Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 10
Текст из файла (страница 10)
е. к квадратному уравнению относительно о 2 о — [х1 (т) и- х«(.)] с т х1 (т) х. (т) — х1 (т) х (т) ==- 0 . ( н Свободный член уравнения (7.7) тождественно равен единице. ~ И А =- [х, (т) -'; х«(тЦ/2 . Очевидно, что если ! [А[)1, (7.8) го одно из значений !о[» 1 и движение неустойчиво. Если [А [ ( 1, то действительные значения о отсутствуют и неустойчивое движение, отве шющее уравнениям (7.6), невозможно. Пограничным является случай [А ~ = 1, [о[ = 1.
Таким образом, для гого чтобы установить, имеет ли место параметрический резонанс при данном'законе изменения параметра, необходимо вычислить реше[ ния х,(г), х,(1) и проверить соблюдение неравенства (7.8). Вычисление решений х„х, в общем виде оказывается несложным, если с(1) меняется по кусочно-постоянному закону (например, если в течение головины периода продольная сила постоянная сжимающая, а в течение второй половины — постоянная растягивающая). Решение для этого случая см. в работе [40). Практически более важен случай, когда параметр меняется по гармоническому закону с(1) = с, + с,созо4.
Прп этом уравнение (7.1) получает вид Ото уравнение, называемое уравнением Матье, хорошо изучено. Характер его решений зависит от двух безразмерных коэффициентов. В самом деле, введя «безразмерноез время ь .= и1/2, приведем урав"егше (7.9) к виду б«ХЯЬ«+ (1-с 2дсоз2Ь) х =- О, (7.10) г / =- 4сь/(тоУ) =- 4р'/гь', д =. 2с,/(тгь«) . Г (7.14) Рпа 7.4 54 55 Коэффициенты / (характеризующий отношение собственной част4 ты системы при среднем значении параметра с, к частоте изменения раметра) и д (характеризующий степень изменения параметра) п пастью определяют устойчивость движения. Плоскость изменения и о может быть разделена па области, соответствующие устойчи и неустойчивым движениям.
Такая диаграмма (диаграмма Лйнса-Стретта) представлена рпс. 7.3. Области устойчивости на рисунке заштрихованы. Таким обр4 зом, для того чтобы опред лить, устойчиво или неу ! ' ' тойчиво движение, опись( [+ [ ' ' . , ' ваеьюе уравнением (7,9~ Ц ! [ ' ],:;. достаточно вычислить к5 .444 соответствующую точку к[ ! ф,,;Ф Я~ диаграмму и установи ф~~ф~[ "'; ~„". попадает ли она в уст боба' 4,;: '':ф."' чивую (заштрихованн [; ./. ' Р'' .,', ."'"'.: 'Ь.:."!б' няется устойчивость сис -я-/ о г 2 б о б б 7 891оп 1г/ мы при изменении час ты ы. В этом случае от шение о/1 сохраняет пс[ стоянное значение и соо~] ветствующая точка на диаграмме Лйнса-Стретта движется по лучу] проходящему через начало координат. При этом точка посл~ довательно попадает то в области устойчивости, то в области неусто чивости.
Как легко видеть, при малом взменении параметра (д мал неустойчивость имеет место прн значениях параметра 1 ;.- 1, 4, 9, . т. е, при отношениях р/еэ = 1/2; 1; 3,'2; 2; 5/2 и т. д. Приближенное определение границ зон устойчивости. Как уж указывалось, границам зон устойчивости соответствуют значения [а -= 1. Следовательно, в этом случае возможны периодические решен уравнения (7.10). При этом период движения должен вдвое превыша период изменения параметра. Такое движение можно разложить в ряд Фурье: х =- а + а, сов 0+ а соз20+ ° + Ь, яп Ь+ 5 яп 20 -[- ° (7.1 Таксам образом, границы зон устойчивости соответствуют тем соч таниям безразмерных коэффициентов, при которых уравнение движе ния имеет решение вида (7.11). Приведем вычисления для случая, когда в системе имеется вязкИ трение; при этом в уравнение движения входит член, пропорциональ~ ный х, и оно может быть приведено к виду г[Ух/40'+ а,дх/50 —,' (1+ 2асоз20)х = О.
(7.1 Для того чтобы приближенно определить границы первой (наиб ганной), области неустойчивости, достаточно в выражении (7.11) лее в'' ' ' 0; удери ', ержать только слагаемые, пропорциональные соьб и яп'; х — — а сов 0+ Ь яп Ь. (7.13) Подставляя это выражение в левую часть уравнения (7.12) и производя одя несложные тригонометрические преобразования, получаем Г(Ь) = а[(1 — 1) созЬ вЂ” емяп0+ д(сов 0+ соз30)]+ -, 'Ь[(! — 1) яп 0+ и,созЬ вЂ” а(яп 0 — япЗЬ)]~0. П!шмсняя метод гармонического баланса, который уже использовался в предыдущем параграфе, приравняем нулю коэффициенты при э!ив и соьв [более строгое выполнение равенства Г(0) = 0 потребовало ы м ета болыпего числа слагаемых в выражении (7.11)].
