Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При прнло нии к валу крутящего момеггта гй на некотором участке г возника проскальзывание и на э О/г/ участке между валом и вту кой действует равномер распределенный момент с й трения интенсивностью Эпюра моментов по длине сг ~~ ла показана на рис. 4.12, Значение момента /гЛ4 участке, где проскальзыван 6) отсутствует, можно найти ' ,,гг/о условия равенства относител иых углов закручивания ва ° г« И1/(6'/г) .— / 1 /) М/(6 ~о) где 6/г и 6/з — жестко на кручение соответствен вала и втулки. Отсюда й = 6/г/(6/г —, 6./з) . Величину участка пр скальзывания г найдем из у ловия (М вЂ” /гМ)/г = Р, Рис.
4.12 откуда г г = (1 — /з) М/р.. Длина этого участка возрастает прямо пропорционально прилч женному моменту. Угол закручивания всего вала определяется раве~ ством [ где б, — податливость конструкции при условии жесткого скрепле( ния вала со втулкой, ~о (/г/г Е /з)/(6/г) . Таким образом, зависимость угла закручивания от момента при пер[ вичиом нагружении является нелинейной (линия ОА на рис. 4.13 Если после приложения момента М, [при этом г =- г,:= (1 — /:) Мо/о~ р, = а,М, + (! — й)'Мд/(2;6/,Д 36 гмеиынать величину момента, то около края втулки возникает зова г, обратного проскальзывания.
На рис. 4.12,6 показана эпюра крутящих моментов при М -= М„а на рис. 4.12,в — эпюра моментов при разгрузке, когда М ( М,. Из условия, что на участке (го — г,) интеггсггвность момента трения [г, а на участке гз — и, находим М+ [згг = /гМ+ р(го — гг) откуда г, .= (го/2) — [(1 — /г) М/(2й)] . На основании эпюры рис. 4.12,в определяем угол закручинавия вала: '4 =- ооМ -'г- Р (го — 2гг)/(26/г) = = о,М+(1 — /г) (Мо+ + 2ММо — Л1')/(4и6/г) . Рис. 4./3 Зависимость го, М при изменении М от М, до ( — М,) в процессе разгрузки представлена параболой АВС на рис.
4.13. При полной разгрузке (М = О) остаточный угол закручивания зг/ = (1 — /с)' Мо/(4[з6/,) . При,И =.— — Мо гз становится равным г, и эпюра моментов оказывается точно такой же, как н при максимальной нагрузке (см. Рис. 4.12,6), но с измененными знаками моментов.
Поэтому процесс повторной нагрузки не будет, в сущности, отличаться от процесса разгрузки и иа рис. 4.! 3 изобразится параболой С//А, симметричной с АВС. Площадь ограниченной параболами петли гистерезиса, равная рассеянной за цикл энергии, составляет Ж' = 2 ' з/з ' 2Мо ' гзз; = з/з(! й) Мо/(Р6/г) . Отнеся эту величину к максимальной упругой энергии (/ =- 2' —,Мо/2, найдем коэффициент поглощения з[г/ 4/з(1 — /з)'Мо/(Ф/А), который для рассматриваемой системы оказался пропорциональным амплитуде Как рассмотренная выше, так и другие решенные теоретически задачи и копструкционного демпфирования относятся к сильно схематизи ов Рованным системам, Результаты решения этих задач позволяют выяснить туды „ ть принципиальные особенности явления (зависимость з[гот ампли- уды и других факторов).
Однако рассчитать теоретически потери на г"стерсзис в реальных конструкциях, как правило, не удается. В этих случаях щения. у ях пользуются статистическими данными о коэффициенте поглотгзровоч штированной выше работе И. Л. Корчинского приве"ены ариев- * Р очные данные о коэффициенте поглощения б в строительных кон'*рукциях из различных материалов: з/ Стальные нонструкнии Деревянные конструкции Железобетонные конструкции Кирпичная кладка О,!6...0,18 0,30...0,35 0,5 0,25 Ра ! ! («(л ) (! о) ! («-)-!л ) (! а)ч! — е 2т р,! (« — !рз «+ зр! Р, (Р! е ~(Р(созр(!+пыпр,/)1. тра(«г+ р,) Эти цифры включают как потери на внутреннее трение в материале( так и потери на конструкционный гистерезис.
Сравнение этих цифр ~ приведенными выше данными для потерь на внутреннее трение показы1 вает, что для стальных конструкций основную роль играет конструк ционный гистерезнс, тогда как для деревянных и железобетонных кон струкций роль внутреннего трения в материале и потерь в соединени ях примерно одинакова.
Ь 5. Вынужденн ые кОлеБАния систем при ВязкОИ трен Возмущающая сила, изменяющаяся по произвольному закон Зная реакцию системы на единичный импульс (см. формулу (4.13), можно, используя метод наложения, написать выражение для переме( щений первоначально неподвижной системы при воздействии на не~ произвольной силы Р(/)! х = ~ Р(Ь)У(! — Ь) йЬ, о Эта формула отличается от формулы (3.5) для системы без трепи)~ только видом функции У'(/), Подставив значение этой функции из фор~ мулы (4.13), получим х = — ( Р (5) е" з(п р, (! — Ь) йЬ. (5.1 о Формула (5.1) соответствует нулевым начальным условиям.
