Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Формы колебаний показаны на рис. 13сй (принято и, == 1). Легко видеть, что выполняется условие ор- тогональности Смысл ортогональности колебательной формы (иго и,г) и формы движения системы как жесткой (и„=. = иго) состоит в том, что инерционные моменты дисков прп колебаниях уравновешены: Свободные колебания системы при заданных начальных условиях удобно и в этом случае рассчитать, используя метод главных иоординат.
В соответствии с этим методом полагаем: х! ' . г/о (1) г!ш , г[! (1) ггп = г/о (1) + г)! (/) ггп Хо = Г)о(1) г'«ой г/!(1) им = г)о(/)+ г)о(г) "2! !)з-— -0 с/о(() = А+ В/, с решением ! 2 Зг — 3 7г 1 7г 8г — 3 =О, Зг 2г г или г (15гз — 52г+ И) = О. Формы движения системы показаны на рис. !3.6.
Легко убедиться, что условия ортогональности этих форм выполняются. Р=В рг р =р, Рис, !3.5 2,87 н — '/зи, = Рзэ„+ Рзазз. нз — '/зиз = Рогоз + Рзазз. !О? Для главной координаты 2/о в связи с равенством нулю частоты р уравнение (12.13) принимает вид соответствующим равномерному вращению вала с угловой скоростью В. Постоянные А и В рассчитываем на основе общих формул (12.15): А = дз (О) = — '«?!игах, (О), В =- 2)е (О) = — "«~ 2 зи !ох, (О).
В данном случае им= 1(/= 1, 2), а)?з.=. 7, +1з. К оордината с/! определяется, как и обычно, выражением (12.14) с постоянными по формулам (12.15). Таким образом, наличие подвижности системы как жесткой не вносит существенных изменений в расчет ее свободных колебаний. Труд- ности возникают только при а) ., В). В). попытке определить формы и частоты собственных колебаний с использованием уравнетз Вз ме. Дело в том, что к подний движения в обратной форвижной системе нельзя приИз ложить единичные силы для определения коэффициентов и, Р аг- В аэ влияния.
Один из путей прео2 доления трудностей показан на следузощем примере. Пример. Определить частоты и формы собственных поперечных колебаний стержнястремя одинаковыми массами тт = т == тз = — т, шарнирно закрепленного на одном конце (рис. 13.5,а). Силы тяжести не учитывать. Система имеет три степени свободы, одна из которых соответствует вращению балки как жесткой вокруг шарнира. Для нахождения двух остальных колебательных форм рассмотрим систему в погожении амплитудных отклонений (рис.
13.5,б). В этом положении к балке приложены силы инерции масс: Рз = тд аг, Гз = тР аз, Рз — Яиэзаз. Сумма моментов этих сил относительно шарнира должна равняться нулю: рзт/(За, + 2аз+ и ) = О. (13.3) Теперь надо связать пер емещенн я и. с силами Р, Для этого соединим прямой 2 ! Лннисй КОНЦЫ СтЕР2КИЯ. Тогда прогибы стержня под силами Рг И Ез (аз — 2/Зиз и вз -- 1/3222) можно рассматривать как прогибы двухопориой балки на рис.
!3.5,в. (Реакция нижне(1 опоры равна Рь) Имеем: Коэффициенты влияния находим, прикладывая единичные силы по направлению Рз и Рз (к балке с дополнительной опорой): Зю = Э = э/, (зДР?), э = э, = 2/ш /з/(Е?). Уравнения (13.4) приведем к такому виду: Зиз — 2из = г (8из + 7из), Зи, — и, = г (7и, + Зиз), ! г= трз!з/(6Е?) (. (13.5) Сюда следует присоединить уравнение (!3.3). Приравнивая нулю определитель системы, получаем Стсюда г„= О, г, = 0,2941, гз = 3,172. Соответствующие частоты собственных колебаний: рэ =' О* рэ = 1,ЗЗУ~Е?/(т!э), рз — — 4,36~ГЕ?/(т!э) Определим формы колебаний. Решая уравнения (!3.5) относительно из, из, получаем; 2 — Зг 1+ 2г (3 — г) (! — 52) ' (3 — г) (1 — 5г) ПРи г = О изз — — з/,иш, и„=- з/зии„ что, конечно, соответствует движению жесткого стержня, При г = гз им — — — 0,874изы изз = — 1,24агы При г = гз изз = — 2,94игю изз = 2,87и,з.
Рассмотрим более общий прием расчета системы, обла- З 827 дающей подвижностью, с использованием уравнений в обратной форме. Сконструируем модифицированную колебательную систему, отлн- Рыс. Иб чающуюся от заданной наличием дополнительных жесткостей. Введем эти жесткости таким образом, чтобы формы собственных колебаний модифицированной и заданной систем совпадали, а квадраты собственных частот отличались на заданную величину. Для достижения этой цели матрица дополнительных жесткостей должна быть пропорциональна матрице масс системы.
Собственные частоты р„и собственные векторы из заданной системы имеет кратный корень Ра = Раз! тождественно удовлетворяют уравнению (12.27) (Рат — г) и„= О, где г — матрица жесткости заданной системы. Пусть модифицированная система имеет матрицу жесткости (р.т — ге) и, == О. Уравнение (13.8) удовлетворяется тождественно прп и . = и„, р, = р» + ).'. г г (13.7) Таким образом, прн присоединении к системе дополнительных жесткостей, пропорциональных массам (коэффициент пропорциональности Л), формы ее колебаний остаются неизменными, а квадраты частот изменяются на величину Лз.
