Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Примем и„== И1, =- 1. Тогда первая форма собственных колебаний будет характеризоваться величинами ип =. 1» им = (1 Ргт!оп)»(Р!тго!2) и„= 1, игг -— . (1 — Ргтоо!!)1'(Ргп!Аг) * где р, и рг определены формулами (11.13). й !2. ГЛАВНЬ1Е КООРДИНАТЫ. МАТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ Ортогоиальиость форм собственных колебаний. Пусть двум разным главным колебаниям с собственными частотами рд и р, соответствуют формы и;1, и и;ь Докажем, что при рд 4ь р, эти формы связаны соотношениями ортогоиальности, которые могут быть записаны в виде '«~ '» гцигдип —— О. (12.2) 1=-1 !' ! Пусть координаты системы соответствуют й-й форме собственных колебаний х! =- и;д. Для того чтобы вызвать статически такие перемещения, к системе нужно приложить силы рпь которые связаны с пере»ещеииями формулой (10.1) Рсд —— '»' гци;д (! = 1, 2, ..., и).
1=! Но величины игд тождественно удовлетворяют уравнениям (11.3) при р = рд и, следовательно, 2 Рм — — р„'~ тци,„(!' = 1,2, ... и). !'=! Точно так же перемещения и!и соответствующие 1-й форме, можно рассматривать как результат воздействия статически приложенных сил Теперь к двум состояниям статического нагружения системы: 1) пере- мещениЯ и;ю силы г!д, 2) пеРемещениЯ иц, силы Р!! — пРименим тео- рему о взаимности работ После подстановки выРажений сил Р!ю Рг, полУчим 2 ! -! 2 р„э ~~» тцигдиц — = р, ~~» ~~~«~тцииип,. 3» связи с симметрией матрицы масс двойные суммы в левой и пра- (12.3) г=1/=1 !=11=1 л л .... — Ч, ~~ ~~~~ т миг»и!и.
! идигбгп =- О, (12.7) и л Я,„=-. ~~у" 'у~тми/дини !=1 /=1 (12. 5) Х! (/) '= г Ч! (/) ип, д=! (12.6) (12. 8) 93 вой чезстях Равенства совпадают и мы приходим к равенству л л (Рд — /1!) ~ ~~~~тг/и!г,ин.—.— О, ;=, /=1 из кот грега !'Рп рг:Ф р» следует соотношение ортогональности (12.ц.
Втсгрое соотношение ортогопальности является следствяе»1 первого, Праде.,'авид! двойную сумму в виде и л л ~~т„и/дип-.. ~~ ип, ~ т! и/, ~ = О -1 1=1 Но так как итн удовлетворяют уравнениям (! !.3) при р = рь внутрен- няя сумма л и »ии 1 !1 1! '~ т!/и П =- — ~ 1 и 1=1 Р1 ~1! и посла подстановки этого выражения в (12.3) приходим к соотношению ортого нальностн (12.2). длд/ частного случая системы с диагональной матрицей масс первое из сосгтно!пени!! ортогональности выглядит следующим образом: л ~~~~ т 'и!»и П = О.
(12.4) Соотггошенне ортогональностн форм колебаний распространяется и на сд!Стемы с Распределенной массой. В этом случае следует рассматривать с онечно малые элементы массы г/гп и условие ортогональпости пр1!мет вид где по/д интегралом стоит скалярное произведение перемещений элементарн~й масс!я г/т при двух формах собственных колебаний, а интегрирование выполняется по всей массе системы.
раз/гожение движения систедвы по формам ее собственных колебан вижение нни Д жение всех масс системы независимо от причин, его вызвавших ь!Ожно Описать фОрмулн ли Х,.=Х,(/) (!в Введем новые координаты,/! (/) так, чтобы где иа, — амплитУда пеРемещемиа х, ПРи /г-й фоРме собственных ко- лебани!' Так как число новых обобщенных координат Чд равно числу старых !и то линейное преобразование (12.6) всегда возможно. Можно обратить соотношение (12.6), выразив обобщенные координагы Чг, через физические хг. Используем для этого соотношения ортогональностп. Запишем систему (12.6) в развернутом виде: х! =- Ч!ип —.— Чги! —' ,,'- Чдим+ ' + Чии!и.
