Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Уравнения (10.10) являются уравнениями движения в прямой форме, причем отличны от нуля только коэффициенты влияния, связывавшие силы и перемещения соседних грузов; г. = — с | — |,| | — |,| "|. с = с —, | с;, |+| Поэтому уравнения оказались чрезвычайно простыми поструктуре: п каждое из нпх входят не более трех неизвестных, а в первое и последнее †' по два.
Так же выглядят и уравнения крутнльных колебаний для системы массивных дисков, закрепленш|х на упругом валу (рис. 10,3, а). Обозначив углы поворота дисков х„х„х,, ..., составим уравнение двпже- 85 Для определения коэффициентов влияния бы следует рассмотреть нагружение ба.тки единичнылп! силами в пас!равлениях хз, хз, хз (рис.
10.4,б), что выполняется методами сопротивления материалов (интеграл Мора, правило Верещагина). б) Коэффициенты влияния гы представляют собой реакции фиктивных опор, расположенных под каждой из масс т; при прогибе под массой то авпом единице; коэффициент 6!! 6г! 6п 1 бгг бп 1! Яб и и ~ тых! + ~ гзРТ! = О. г=! 1=1 (1 1.1) а) !пг Решение этой системы, соответствующее гармоническим колебаниям, можно представить в виде х! =- и, з!п (р( + з!), (! = 1, 2, ..., п), (11.2) х! + т!хсбп + тзхзбзз + тзхзбм — — О, где и; — постоянные; р— угловая частота; ср †фа Рис.
1О.б бб ння промежуточного !'-го диска (рис. 10.3, б), на который действ крутящие моменты прилежащих участков вала "ствуют ; (х! — ! !); М..+! '= с! !+! (х!з! — х!) и внешний возмущающий момент М!(1). Записывая уравнение движения диска вформеДаламбера, получаем а) ! с — 1!х;+Ма!+! М,, + ' 'зм +М;(1) =- О, 1; где 1! — момент инерции массы диска. Подстановка выражений упругих моменб) тов приводит к уравнению = — М; (1). (! О. 11) Уравнение (10.11) имеет точРис. 1ЦЗ но такой же вид, как уравнение (10.9) для поступательного перемещения грузов. Если в рассмотренных выше задачах использовать обратну!о форключения ! му уравнений движения, то в каждое из уравнений войдут все б ез пе- ния неизвестные перемещения. В самом деле, для систем рис.
10.2 и 10.3 ни один из коэффициентов бм, представляющих собой перемещение х! под действием единичной силы, направленнои по х;, не обращается в нуль. Системы, показанные на рис. 10.2 и 10.3, — это так называемые цепные системы, в которых упругие силы зависят только от разности смещений соседних масс. Таким образом, для цепных систем прямая форма уравнений движения является предпочтительной.
Для систем, не относящихся к цепным, как правило, не равны нулю ни коэффициенты бсн ни гы, поэтому уравнения движения в прямой и обратной формах имеют примерно одинаковую сложность. Здесь выбор той или иной формы занисит от того, какие коэффициенты влияния, й!г или гп проще определить. Большей частью проще вычисляются коэффициенты матрицы податливости й, и поэтому применяется обратная форма уравнений движения. В качестве примера рассмотрим колебания балки с тремя сосредоточенными грузами (рпс. 10.4, а). Система уравнений в обратной форме при отсутствии возмущающих сил имеет вид хз+ т!х!ба!+ тзхзбзз + тзхзЬзз = О, з + т!к!из! + т!хз бзз + тзх,бм = .
О г;; равен силе, которая приложена при этом к массе т; (рис. 10.5, а). Таким образом, для непосредственного подсчета коэффициентов гп для балки с 6' 6зз ~рема массами необходимо 6!з гз трижды решить статически Риа 1Ц4 неопределимую задачу типа изображенной на рнс. 1О б, б. Конечно, практически проще определить сначала матрицу коэффициентов й, а затем, обратив ее, найти матрицу г. Однако в этой операции нет необходимости; для балочных систем следует пользоваться обратной формой записи уравнений движения. 5 Ы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИИ При свободных колебаниях возмущающие силы отсутствуют и уравнения движения (10.6) являются однородными: колсбаний.
Подставив значения х; в уравнения (11,1) н сократив общий множитель з!п(р! + гр), получим систему линейных однородных алгебраических уравнении относительно постоянных и; и ~~ (г;, — ратгу) иу == 0 (1 =- 1, 2, ..., л). (1 1.3) /=1 В эту систему в качестве параметра входит квадрат угловой частоты колебаний. В случае диагональной матрицы масс система уравнений относительно амплитудных перемещений и; может быть записана в виде л '~' гыит — р'т,и, = 0 (1 = 1, 2, ..., л) 1=1 (1!.4) или в виде иг — р' 5 тти1811 — — 0 (1=1,2,„,,л) (!1.5) г,, — р'та, га, — р'таа ...
г,„— р'т,„ =. О. (! 1.6) г„, — р'т„, г„, — р'т, ... г„, — р'тео Уравнение (!1.6) — — алгебраическое л-й степени относительно р'. Оно называется частотным или векавылг уравнением. Если положение системы, от которого отсчитываются перемещения х;, является положением устойчивого статического равновесия, то все л корней уравнения (11.6) действительны и положительны. Таким образом, система с л степенями свободы имеет л частот собственных колебании.
