Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 14
Текст из файла (страница 14)
колебаний а = — [2/(вы,)1 (/Ро/т) ! Слсдовэтсл ьно, , угловая чэстотэ зэтухэющих Й ...= — ( т!+ р) б! эзнэ собственнои чзс о т те системы без трения, , э скорость убывания амплитУды но 2,»/юг онэ уменьшается нэ величину цостояннэ, причем зэ один период л юг онэ е ба .—. (2я/мг) [ а [ =- 4/р /(т е) = 4/р»/а Полученные результаты соэп д э эют с точными. т мы с к бической нелинейностью 2. Вынужденные колебэоия системы с ку зиче ример и вязким трением.
Решение уравнения движения ! ) ( ( !) == [(тшэ — с) х — Вх "х + Ь, х = ам соь Ь, "= "!+ т "олучн Г1осле подстановки х = а юп ', х = Ф = [(тмь — с) аз!п ' — ута ) д — аь Мпз Ь вЂ” оам соь Ь + Ро ь1п (Ь вЂ” Р)1/т. Вычислим: 1 В(а, о) =- — ~ о 1 ° 1»о Ф Ьбз = — — — ам — — ь!пч, соь '= — ю /о + соьу 2т Г т) 8 т 2х, о По формулэм (9.10) нэходнье ц -- — («ма+ Ро ь!п т)/(2пт") с) ц о, „ць., Росоь9[/(т-а). (9.14) 79 тх -1- ох-т сх+ тдх = о ь! ь(п м/ ищем в форме х=аып(м!+ У) [ Заметим, что здесь з есь в отличие от уравнений ения по с эвнению с силой.) В этом 8.22, 8.23)  — опережение фазы смещения по рэ (9.16) а =- А + «и, а = — у« + «о, и = — (ами + Р«соз 9«г)/(2т~ ), й 10.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ При стационарном режиме а = А = соп«1, т =.- — 9« =. сопз! (9« — отстава. иие по фазе перемещения от силы). Отсюда следуют уравнения амЛ=Р«зщч«, (9, 16) (С+ з/ау!А« — т «з) А = Р„соз ую которые не отличаются от уравнений (8.23), полученных методом гармонического баланса, и приводят к тем же амплитудно-частотным характеристикам. Исследуем теперь устойчивость стационарных колебаний. О этой целью по. л жим гдее — бесконечно малый параметр.
Подставляя выражения (9.16) в уравнения (9. 14), учитывая, что прн ив = А, !р = — !ро правые части этих уравнений тождественно равны нулю, и сохраняя только линейно зависящие оте слагаемые, придем к следую:цей сис[ече дифференциальных уравнений относительно и и о. о =- — [(таа — с — 9),А'/4) и )- Р«ни Р«п1/(2тмг))- Замешы зДесь Р«сох Р«и Р«ып т«их значениями в соответствии с йюпчУлзчи (9.16) и введя обозначения и = (с+ з/з ПАг)/аг, а/т = 2л (сч. ! 8), представив уравнения в таком виде; и+ ли+ [1/(2»)1 [ м --аа) Ао =-О, ('!. 111 [1/(2А««)] [мз - — «Р Зт,А«Д2т)] и+ с т то = О Решение уравнений (9.17) можно записать в виде и = С,е", о = Сге".
Г)осле подстановки получим систему алгебраических уравнении Сг (з + л) + С«( ыг — мз) А/(2м) = О, С, ]««а — «« — Зт,А",'(2т)], (2А«) -, Сз (з -!- л) = С . Приравняв нулю определитель этой системы, придем к квадратному )равна нию относительно характеристического показателя э (з -1- л)з + ( «." —, з) [и' —,,"- + Зт, 4«'(2т)]; (1«а) =- О.
(9 13) В зависимости от знака второго слагаемого этого уравнения характеристические показатели могут быть либо сопряженными комплексными с отрицательной действительной частью з == — л «ь !' 1'ао (прп /э = — ( « — «~'-'/[« — »'-' + + ЗтгА«/(2т)]/(4«з)>0), либо действительны«и! з —.—. — л --' 1' — П (при Г) < 0). В последнем случае один из показателей положителен, если —./Э ) л'-, По при положительном показателе з соответствующее решение ) равнений (9. 11) еп неограниченно растет со временем п, следовательно, стационарный режим дпижепия неустойчив.
Итак, условием неустойчивости является неравенство лз 1- /г < 0 или лз + (мз — ме) [мз — «А+ Зт А'-",(2т)]/(4»«) < О Нетрудно установить, что это условно совпадает с полученным ранее условием (8.34). Интересно, однако, отметить, что при использовании метода осреднения анализ устойчивости стационарного режима приводит к лииейвым урзвненням с постоянными коэффициентами, в то премя как в й 8 нужно было исследовать уравнение с периодическими коэффициентами. Г ГДАБА " «т « НОЛЕБАНИН СИСТЕМ С ИОН ЕЧНЫМ ЧИС,ЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ дан!кение системы с и степенями свободы описывается гг дпфференццачьными уравнениями второго порядка. При большом л уравнения становятся громоздкими.
