Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Соотношение между отклонениями им иа находим на любого у раен ения ( 14. 1). Из первого уравнения из = [(2с — !Рз) /с1 из = (2 — г) и . 110 Как видно из этих формул, центр груза описывает в процессе свободных колебаний эллгшс. Следует отметить, что кратные корни частотного уравнения ветре. чаются практически редко. Значительно чаще приходится сталкиваться с ситуацией, когда две частоты близки друг к другу. В этом случае возникают трудности, связанные с тем, что система и — 1 уравнений для определения форм колебаний оказывается плохо обусловленной (т.
е. ее определитель близок к нулю). При этом не удается с достаточной точностью определить формы колебаний, соответствующие близким частотам р» и р»„. Для преодоления эт)тх трудностей следует из и — 1 уравнений (11.3) определить лишь одну форму колебаний и,». Для определения и,!»+!! следует воспользоваться лишь и — 2 уравнениями системы (11.3) и дополнительно привлечь условие ортогональности форм и; и ип», !.
Подставляя сюда поочередно гз и аз, находим) им = 1,6!визг, изз = — 0,618изз. Прнняа ип = 1, игз =. 1, получим формы колебаний, нзобраягенные на рас. !4.1, б, в. Проверим ортогональность этик форм: !гигтиы + !зимизз = 1 [1 ° ! + 1,618 ( — 0,618)] = О. Рис. !4.2 этих уравнений, находим (- — --' т1з рз ),Б )) ) Е//) /') р,= у 768Х,Е!/(т! ) = П,!01 ]ь!/( !'). Находам соотношение между амплнтудамн яз первого раанеппя (14.2) из)и, = (1 — 9г)/(!4г).
Принимая изз = игз =- 1, находам = 1,098, 9 41 03! . 10з !4 41,031 !О з !. 9, 380 78 1О-з 14 380 78, !О-з Формы колебаний показаны на рнс. 14.3. Проверяем нх ортогональностзс ти„и,з+ 2тимим = т [1 ! + 2 1,098( — 0,4553)) =О. Пример 3. На упругой балке длины 1 закреплен жесткий груз массой (Несоблюдение условия ортогональ- ности спндетельстеоаало бы об ошибке и расчете.) Пример 2. Определить частоты н формы собственных колебаний балки постоянного сечения с двумя массами; т, = т, т =- 2т, (рнс. 14.
2,а). Р е ш е н н е. Перемножая эпю- ры моментов методом Верещагина (рнс. 14.2, б, в), получаем значения коэффнпнентоа влияния: азз = озз = ЗР/(256Е!), д Ьм — 71з/(768Е!). Ураэпсния (11.5) для амплитуд- ных прогибая и„ из под массами имеют следующий пнд: из = трнз (9ит -1- 2 7из)/(768Е!), (!4.2) и = трз!з(7иг+ 2 9и )/(768Е!). Приравнивая нулю определитель тг !8,— ! ~ Отсюда гз = 41,031 !О з, гз = 380, частоты: 78 ° 10 з н соотаетстачюп)не собстаеппьм гв — г (13 + !28) + 128 = О, Рис. !4.3 Рис.
!4.б илв при О =- 118 гь — (2912) г + 3/2 = — О, откуда г, .= 14,395, гз = 0,1042. Соответствующие собственные частоты: рт =- ')' !2Е33(т!ггг) = 0,914 )г Е3,'(т!а) "г Рз = )г 12Е31(т!вг ) = 10,72 ГгЕ31(т!г) Рис. 14.4 и = и, (г — 13)!(12!П). Г = — ртти„М = —.. Рт!ии тими,в+ !изгим=- т 1 1+ + (тР18) (0,931!) ( 8,601!) = О.
[~- йбб! 113 112 лт, центр тяжести которого распологкен в точке С(рис. 14.4,и). Момент инерции груза относительно перпендикулярной плоскости чертежа оси, проходящей че. рез точку С, равен ! (для определенности примем ! = тР/8). Определить часто. ты и формы собстиенных колебаний. Р е ш е н и е. Система имеет две степени свободы, соответствующие верти кальному перемещению точки С и повороту груза.
Обозначим ит н из — амплитудвые значения перемещений (рис. 14.4,б). Инерцноннав сила и момент сил инерции составляют; Уравнении динамического равновесия (в обратной форме) имеют такой вид: и, —.— Р;ы+ Мггю и, =. Р.гт -1- М~тв. (14.3) Коэффициенты влияния находы, перемножая эпюры, соответствующие единичным нагрузкам (рпс. 1!.Б): Зтг .. 13!з;(12Е3) ".т = Взг -= !в~, (Е3) Зв —— !1(Е3).
Подстановка этих значений в равенстна (!4.3) приводит к уравнениям .и, = 13и, -1- 12З!и„гив =- 12и,)! + ! 2 "и,„ (14.4) где длн сокращения обозначено г = ! 2Е3 3(т Рр'); 8 = !1(тР) (по условиям задачи д = 118). Частотное уравнение [равенство нулю определители системы (!4.4)) полу ает вид формы колебаний характеризуются соотношением При г = г, и,г — 0,93иы)1, при г = гз и„= — 8,60и,з)!. Формы колебаний показаны на рис.
14.6. Условие ортогональностн в данном случае имеет вид Пример 4. Определить частоты и формы собственных колсба- Р . 14.6 ний жесткого груза на упругой ис. балке рис. 14.7,а. Масса груза т, момент инерции относительно центральной оси, перпендикулирной плоскости чертежа, !(1 == тР18). Р е ш е н н е. В качестне координат, определнющнх положение системы, примем вертикальное перемещение х~ точки А и угол поворота хз груза относительно этой точки (рис. 14.7,б). Так как точка А ве совпадает с цегпром массы груза, матрица масс системы в данном случае не диагональная.