Вел! надо учесть условия, отличные от нулевых, то к выражению (5.1) еле дует добавить свободные колебания в соответствии с формулой (4.12)( В качестве примера рассмотрим воздействие на систему с вя~ ким трением внезапной нагрузки Р(/) =- ! ° ~ ! . В этом случае 1 (О(!(О) Р (!)О) х = — ' е "' )с е"а 3! п р, (! — Ь) йй тр, о Интеграл удобно вычислить, перейдя к показательной форз( записи тригонометрической функции: Ре " «(! М ! ( (р (! — а) — (р (! — !)) в «3,9! 2! о 38 ! Ьп(тывая что т(п +Р!)=тра=с а Рв/.=х представляет 1, г) собш! статическую деформацию системы силой Р„получаем х/х „= 1 — е «! (соз р(! + (и/р,) сйп рД .
Иа рис. 5.1 показано изменение х/х„при различных значениях затухания в системе, характеризуемого величиной коэффициента и/Р. Рассмотренная задача имеет большое значение в теории регистрирующих приборов с инерционными зле- !с!- ментами (шлейфовые осциллографы, «=о индикаторы и т. п.). Пользуясь гра- р фиком на рис. 5.1, можно установить, — '"рх что необходимое для таких приборов р демпфирование соответствует и/р ж ж 0,75. При меньших значениях демп- — =/ фирования максимальное показание — =475 прибора значительно превышает значение измеряемой величины(при скач- р ! 2 3 л о2 р/ кообразном ее изменении); большее демпфирование приводит к замсдлен- Рис.
5.! ному установлению показаний прибора. Гармоническое возбуждение. Пусть возмущающая сила Р(!) меняется по закону Р(/) Р созе)!. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид х + 2пх -,'- ргх = (Ро/т) созе)й (5.2) Как н в случае консервативной системы, найдем частное решение Уравнения (5,2), описывающее стационарное периодическое движение с периодом возмущающей силы. Движение, зависящее от начальных У~ловий, со временем затухает и не представляет практического инте- Р а.
/!ля отыскания частного решения используем метод комплексных реса. ампл! тельн литуд: введем в рассмотрение комплексную величину х, действи- е 'тьная часть которой совпадает с выражением для смещения Йех, =х. Зав висимость возмущающей силы от времени также представим а комплексной форме Ре(/) =- Р,е' ' так что Р (!) = Ке Ра (!) =- Р, соз о)! . 39 х (- 2пх, + рох = Р,е /т (5. уравн хо = А.е'" . дп (5. Действительная часть решения уравнения совпадает с решением уравнения (5.2), так как коэффициенты ния являются действителы1ыми величинами.
Искомое решение запишем в виде Подставив это выражение в формулу (5.3), получим ( — во+ 2п1в+ ро)Ао — — Ро/т ю откуда определяется номалехснан амплитуда Ро А.= Ф оо (ро — мо -~- 12но) или в показательной форме Ао =Ае ', соо образно вместо п ввести коэффициент поглощения ~.', используя зависимость (4.3!). Тогда о — — сои~ — ~~~ ~-о*о4 ). (5.9) Преимуществом формулы (5.9) является то, что коэффициент динаичности ставится в зависимость от энергетической характеристики где Ро 2пю А= о = агс1д —, (5.
го 1Г(ро — оо)о+ 4по ' р — о' Подставляя значение Ао в формулу (5.4), находим х, = Ае'1~ о1 = А(соз(в/ — о)+(гйп(в/ — р)). 11 Таким образом, действителыюе перемещение х.= Кех = Асов(в1 — 1). (5.7~ Следовательно, величины А и гр в формуле (5.5) представляют собоо соответственно амплитуду колебаний и запаздывание по фазе переме щения по отношению к возмущающей силе.
Комплексная амплитуд~ Ао одновременно характеризует как действительную амплитуду, та1 н фазу колебаний. Поэтому при исследовании колебаний методом ком плзксных амплитуд 'обычно не переходят к тригонометрической запис (см. формулу (5.7)1, ограничиваясь равноправной с ней показательно формой (5.5). Проанализируем формулу (5.6) для амплитуды вынужденных капе~ бзний. Огношение А к так называемой равновесной амплитуде А, =- Ро/с, называемое ноэффи8иентаи динамичности 15, равно ! А 1 (5.й Ао у (1,оо/ро)о Ь 4но,оо1р1 (Заметим, что равновесная амплитуда А, представляет собой статичес~ кую деформацию упругой связи под действием максимальной силь~ /о) Непосредственное определение коэффициента п, характеризующего силы вязкого трения, за~руднительно.
Поэтому в формулу (5.8) целе1 4О г,с г,с обад Рис. 5.2 трения ф, что позволяет использовать зту формулу не только для вязкого трения, но и для других законов трения. Можно также ввести в формулу для коэффициента динамичности логарифмический декремент б, Воспользовавшись приближенной зависимостью (4.25), получим 8 = Й (1 — в'/р')'+ 6/и)'(в/р)'.
(5.10) Из анализа приведенных выше зависимостей следует, что при приближении частоты возмущения в к частоте собственных колебаний р коэффициент динамичности возрастает (рис. 5.2). Максимум амплитуды колебаний достигается приблизительно при в/р = 1; при этом Р,„= 2оо/ор =р ж я/й. (5.11) ь) х „ Кщ ре ар г/ = /щ/т = Ра/(4гкй) (5.13) Рис. 6.З Рис. 6.4 г" раак— 1' 1((2щд) -ь (р/щ)а (5.1 5) 43 ! По аналогии с электрическими системами эта величина называется' иногда добротностью механической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