Получаем а (1 — ! + а) + Ь ., =- О, а ( — а,) + Ь (1 — 1 — а) =- О. Приравнивая нулю определитель системы (7.14), находим условие, при котором возможно равенство (7.13); (1 — !)' — д'+.', = О. (?.15) Иго условие и представляет собой приближенноеуравнениеграниц первой зоны неустойчивости.
При этом неустойчивости сооответствует неравенство / ' На рис. ?.4 показаны рассчитан- ', „оз', / ныс по уравнению (7.15) границы при а~ =- 0 и а~ =0,2. Для сравнеиия штриховой линией показана так- х о ', жс точна я граница при а~ =- 0 по диа- Оо грамме Лйнса-Стретта, Формула (7.15) показывает, что при наличии вязкого йд ~ —— трения параметрический резонанс возможсп только при [д[) аь т. е. при досшточно большом изменении пара- о об (о Ьб до б метр *. При удержании большего числа счагасмых в выражении (7.11) и соотве' с пенно более точном выполнении Равенства Р(Ь) =.= 0 можно уточнить границы первой области неустойчивосзп и рассчитать границы других областей. 4 8 КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ Вводные замечания.
Несмотря на то что все реальные конструкции ~~лаются в той или иной степени нелинейными, большая часть практических расчетов выполняется на основе линейной теории. Как пра- Рис. 8.1 , кпе расчеты приводят к удовлетворительным результатам. Од,;о иногда возникают явления, которые не могут быть объяснены в пнейной теории. К ним относятся, например, наличие нескол!*кпх ,-, х устойчивых режимов вынужденных колебаний, реализация „.вторых ,х зависит от начальных условии; колебания с частотамп, отапкп!ымп ! от частоты возмущения, и т. и. Это делает пеооходпмым правление расчетов на основе нелинейной теории.
Особенно необходимы нелинейные расчеты для существенно нелнпейп«сх с сх систем, таких, как упругие системы с ограничителямн хода, сист истеки с нелинейных!и муфтами и др. В настоящем разделе нелинейные колебания рассмотрены лишь кратко, более полная теория содержится в работах 19, 29, 54). Пн!мерок! упругих элементов с нелинейными характеристиками р!ж являются муфты, показанные на рис. 8.1,а, 6.
В муфте со змеевидной жнной (рис. 8.1,а) с увеличением крутящего момента стальная лента прижимается к зубьям, всвязи с чем длина деформируемой части ее ук!епьнкается и жесткость соответственно повышается. Зависимость персдаваех!ого момента от угла взаимного поворота половин муфты показана на рис. 8.1,в. Аналогичную характеристику имеет и муфта на рис. ис.
8.1,6. Здесь увеличение жесткости достигается благодаря тому, что прн увеличении момента пластинчатые рессоры прижимаются к краям вырезов в полумуфтах. На рис. 8.2,а показана рессора грузового автомобиля с подрессорником. Зависимость прогиба рессоры от нагрузки на нее показана на рис. 8.2,6. При нагрузке Г, меньшей Гс, деформирует- 8) 8) ся только основная рессора, при Г ) Ро в работу вкл!очается также подрессорнпк и жесткость соот- к — к — к вексгвенно увеличивается. Свободные колебания. расс!!отриы простейшую нелинейную систему с од- Рис.
8.8 ной степенью свободы— грзз т на нелинейной пру«кипе. Упругая характеристика пружины, т. с. зависимость усилия Вот сме!пения х, может быть задана аналитически или графически. В зависимости от вида характеристики она называется несимметричной (рнс. 8.3,а) или симметричной (рис. 8.3,6). Если жесткость (дух) возрастаег с увеличением х, как на рис. 8.3,6, характеристика называется «ссс«п«сой, в противном случае (рис, 8.3,8) — ксягксой. 8 '«авнепие свободных колебаний консервативной системы имеет вп; !1ервый П!«!ыпачпв Рис 8.8 спх + Р (х) —.= О.
(8.1) интеграл этого уравнения легко может быть вычислен. х . йь приведем уравнение (8.1) к виду «пук)у/Ах -к- Г [х) .-.= О, откуда к — + ~ Г(х)йх =- С, О где С вЂ” постоянная. Равенство (8.2) выражает закон сохранения энергии; первый чл левой части представляет собой кинетическую энергию, второи - — п тенциальную. Уравнение (8.2) по ~ у-х валяет изобразить фазовый портр движения, т. е. семейство траек рий в координатах х, у (рис. 8.4 Так как уравнение (8.2) чегн относительно у =- х, траекторн симметричны относительно оси В случае симметричной упруго,' характеристики В(х) они симм ричны также и относительно вер Р д 84 калькой оси.
ис. 84 Для определения закона двг4 жения требуется выполнить втор интегрирование: 1 — 112 — — ~С вЂ” ~ Е(х)г)х ~ ) бх(. (8.Я ~ О / В отличие от привычного представления перемещения х в функци(, времени 1 формула (8.3) дает обратную зависимость. В процессе кол бания х то возрастает, то убывает, однако отношение г(х/х всегда пол жительно, поэтому в формулу (8.3) входит абсолютное значение й спользуя формулу (8.3), можно определить период колебани как время, затрачиваемое на полный цикл движения, при котором из брзжающая точка обходит полностью фазовую траекторию. Учитыва симметрию фазовой траектории, находим х С вЂ” ~ Г(х) йх о т=.2 ~ 2 г)х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