Кинетическая энергия груза составляет Г ) а/ С 173 Рис, 14,7 (15.1) х! = "~' г/ли!л, л=! (15.2) а а ау(л: =- '«» ~~)" !ими/„ии„ (!52 — г) иг+ 91/и =О, 240иг/1+ (174 — г) ив = О, г=! /=1 П аг( =- '«НГ!и,л. (15.3) (15.4) и„= иы (г, — 152) !(9!!) =- 1,74Ги!! !1, Н4 !!5 Т = ! /,и 1( и, -1- х 1/8 ) + ( х,1 /2) 1 + х/г/х г= г ' 2 = т/Я ~ тх +2(т1/8) хгх + (1-!- 17тИ/64) х ], 2 Отсюда следует, что матрица массы имеет вид /гл т1,'8 с — (гаи/8 /, гае /! = /+ 17тИ/64 = 25т1в/64, Коэффициенты податливости найдем, приложив в точке А единичную силу по направлению х, и единичный момент по направлению х,: Ьг! = 1з/(ЗЕХ), оы = аг! = И/(2Е/) Ь =.!/(Е/). Следовательно, матрица податливости имеет вид Запишем уравнения, определяющие амплитуды, в матричной форме (12.28).
Вычислим т1 [21в 31) (64 81 ) тн ~ !52 911 Ьт =— 384Е7 '!31 6, (81 251 / 384Р/ (240/1 174) Уравнения (!2.28) получают вид где г = 384ЕХ/(Р'тр). Нриравняем нулю определитель этих уравнений: гв — 326г+ 4608 = О. Отс!ода г, = 311,2; гг = 14,8! и соответствующие частоты: Находим формы колебаний. При первой форме мая и, = и, = 1, получаем ип =- ! 749/1 для проверки их ортогональиости следует вычяслить т '64 81 1/ 1 3 а м е ч а н н е. В данной задаче, как и в предыдущих, можно было бы получить диагональную матрицу массы. Для этого следовало бы выбрать в качестве координат вертикальное перемещение точки В (рис. 14.
7б) и поворот груза относительно этой точки. й 15. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ Метод главных координат. При возмущающих силах, произвольным образом зависящих от времени, непосредственное аналитическое решение неоднородных дифференциальных уравнений движения системы становится затруднительным. Существенное упрощение расчета достигается путем введения главных координат.
Прн этом физические координаты х;(1) (1 = 1, 2, ..., и) связаны с главными (/л(1) (й =- 1, 2, н) зависимостями (!2.6) где и; — амплитуда смещения х; при /г-!! собственной форме. Обратная зависимость имеет вид (12.7) или в частном случае диагональной матр!гцы масс При этом каждая из главных координат определяется независимым дифференциальным уравнением г !)л + Рлг/л = (4л/рйгл где Ял = у Рои;, — обобщенная сила, соответствующая координа. те г/л. Так как уравнение (15.4) не отличается по форме от уравнения вы нужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы,, при его решении можно использовать методы, изложенные в гл, 1, При этом следует иметь в виду, что начальные условия для главных кооРдинат Чл выРажаютсЯ чеРез начальные УсловиЯ длЯ физических координат с помощью зависимостей (15.2) или (15.3). Пример.
К грузу т! балки, изображенной на рис. 15.1, внезапно приложена сила Р(/) —. Ро, сохраншощая в дальнейшем постоянную величину. Определить законы движения грузов и изгибаю/) щие моменты в балке. Р е ш е н и е. Выше (са!. с. 104) определены частоты и формы собственных колебаний системы: р> == 5,693 ]г Е1 (>л!з), О Р, == 22,045 ТГЕ1/(гл!О), 1 О (3 Р == 36)»Е1/(гл!О) . Формы колебаний воспроизведены на рис. 15.!.
Определяем обобщенные массы, соответству>ощие собственным формам; Рис. 15.1 з Я(л= х шои.л, пы о=! й)[! =- и (!г+ 2з+ 1г) = 6>п, ДЯО = п! (1'+ О+ 1ь) = 2>п, уу/з = гл (!'-1- 1'-1- 1г) = Зш. Обобщенные силы для всех форм колебаний одинаковы и равны Ро (так как прогиб в точке приложения силы для всех форм равен единице). Таким образом, уравнения для главных координат таковы: о з з Ча+ Р Ч! 1 О/(6 ) Чз+ ! Чо > О/(2гл)' Чз+ Р Чо О/(Зш) ! г 3 Решения этих уравнений, соответствующие нуленым начальным условиям*: Ро /о Ро Ч! = (! — соьр,!), Чь = — (1 — соь РД, Чз — — — (1 — со» р>/).
бглрг! 2тРг Зшргз Теперь можно подсчитать и перемещения грузов: х Члнш. !!а формул (15.2) онаго, что если при / = 0 все физические координаты х, н скоРости х, Равны итл!о, >о также Равны пУлю и главныс кооРдииаты Чл и скорости Ч>,. 116 Производя подстановки, получаем: х, = Ч, + Чо+ Чз =- [РОР/(3888Е1)] (25 — 20соьр,! — 4 со! р,! — сов рз!), х, == 2Ч, — Чо =- [Рож/(3888Е1)1 (39 — 40 соь р,!+ соь Р !), хз —.Ч,— Ч + Ч ==. [Р !','(3888/ 1)1(17 — 20соьр !-1- 4соьр ! — споро!). /Тля вычислення изгибающих моментов построим сначала эпюры моментов, соответствующие формам собственных колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