х. '-'= Ч!и»1-!. Ч.«гд-; ' '' Чдилд -и ' . Чин»и Х =- Ч!!гиги-Чги„'+ + Чдиид Р -Р Ч и ДлЯ опРеделениЯ кооРдинаты Чд Умножим пеРвое пз УРавнений л л (12.6) на ~ т„ил„второе — на ~, т ги/д,..., последнее — на /=1 /=1 л ~, аги;и/д и сложим уравнения почленно. Таким образом получим !'=1 л л л л лги и»ии и , аг;/и/дх; .— — Ч, "~ ~~' тыигдип г-11=! 1=1 1=1 кз т~ '~и '%и + Ч,7,,Х тг гди"-' ' ' ' '+ Чд,х,г. миг» 'д+ В соответствии с соотношением ортогональностн (12.1) все суммы в правой части полученного равенства, кроме суммы, имеющей множителем Чм Равны нУлю, поэтомУ Величину Кд можно назвать обобщенной массой системы при /г-й форме собственных колебаний.
1(оординаты Чд связанные с физическими координатами т форму'ами (12.6) н (12.?), называются главными координатами. Для системы с днагональной матрицей масс формулы (12.7) упрощаются. В этом случае /'л» ( л ~и Ч» -- э а!гигдхг %», З/д = э т,и. 1=! г=1 (12. 16) ии7иЧь + РьггсаЧа = сеа Кг илп хк ! /'ис, /2./ Чи - С!ь сох/!!с/,'- Сгь з!и г! С (12. 14) л л : со! =- ( ч Т, ";" !о>1 /и.. с=!/=! У рави сии е частот (12.15) откуд! г! == 9,242; гг = 0,7574. 4 — 3!и 96 Таким образом, соотношение ортогональности заключается в то что интеграл Мора от произведения силовых факторов при двух ра ных собственных формах равен нулю.
Уравнения движения в главных координатах. Установленные выли свойства главных координат приводят к тому, что в этих координатадг уравнения движения приобретают особенно простой вид. Из зависимостей (12.9), (12.10) и (12.11) находим: дт дт дЕ/ — = !/)!и Ча' — = 01 — = р„в)(иЧ ° дди дяа Следовательно, уравнения движения в форме Лагранжа таковы: Чи + р' Чь --- Оиlгйси (/г -- 1, 2, ..., и).
(12.13) Здесь обобщенные свлы (,')л представля!от собой виртуальную работу всех внешних сил на единичной вариации Ч!,. Если сами эти силы не зависят от Ч, или Чь то уравнения (12.13) для различных координат Ч„не связаны между собой. В этом случае каждая из главных координат определяется независимым уравнением вида (12.13), которое не отличается от уравнения колебаний линейной системы с одной степенью свободы.
Определение свободного движения системы по начальным условиям. В 9 11 было показано, что уравнения, определяющие свободные коле; бання системы с и степенямп свободы, содержат 2п постоянных, подлежащих определению из начальных )словий. Использование главных координат позволяет упростить определение этих постоянных. При свободных колебаниях все обобщенные силы (',/и равны нулю, уравнения (12.13) — однородные и пх решениями являются выраже- ния Физические координаты х; определяются при этом завпсимостял ыи х! .;. ~ Чили,. совпадающими в данном слУчае с полУченными о=-! ранее формулами (11.!0). Постоянные С,д и С, связаны со значениями Ча и Ч„при / —. О.
С другой стороны, эти величины можно выразить через начальи ис условия для физических координат х„ воспользовавшись зависимостями (12.7). Таким образом получаем: л л Р!С.ь ' Чо(0) -- ~ ~~ ~~ и!с!игах/(01 ~/Щ пли при диагональной матрице масс: Л С, =- Чд (0) =.= ~ ~~ ш;и;ьх; (0) ' // Я)7ги с=! л З /' „С,„ = ,)ь (0) = Я т!и!ьх! (0) ~7 р)(ь. !=! Таким образом, по уравнениям (12.15) или (12.16) определяются по стоянные СгьСгд в формулах (11.10). рассмотрим пример. Определить закон дви вижения и максимальный изгибающий момент в заделкедля системы, изображенной на рис.