Этот прием называется сдвигом спектра частот система. Применим язложениый прием для расчета системы, показанной нз рис. !3,5. Модифицированную систему получим, присоединив к каждому из грузов пруисину с жесткостью с, (з=!, 2, 3), пропорциональной его массе (рис. 13. 7)! „"г; = Леть (13.8) В данном случае все массы одинаковы и принято с,. = с = с =Е///з, что соответствует Лз = Е//(тр). г Теперь ма!кис обычным способом найти коэффициенты г влияния для модифицированной системы (которая является т дважды статически неопределимой): с, л = 209/з/(277Е/)1 л = ьи =- тд)/з/(277Е/)1 ~чь~~ озз = йз! = 241з/(277Г/)1 Л = 109/з/(277Е/); Щ озз = Ззз .— 66Р/(277Е/)1 Лзз =- 731з/(277Е/) Рыг. И7 Далее, составляя характеристическое уравнение в форме (11.8), приведем его к виду 0,01805гз — 0,4296г' + 1,4115г — 1 = О, где г= р т/з/(Е/).
Решая это уравнена с, находим квадраты частот модифицированной системы: рг, = Е//(т)з), р„, = 2,765ЕУ/(т!з), р, =. 20,35Е//(т'о) и затем квадраты частот заданной сисгемы; р»=р».— "-, козорыс совпадают с !пйдепныии ранее. Совпадают и формы колебав!!й. Случай кратных частот. Если частотное уравнение гЛ (рг) —. 0 108 гв = г+ )'т, где Лз — заданная величина. Тогда собственные частоты рз и собственные векторы и„модифицированной системы определятся уравнением то после подстановки этого значения Р в систему исходных уравнений (11.3) относительно амплитуд и; эта система содержит лишь ив — 2 независимых уравнений.
Таким образом, если задать одну из амплитуд (например, и,), то для других а — 1 амплитуд, характеризующих форму колебаний, получается неопределенная система. Поэтому, чтобы определить форму колебаний, соответствующую частоте Рю следует задать произвольно две амплитуды (например, и! н и,). Задавая две разные формы комбинаций: и,ю ига и ин»,з), иг!»,!) получаем две разные формы колебаний (и ю ип» д), соответствующие кратной частоте.
Полученные формы колебаний не будут, вообще говоря, ортогопн.льными. Так как ортогональность форм собственных колебаний позволяет существенно упростить расчеты, целесообразно добиться ее искусственно. С этой целью одну из форм (например, игл) определяют прв произвольном задании двух амплитуд (игь и и,»), а вторую иц»+О находят нз п — 2 уравнений (11.3) и уравнения '~' '~' лтып иди/ !» ы! — — О, (13.
8) г=! !'=1 обеспечивающего ортогональность А-й и (й + 1)-й форм. При этом, конечно, задают какое-либо численное значение одной пз амплитуд (например, иц»д.з), определяющее масштаб рассчитываемой форл!ы. В процессе свободных колебаний системы две формы ее колебаний, соответствующие данной частоте, возникают одновременно. Простешпим примером системы с двумя одинаковыми часто- 1х тами является круглый стержень с грузом на конце (рис. 13.8). За формы собственных ко- гг лебаний могут быть приняты смещения груза в двух любых перпендикулярных осн стержня направлениях. Для того чтобы принятые формы колебаний были ортогональными, целесообразно выбрать направления х„х, взаимно перпенди куля рнымп (см.
рпс. 13.8). Тогда х, и х, будут главнымн координатами и при сво- бодных колебаниях будут определяться независимыми уравнениями х, =- х, (О) соз Р/ дг ~ х! (О)/Р ) и) и Р/, х, = хг (0) сов Р/ + ~ хг (0)/Р~ ьгп Рй Рис. /38 109 й 14. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Пример 1. Определить частоты н формы собственных крутнльных колебаний вала с даумя одннакоэымн дисками, имеющими одинаковые моменты ннерпнн 1, = 1 = 1(рпс. 14.1,а). Также одинаковы н жесткости с даух участков вала.
/) =! Р е ш е н н е. Обозначая углы поворотов дисков соответственно х, н хз н записывая С уравнения движения н прямой форме, получаем." а) !гхз = — се, — с (х„— хз), 1зх, = с (х, — х,). Предположим, что хт —— ит соз (/П! + /г), хз — из соз (р! ./- В) ° йб/8 После подстаноакн этих значений находим (с учетом /д =- 1з = !): (!р' — 2с) и, + си, == О, (14.!) Рис. 14.1 си, -, '(/р — с) и, = О. Прнрапннпая нулю определитель этой системы, приходим к урааненню гз — Зг + 1 = 0 (г = /рз,'с). Отсюда гг = (3 — ]/' 5 )/2 = 0,382, г, =- (3 т. ]~5 )/2 =- 2,618. Соответственно собственные частоты рз = гггз 1 с/1 = 0,618 )/ с/1, р, = )/ гз ]/ с/! =- 1,618 )' с/1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
