Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Уравнения н я движения тся на основе методов, рассматРиваемых в теор механик . Н оретической ненни ва иа ион е. Наиболее общими являкпся методы, основанные на примериационного принципа Гамильтона или уравнений Лагранжа П рода. Для того чтобы воспользоваться этими методами, надо пред тельно д предвариее пот о составить выражения для кинетической энергии Т потенпнальной энергии сг' и виртуальной работы ЬИ«, воздействущенных коо и ющих на систему неконсервативных сил".
Величина сг зази б бкоординат д, системы, а величина Т вЂ” от координат д, и обобщенных скоростей д„= г(д,(г(у. Виртуальная работа может быть представлена в виде й(У = .'), '(у х, г причем обоб е щ нные силы 9„могут зависеть от координат, скоросте времени. коростей и с р~ц гг Ва, гпг лг от и ' н, „з„* ачальиого и кои и р илы — зто силы, работа которых зависит ие тальк ис еч ого состояний системы, ио и от того, кахим образ м о р д д оложеиия к другому. К иекансервативйым силам сходил певехо от о ного п р с прост времени. осятся, в частности, с илы трения и виещиие возмущающие силы, зависящие я обобщенных координат 1),(1) в интервале времени коном изменения ( 1з рассматривается варьированный а границах интервала 1 и 1 координаты не варьи- ( 31),(1), причем н 1 З ются: 1 == 11 1з) 31).
= В. у лено, что при этом выполняется равенство Установлен , и 1 Ят — (1]+ 3(Р)с(1 = О. 1, 'Гак как величины, входящие в подынтегральное выражение фору (1,2), исят от законов изменения во времени обобщенных Ллн координат, о казывается возможным определить эти законы метода вариационного исчи о исчисления. Так, в частности, для каждои изкоординат д,() дол ,(1) жно выполняться дифференциальное уравнение, аналогичное известному т ом из вариационного исчисления уравнению Эйлера д б Г д — (Т-Ц)- — ~ —,(т-(1)~~ -(- (), = О.
адг бг ~ д Учитывая, что потенциальная энергия зависит только от координат и не зависит от скоростей, получаем (1.З) ~ ад, 1 Уравнение (1.3) называется уравнением Лагранжи 11 рода. Чаще всего для вывода уравнений движения упругих систем используют квазистатиче статические способы, основанные на применении принципа Даламбера. В этом случае рассматривают рави' новесие системы с приложенными к ней силами инерции. При этом для составления уравнений динамического равновесия линейно-упругих систем естественно применить метод перемещений 6 или метод сил строительной механики. Рассмотрим некоторые простые примеры со"; ставления уравнений движения механически колебательных систем. Пример !.
Составить дифференциальное уравн ' 6,! ние свободного движения однорадиога жесткого стер ня, шарнирно закрепленного верхним концом и уде живаемого в вертикальном положении спиральной пр жиной(рис.1.3). Стержень находится в поле сил тяж ти. Тпением пренебречь. гр Р е ш е н и е.
Воспользуемся уравнением Лагра жа 11 рода. Положение стержня в любой момент вр мени определкется углом 1р отклонения его от вертнк Рис, 13 ли (система с одной степенью свободы). Кинетическая энергия стержня Т = 1из12, где 1 момент инерции стержня относительно точки подвеса. Потенциальная энергия системы состоит нз двух частей — потенциальн энергии деформации пружины (11 и потенциала силы тяжести (гз1 (11 = с1ра где с — жесткость пружины; потенциал 0 равен произведению веса стерж тя на высоту подъема его цейтра тяжести К (1 — созф): (! = (1 + (1~ = ирз12 + тяй (1 — соь р).
Находим дТ б ' дТл,, ду ( —.) =1гн — =О; ду дг '( ар ) ' др д(1 ду — = ср+ тй)рыл т Подставляя эти величины в уравнение (1.3) и учитыва, Я О по ем уРавнение движения в виде , получа- 1и -1- (с+ тй)Р) р = О. (1.5) Пример 2. Составить уравнение движения несжимаемой жидкости плотностъю р в 11-образной трубке постоянного сечения (рис. 1.4). Трением пренебречь. Рис, 14 Рис. 1.5 Ре е ш е н н е. В состоянии покоя уровень жидкости находится на линии 00. Если Уровень жидкости в правой трубке поднимется на х, то влез " я.
Ри этом потенциальная энергия жидкости в поле сил тяжести увеличится на 0 .= РРихз, где Р— площадь сечения трубки; рРах — вес жидкости, перемещаемой из левой трубки в правую. Кинетическая энергия жидкости, движущейся в трубке со скоростью х, составляет Т вЂ” РР1х'12. Исп спользуя уравнение Лагранжа, получаем рР)х -1- 2рРдх = О. Р .
