (1) з1Р(зн паЧ М,= РЯа — т71.
Тогда (15.6) Конечно, использование указанного приема не является обязательным. Можно, определив методом главных координат движение масс системы, приложить их силы инерции и затем определять внутренние силовые факторы, вызванные действием сил инерции и возмущающих сил. Гармонические возмущающие силы. Если на систему действуют гармонические возмущающие силы частотой оа с различными фазами Р, (1) -= Р; сов(са! — с;), (15.7) то пх можно представить как суммы: Р; (1) -= Р;, соз са1 + Р м яп аа1, (15.8) Р„=- Р, соз ао Р;, .=- Р; яп р1. 119 Так как д = х, то второе слагаемое в формуле (!5.6) представляет собой момент силы инерции груза и справедливость равенства (15.6) очевидна. Можно проверить, что и для момента в точке приложения силы Р(1) таким способом получается правильное значение М, = — тс) (1 — а).
~~ Р!си их соз(з~ Уравнение о г ! ъч ()а + Ра()д = ' у, Р(,в(„(Я(, созю( ! !=! имеет стационарное решение ~', Р(,и(а г=! ()а = Нарев 1 сов от(. 1 — "1 Ра (15 0) Соответственно движение любой точки системы поддействием сил, пропорциональных созоо(, определяется выражением „Р;,и,, '$ч х," .— ~~~((лип, .-созЫ "~ ' ', и(а ((=.1,2,..., и). (1 / )уу( Р (15.10) Аналогично, силы, пропорциональные з!по)1, вызовут перемещения )" Р) и;ь (!) ° ъч )=! х(;= з)п о)1 у ипи ' ' (1 — "(' г)ЗУ Р' (15.
11) н полное движение выражается суммой х! =--х! +х, (С) (5) (! 5.12) Полученные выражения показывают, что при гармоническом возмущении система колеблется с частотой возмутцающей силы, а форма ее меняется в зависимости от частоты. Если частота возбуждения приближается к одной из собственных частот системы, величина соответствующих членов в выражениях (15.10), (15.11) неограниченно возрастает. Таким образом, резонанс возникает при совпадении частоты возмущения с любой из собственных частот системые.
При резонансе на Ввиду линейности систел(ы ее движение представляет собой сумму движений, вызываемых силами, пропорциональными созе)г и з(пю(' в отдельности. Рассмотрим движение, вызываемое силами, пропорциональными совой В этом случае обобщенная сила, соответствующая ко ординате да, также пропорциональна сотый частоте ра форма вынужденных колебаний системы совпадает с и-й собственной формой (поскольку остальные слагаемые в рядах (15.10), (!5.11) становятся пренебрежимо малыми по сравнени(о с резонирующими).
1!епавредственное решение. При гармоническом возмущении метод главных координат не является наиболее экономичным способом реп:ения задачи. Им целесообразно пользоваться только в том случае, если собственные частоты и формы колебаний уже известны. В противном случае быстрее ведет к цели непосредственное решение задачи. При действия гармонических возмущающих снл, пропорциональных, например, совы(, следует искать решение уравнений движения в форме х, = А(созЫ. (15.13) Подставляя эти значения х; в уравнения движения (записанные в прямой или обратной форме), получают систему линейных неоднородных уравнений относительно А!.
Решение этой системы имеет вид А! = Л((ю)/Л(ю). (15.14) В знаменателе формулы (15.!4) с~опт определитель системы уравнений, в числителе — определитель, Ий столбе(1 которого заменен столбцом свободных членов. Так как частотное уравнение системы имеет вид Л(р) †- О, то корни знаменателя формулы (!5.14) совпадают с собственными частотами системы. Динамическая податливость. Антирезонанс. Рассмотрим случай.
когда на систему с п степенямн свободы действует одна гармоническая сила, приложенная в направлении персмещенпя х;: Р =- Р,созе)(. Используем метод главных координат. Обобщенная сила, соответствующая й-й главной координате, составит ф, = Р,и ьл соз ю(. И соответствующее стационарное решение уравнения (!5.4) таково; !уд = Ро созО)(. ' й)1 (Ра — -') Перемещение в точке приложения возмущающей силы л о г х! =- ~~'„()аи а .= рогоз о)г а=! аДЛ ( РŠ— и~) Отношение этого перемещения к действующей силе Росозю( называется диналшческой податливостью сисгпез(ьп (15.15) 120 121 * Исключением являются те собственные частоты, прн которых н чнслнтель формул (15.10) н (10.11) обращается а нуль: дР)и(а = О, т. е.
резонанс на частоте Ра ве аозннкает, если возмущаюн(не силы ортогональны к (г-й форме колебаннй. Л г и,. Р„соз м! .1е( у)т ( Рг о,з) ли, находим (15.! 6) Рассмотрим характер зависимости динамической податливости 0,, от частоты возбуждения ы. Как видно из формулы (15.15), функция Рп(ы) имеет конечное число разрывов при со = ры т. е. при частотах собственных колебаний системы. При этом, если если ол = рл — ) о (, о -л.
О, Рлл-л. + оо; со = рл+ ) о (, о -о О, то 0;л — л- — оо. а) Рис. л5.7 122 Следовательно, зависимость Рп(о) имеет внд, показанный на рис. 15.6, где она приведена для системы с тремя степенями свободы. Как видно из графика, имеются частоты Я„л)о), Рй с при которых Ри(о~) — О и, следовательно, точка приложения возллущающей силы неподвижна. (Конечв' ~л ол но, все другие точки систе- Р. мы при этом колеблются с частотой о) =- П.) Указанное явление называется антирезанансом, а частоты ! 0 — антирезонансными.
Для системы с п степеняРис. !5.5 ми свободы число антирезонапсных частот равно Р свзолУ п — 1. Поясним физический смысл антирезонапса. Поскольку при антирезонансе — точка приложения силы неподвижна (рис. 15.7,а), в) - '--- можно ее закрепить (рис. !5.7,б). Таким образом, мы — обнаруживаем, что антнрезонансные колебания — это свободные колебания системы с дополнительным закреплением (в направлении х;). При этом возмущающая сила Р,созыГ оказывается равной реакции дополнительного закрепления.
Следовательно, и антирезонансные частотылл можно определять как частоты собственных колебаний системы с дополнительной связью. Преобразуем формулу (15.15). Заметим, что после приведения к общему знаменателю слагаемых выражения (15.15) получим значение Ри(о) как частное от деления многочлена (п — 1)-й степени относительно оа на многочлен п-й степени. Корни числителя равны квадратам частот антирезопансов, а корни знаменателя — квадратам резонансных частот системы. Разлагая затем чиститель и знаменатель на множите- Здесь П означает произведение, а бп равно отношению свободных членов полиномов.
С другой стороны, би представляет собой значение динамической податливости системы при о == О, т. е. ее статическую податливость. Формула (15.16) позволяет вычислять динамическую податливость системы, если известны ее статическая податливость, а также резонансные и антирезонансные частоты. Перемещения других точек системы хл(1 ~ 1) определяются равен- ствами чз ислирл Х; = ~ диирл — — Р,СОЗ ОЛ( Я~ л=! и=н Ри Отношение этих перемещений к возмущающей силе Росио~ с ли Ро „.,л л ~ ги— (15.17) 123 также может быть названо коэффийиентолл динамической податливости: Ри — главный, Ом — побочный коэффициент. По аналогии с коэффициентами влияния метода спласи 00 иногда называют гармоническими козффициентами влияния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