В общем случае все корни уравнения (11.6), а значит и все собст- в зависимости от того, исходим ли мы из уравнений движения в прямой пли обратной формах. Уравнения (11с4) представляют собой уравнения динамического равновесия масс т, в положении амплитудных отклонений, когда на л них воздействуют силы упругости ( — ~~~~гг;иу) и силы инерции р'т;и;. 1=1 Уравнения (11.5) можно рассматривать как уравнения, связывающие амплитудные перемещения с вызывающими их инерционными силами в соответствии с формулами (10.2). Поэтому для составления уравнений, определяющих формы свободных колебаний иг, нет необходимости обязательно составлять уравнения движения; можно ограничиться рассмотрением системы при амплитудных отклонениях.
Система линейных однородных алгебраических уравнений (11.3) может иметь ненулевые решения только при ее определителе, равном нулю: вепные частоты, различны. Некоторые особенности расчета в случае кратных корней рассмотрены в й 13. При диагональной матрице масс на основе зависимостей (11.4) илн (11.5) частотное уравнение может быть записано в виде ~ ГП вЂ” Р'Лг, Г,Е ... Гзя 1 ее — Рата :, = О (11.7) тле 1л1 пли в виде ,Р т о — 1 Р тАз Р тЯ р тгсаг Р таха — 1 " Р Лгя я =. О.
(11. 8) е Р тгеяг Каждой собственной частоте рг., соответствует определенная форма колебания, т. е. определенное соотношение между всеми амплитудными перемещениями иь В самом деле, если ра — р'„, то определитель уравнений (11.3) равен нулю. В этом случае одно из уравнений является следствием остальных и имеется лишь и — ! линейных однородных уравнений для определения л неизвестных амплитуд. Произвольно задав одно из амплитудных перемещений (например, положив и,: 1), из этих уравнений можно найти все остальные. Таким образом, для каждой собственной частоты р, определяем соответствующую форму колебаний (собственную форму), характеризуемую амплитудамие и,1„иа1„..., ила.
ЗДЕСЬ ПЕРВЬШ ИНДЕКС ОЗНаЧаЕт НОМЕР ПЕРЕМЕЩЕНИЯ, второй — номер формы колебания. Обычно частоты и формы собственных колебаний нумеруют в порядке возрастания частот, так что тс . 1 соответствует низшей, а 11 —. л — высшей собственной частоте. Каждому номеру гс отвечае~ решение уравнений движения в форме х, = (Сгл созРл!+ Сл з!пргг)ипг Движения в соответствии с уравнением (1!.9) называются главными колебаниялги системы. Так как уравнения движения являются линейными, то линейная комбинация решений вида (!1.9) (11. 10) х; = ж (Сзл соз рл(+ Саь гйп рл!) игл л=1 также является их решением.
В формулу(11.10) входят 2л постоянных С,„н С,л(й = 1, 2, ...,л), и, следовательно, оца выражает общее решение системы уравнений * Эти амплитуды определены с точностью до произвольного множителя, м одинакового для всех и,.г, нрн данном ы 89 1 Х! -'= — т»О!!Х! — тгд!гхг, хг = т»ог!х! тго 2хг. л л ~ ~ тцигдиг! — — — 0 1:.—.! 1=.! (12.1) или л л Рис. Пц и, = Р' (т!о!!и! + тгг»!2ИМ, (11.11) и, = р'(т!ог!И1+ т2322иг). (11. 12) ри — - р, ~~)'тциц. ~~~~~ г!дии —— — ~~)' рпи!д.
»=! » — ! а вторая— »=! !'=..! 90 9! (11.1). Постоянные могут быть опредслены нз начальных условий дви-; жения (см. 5' 12); при 1 == 0 должны быть заданы перемещения и скорости всех масс. Рассмотрим простейший случай системы с двумя степенями свободы, например, балки с двумя массами (рис. 11.1). При свободных колебаниях уравнения движения в форме (10.8) имеют такой вид: После подстановки х,= — и, з!п (р1 +- + Т), хг =- ига!и(р1+ о») получаем Приравняем нулю определитель этих уравнений: Р т!~!! 1 Р тг !2 2 * =- О.
Р т,о„ р2!и д Уравнение (11.12) является квадратным относительно р'! т,то (3!Дг — 3!2) р' — (т,оп + тгогг) р' + 1 = 0 (при записи этого уравнения учтено, что о„= о!21. Находим два значения квадрата собственной частоты: 2 Л»!2!! + Л»2222 — )» (Л»!Д!! — Л»2222) + 4т!Л»22!г 2 2 р!— 2 2л» л» (2 о, — 2 ) (11.13) 2 л»!Д!1+ л»2222+ (ло!2!! — л!2222) + 42»!т»Д!г 2 -г Ров 2 2т!мг (6!!222 о!г) Соотношение между амплитудными отклонениями грузов можно найти из любого из уравнений (11.11). Из первого уравнения игд/и!д = (1 — РгггпД!)»»(Рдтгй!2) . Амплитуду одной из масс можно задать произвольно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