сеткой направляющей АВ нод действием силы РЯ, напр ПРимер 3. ПО >к ляю ной параллельно АВ, щей закреплен ша н , движется груз массой т (рис. 1. 5). Левый конец напра- авр ° р ирна, правый оперт на пружину жесткостью с. Мом н р виня ции массы пап е т движения си равляющей относительно точки А равен 1. Составить я системы. Весовыми нагрузками пренебречь. уравнекоорди еш ени е. Полож ни е е системы в процессе движения определяется двумя тн гру натами — глом на за от точки А.
С - у клона 1р направляющей и расстоянием х центра тяж с- А. Составим выражение для кинетической энергии: е- Т=- т (хз+ ( )т)!2+1 я12. 1т+ ср+ тй)1 Мп р = О, (1.4) е Ураэнени е легко ПОлучить и иа основе принципа дада м ера, приравнивая нулю сумму моментов относительно точки подвеса сил н р мента ( — с') создаваемого пружиной.
и момента силы тяжести""(" т,)ррз1п',) что дифференциальное УРавнение (!.4) является нелинейным; это за'рудняет его решение Если угол Отклонения ф мал - уравн ин'еи(1,4) можно упРостить, разлагая з1пгр в ряд и учитывая толька пер ы" ка первый член ряда Таким образом мы получим приближенное линейное уравнение, аписыв мадые колебания системы: е, описывающее Потенциальная знергия равна энергии деформации пружины 11 = сйрйе12. (Угол ф предполагается малым.) Элементарная работа силы Р(1) 6йг = Р(1)Ьх.
Имеем: дт , дт . дУ ее ! — = О; (1„= Р (1) дх ' дх дт , ', дт (11 юх,) . Π—,1,; Ое=-о. д ' дг" ' дт Уравнения Лагранжа получают такой виго тх — глхт' = Р (О, (1+ гпх') е -1- 2гпхх е + ппв = О. Эти уравнения легко получить и используя принцип Даламбера. й 2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИ МЫ Я ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕ- В ольшинстве упругих систем п и остат тт б ях сила упр угости линейно зависит от пе еме при достаточно малых перемещениотсчета смещени б яхвы иратьтак,чтоп их = ремещения х.
Если начало Р мы =- сх, где с — коэффициент упругости системы. лебаниях коисе ренциальное авнение виж и движения при свободных косервативной линейной системы имеет вид их+ сх= О (2.1) Вид УРавнения не меняется п и действии на сил (напрн1иер сит истем) постоянных ложения его ст т ) ЕСЛН СМЕ1ЦЕНИЕ тЕЛа ОтСЧИтЫВатЬ От ПО- жения тела массой ( х( вительно, УРавнение двисилы тяжести и совершающ он т см. Рис. 1.1,а), находящегося и под действием его свободные колебания, имеет вид В примерах 1 и 2 рассмотрены системы с одной степенью свободы, в примере 3 — с двумя степенями свободы.
В дальнейшем в пределах ' этой главы рассматриваются колебания систем только с одной степенью свободы. Эти системы наиболее просты, а закономерности, справедливые для них, справедливы и для более сложных систем. Как мы увидим далее, часто задача о колебаниях сложной системы с п степенями свободы может быть сведена к и задачам о колебаниях системы с одной степенью свободы. РЮ Уравнение движения системы с одной степенью свободы включает в общем случае четыре члена — силу р(г) инерции, силу трения, силу упругостии и возмущающую силу. Рассмотрим, например, тело мас Рис.
!.Б сой т (рис. 1.б), которое может пер е) мещаться в заданном направлении удерживается упругой связью. Урав пение движения этого тела имеет вид )р Р+Р(1) = О где х — ускорение груза; )т — сила трения; Р— сила упругост действующая на тело со стороны упругого элемента; Р(1) — возмуща щая сила. Представляет интерес рассмотрение свободных колебаний идеал зированной системы при отсутствии сил трения.
В этом случае Р(1) = О, )т' = О, система изолирована от окружающей среды и запас эней гии в ней постоянен. Такие системы называются консервативнымг4 Для консервативных систем с одной степенью свободы в любой моме~ времени силы инерции уравновешиваются силами упругости. 1О тх=тй — с(х-1-)' ), где ~ет = тй/с — Удлинение п жины от с Следовательно слагаемые Ру и ь1 от илы тЯжести гРУза. ,гсжаются „' " е""*'е ~к с1е, УРавнении (2.2) взаимно унич Уравнение движения одромассовон понсе темы, совершаюп(ей с б рвативиой линейной сис- записывают аналогичн Ру ьные колебания (см Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