Для линейной системы существенное упрощение записи УРавнений, их исследованиЯ и РешениЯ достигаетсЯ пРи использовании матричной символики. Г[оследовательный вывод основных соотношений теории колебаний систем с конечным числом степеней свободы в матричной форме дан в 912 этой главы.
Однако для облегчения усвоения эти соотношения взведены ниже также и в координатной форме. Рассмотрим колебания системы, положеьи всех масс которой опредедяют гг независимых координат л; (!' = 1, 2, ..., л). Предположим, что эти координаты представлшот собои линейные нли угловые перемещения элементов системы от равновесного положения, причел! эти перемещения достаточно малы, так что систему можно считать линейной.
При колебаниях координаты х; являются функциями времени. Перемегцеиия хь которые имеют место в некоторый фиксированный моцент времени, можно получ!пь и прп статическом воздействии на упругую систему сил Г! (!' -- 1, 2, ..., и; Р! — сила, соответствующая перемещешпо хг). Для линейной упр)тог! системы силы Г„которые нужно приложить, чтобы получить перемен!ения хь линейно связаны с этими перемещениями: 1 (10.
1'! /=! где г;/ — коэффициенты жесткости, аналогичные коэффициентам влиян!.'я метода перемещений в строительной механике, 1!аряду с зависпьюстяьш (10.1), выражающими силы через перемен(ения, можно записать зависимости и х; =- э'Зг//-„ (10. 2) !'=1 а к которых перемещения выражены через силы, а коэффициенты !кыпт- С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ [9. !6) а = А + ои,; =- — „, + ос, и = — (оми + Ро соз Рос),'(2т:о), ь !О. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ х; =- р Зггрг, оои г=! (10. 2) 8! Прн стационарном режиме а = А =- сопз(, т =. — то =.
сопз! (чо — отстава. езе по фазе перемещения от силы). Сгтсюдз следуют уравнения амА =Роз!пчо, (9, !6) (с+ о7оНАо — т ос) А =- Р, соз ую которые не отличаются от уравнений (8.23), полученных методом гармоннчес кого баланса, н пряеодят к тем же амплитудно-частотным хзрактернсгнкам. Исследуем теперь устойчивость стацяонарных колебанн й. С этой целью по л-,кем где е — бесконечно малый параметр. Подставляя выражения (9.16) в уравнения (9.
14), учятывая, что прн ив = А, гр =- — гро правые части этих уравнений тождественно равны нулю, н сохраняя только линейно зависящие оте слагаемые, прадом к следую:цей снс[еме днфференцнальных уравнений относительно и н о. в = — [(тио — с — 97,А'/4) и )- Р, Мп уоп] (2олиг1).
Заменял здесь Ро созто н Ро Мп уо нх значеняяян в соотвггсгепн с форяулзчв (9.|5) н введя обозначения м = (с+ о/опАа)/ог, аут = 2л (сч. й' 8), представив уравнения в таком вида; и+ ли+ [1/(2 )! (» — ~оо] Ас —..= О, ('), |7) [!7(2АмЦ [из — мз — Зт,А'/(2т)] и+ с о гв =-О. Решение уравнений (9.!7) можно записать в виде и =С,е", в = Сое". Г|ссге подстановки получим систему алгебраических уравнений Сг (3 + л) + Со ( м — мо) А/(2м) =. О, С, [ о — и — 37!Аз/(2т)]!(2А») -, Со (з-|- и) .—.
(. Приравняв нулю определитель этой системы, придем к квадратному ) равна няю относнтетьно характеристического показателя з (з -|- л)' + ( Р— ') [о — »'-' + 31, 4е'(2т)],'(г»о) = О. (9. |8) В завнскмостн от знака второго слагаемого этого ураввення характервстпческие покззателн могут быть либо сопряженными комплекснымя с отрицательной действительной чзстью з == — л -!. ! )' Гг (прп гэ =.
( « — о о) [ — '-' + + ЗтгАзу(2т)]г(4~ е)) 0), либо действительными з.= — л --' 1~ — П (пРн Г! < О). В последнем случае один нз показателей положителен, если —.7) ) л'-, Ио прн положятельном показателе з соответствующее решена е уравнений (9. | 7) еп неограниченно растет со временем и, следовательно, стационарный режим деяженвя неустончпе. Итак, условием неустойчивости является неравенство лз -1- Гг < 0 нля ло + (мз — оо) [~ р — о о+ 37АзЛ2т)]г(4о о) < О Нетрудно установить, что это условпе совпадает с полученным ранее условием (8.34).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