12.!,а. начальный момент грузу гл соо е бщается вертикальная скорость ха(0) = о. Смещения груза в начальный момент отсут в сутствуют. Собственной массой стержней пренебречь. Жесткость обоих стержней Е/ постоянна по длине. Вначале определим частоты и формы собственных колебаний.
Приложив единичные силы в илы направлениях х,, хз, вычислим коэффициенты влияяия: /з/(ЗЕУ) сто Ье! . /ос'(2ЕУ), о = 4/о/(ЗЕХ) Обозначим амплитудные перемещения в тех же направлениях иг, из. Имеем: и, =- трос!!я!! + !прои!В!о, и = глреи гм + пролог!о. Здесь амплитудные пере г м щения рассматриваются как результат воздействия на !пругую систему амплитудных сил иисрции, После подстаяовки значений Ьп ги, = 2и,, Зи, гие =" Зи! + Зию гд: г = 0Е//(гл!'Ро!. а) Е1 (г 4,54 (у Еу ,яр]к р .
!22 х Р, х. Р, х=-,, Р= (12.17) 98 99 Собственные частоты: Рд = г 6Еу/(тГ"гй =- 0,807 г'ЕЮ/(т/я), Рд =.= Ь~бег/(т/згд) = 2,82 ]/егмти) . Формы колебаний характеризуются соотношениями и,д = иы (гд — 2)/3 = 2,414и „ ию = — иы (гя — 2)/3 = — 0,4142иви Эти соотношения показывают, что при каждом из главных колебаний гр движется прямолинейно. Условие оптогональности уз ти,ди„+ тимияя = т (1 — 2,414 ° 0,4142) = 0 снидетельствует о том, что напранления движений при двух формах колебаний взаимно перпендикулярны. На рнс. 12.1,а направления колебаний обозначены 1 и г. Свободные колебания груза описываются уравнениями хд (1) .== дд (1) ид, + чд (1) ини х (б =- 4. (|) и.
+ 4. (|) и*я, где дд = С,д соз Рд(+ См Я|п Рды дя (/) =- Сдя соз Р,| -|- С,я Мп Ряп Учитывая, что по условиям задачи к, (О) = 0; хд (0) .= 0; хд (О) = 0; х,(0)= =- и, из уравнений (12.16) находим: С = 4 (О) = О; С„= чг (О) = О; РдСи =- Чд (0) = дтиддхд (О) + тиддх, (О))/Щд == т.2,4 Ыимб 828т) =- 0 354и РяСт|-Чг (0) = (ти,дхд(0)+ ти т,(0)]/7)/, =— = т ( — 0,4142) пД!, !72т) =- — 0,354и.
Здесь обобщенные массы: Я~д = т ( иг -|- иг,) = т (1 ф 2,4 ! 4') =- 6,828 т РР(я —— т ( и!я + игг) = т (1 + 0,4142 ) == 1, 172 т. Постоянные Ся,, Сяя равны; Сяд =0,354и|р;, Сдд = — 0,354и!Рг =- — О, !0|и,'р,. С учетом вычисленных значений постоянных уравнениям движения можно придать такой внд: к, = (и/р,) (0,354 я|п р,| — О, 10! я|п рд|), хг = (и/РП (0,853 Я!п Р,/ -|- 0,042 Мп Р,О. Траектория движения груза в течение половины периода основного (т.
е. имеющего частоту рд) колебания показана ца рис. 12. !,б. Точки на кривой отмечают положение груза через одинаковые промежутки времени А/ = л/(!8рд). Переходим к определеаию изгибающих моментов. Сначала строим эпюры моментов, соответствующие формам собственных колебаний. Для первой формы определяем силы инерции при амплитудных отклонениях: Гд = тр,иы =- т 0,807ЯЕ7/(т/Я) 1 — 0,65ЕХ/!Я, Г, =- тРгим =- т 0,807гЕ//(тн) 2,414 = 1 57Е7//Я. Эпюра моментов показана на рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
