Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 6
Текст из файла (страница 6)
При переходе груз1 в равновесное положение скорость его станет Р,А. Лальнейшее движе1 ние влево определяется жесткостью с,. Крайнего левого положени~ груз достигает через время т,/4 = и/(2ро). Наибольшее смещение вл е) во равно роА/р,. Продолжая рассуждения, находим, что максимальн отклонение вправо в конце полного периода движения вычисляется п формуле А(р,'/р1) и, следовательно, логарифмический декремент 3 =1п(р~/р,) = 1п(с,/со). При малом затухании, когда разность жесткостей с, — с, суще ст венно меньше средней жесткости с„получим (4.
19 оо со — (с, — со) /2 со Характер движения показан на рис. 4.9. Как видно из полученных формул, при силе трения, пропорцио нальной смещению,декремен 4 колебания постоянен и, сле" довательно, точно так же, как и при вязком трении, по-; следовательные амплитуды сол ставляют геометрическук~ прогрессию. Как видно из рис. 4.9, пе-; риод затухающих колебаний где Ро — ' о Р = )~со/т — собственная частота консервативной системы. Тогда р = 2р, ) 1 — йо/4/(!''Т+ 3/2 + )/1 — 3/2 ) . ПРи небольших декРементах это выРажение отличаетсЯ от Ро нз величину второго порядка малости.
Поэтому, подобно вязкому и сухо„,у трению, трение, пропорциональное смещению, практически не влияет на частоту колебаний. Знергетическая оценка сил сопротивления. Рассмотрим один ь,й период затухающих свободных колебаний системы. В начале периода отклонение максимально и равно А„, в конце — также максимально и равно Аь,, Поскольку в рассматриваемых положениях скорость равна нулю, вся энергия системы представляет собой энергию деформации упругой связи: 1/ь = '/осАзо, (/„„= '/о сА~ь+1 .
(4.20) Таким образом, за период рассеивается энергия Уе' = Л(/ = '/о с (А~о — А~о л.~) . (4.21) Если затухание не очень велико, то движение в течение одного периода мало отличается от гармонического колебания со средней амплитудой А = г/о(А„+ А„,Д, которому соответствует средняя энергия (/ =- '/о сА' Преобразуя формулу (4.21),находим Ю = Л(/ =- '/о с(А„+ Амм) (А — Аьм) = САЛА = 2(/ЛА/А, (4.22) где ЛА = Аь — А„„— уменьшение амплитуды колебаний за один период, Уменьшение энергии Л(/, с другой стороны, может быть с высокой ~очностью подсчитано как работа сил сопротивления за один период стационарного колебания с амплитудой А .
Отношение энергии, рассеиваемой за один период гармонического колебания, к максимальной упругой энергии называется ноэффициентоло поглощения или относительным гистерезисом и обозначается ф = Ю/(/. (4.23) В зависимости от природы сил трения величина ф может тем или иным способом зависеть от амплитуды и частоты колебаний. Так как мы рассматриваем затухание свободных колебаний, ф должно подсчитываться при частоте ы, равной частоте р собственных колебаний. С вве- 3! денисм значения ( формула (4.22) приобретает вид гпс1ерезисной петли, имеющей форму эллипса.
Отношение 1Г к макальпой энергии (/ сАз/2 составляет 'ч ф .= паА'ы/(сА'/2) = 2яагв'с = 4апгя/рз . (4.31) Левая часть равенства (4.24) приблизительно равна логарифмич~» ' кому декременту коле ания у колебания 6 (см. формулу (4.9)), поэтому имеется Таки, б а простая связь между и ко ежду б и коэффициентом поглощения гаш спт от амплитуды н прямо пропорционален частоте. Следователь- (4 по, энергетический подход, так же как и 8 ж'/аф !очное решение, приводит к выводу, что э и иент погл анплптУды колебаний при вЯзком тРении х ( пели коэч уициент поглв. и ' не зависит от ампли.
1 убывают по экспоненте то логарифмический Г1о формУле (4.26) находим декремент: туды, то логари мнчески декремент колебания постоя.' (4.32) неп, последовательные амплнтуды составляют геометриче- Это значение декремента практически х скую прогрессию. В этом слу- ~ совпадает с точным 1см.
формулу (4.8)), так чае уравнение огибающей А(1) как (рис. 4.10) имеет вид т, ж т =- 2я/р. т А(!) =А е "' =- А,е !*м!' ~ Заметим, что из фоРмУл (4,3Ц и (4 32) , следует, что при частоте, отличной от рс- (4.26) зонансной (гч ~ р), коэффициент поглоще- ~ пия при вязком трении связан с декремену ние огибающе))можно записать и при произвольной завися-~ том формулой мостй ф (А). Изменение амплитуды ЛА за один период приближенно' ф = 2сы/р.
(4. ЗЗ) форме В качестве второго примера рассмотрим силу сопротивления, про- ЛА =- — тбА/б! порциональную сме1цению (см. Рис. 4.8). В этом случае при полном 4.27",, Если в этом выражении заменить ЛА и заменить ЛА его значением из 'равнен ч нем из уравнений, цикле стационарного колебания с амплитудой А рассеивав я р я 1 изображенная заштрихованной на рис. 4.8 гистерезисной петлей, (4.24), получим К =- (с, — с,) А' . авненне для Огнося 1Р' к максимальной упругой энергии (/ =- соА /2, получим Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение д функции А(!). Переменные здесь разделяются и, интегрируя это урав- ф = К/(/ =- 2 (с, — с.,)/с,, п и начальном условии Аь, = А„находям Так же как и при вязком трении, коэффициент поглощения пе за- 4А 4 28)!( впшп от амплитуды колебаний, но в отличие от вязкого трения ф не !=2т ( Ай (А) 1 зависит и от частоты.
'л чпичеппс декремента прн небольшом затухании В частном случае, если ( не зависит от А, мы приходим к формуле, 6 = ф/2 = (с, — с.,)/с, (4. 26). Ф ы к сл чаю вязкопк с""'сдаст с точным (см форхтулу (410)) Ри вязком 1ренни так и м колебании х -=. Асозы! сила вязкого тре,, трения. Прн гармоническом колебани . (~ ппональпой смещению, относительный гистерезпс не зависит от амп- пня 1с -= цх совершает за один период работу зптуды колебаний. Поэтому в обоих случаях декремепт колебания 1 постоянен и последовательные амплитуды составляют геометрическую — о! =- а ( хаг(! =.
аА~гаа 1 з(панга!б! = ааА~а1. (4.30)г, прогрессию н онер ен 8 ~! (см, Рпс. 4.8 и 4.11), общий характер затухания колебаний в обоих Эга работа изображается площадью заштрихованной на Р ' л( с1Учаях о;юнаков. Па этом основан:и можно установить, что главной ис. 4.1Ц ' 2 — 3(з зз Р=сх' хх Рис. 4.!1 характеристикой трения при колебаниях является коэффициент пог щения, форма же петли гистерезиса второстепенна [34!.
Применим энергетический метод к изучению затухания колебан при сухом трении. В этом случае площадь петли гистерезиса (см. р ) !))7 = 4ЯА, н коэффициент поглощения ф =!(У/(/=4ЯА/(сАа/2) = 8й/(сА) =- 8а/А. (4. В данном случае ( зависит от амплитуды, а следовательно, и ло и мический декремент р ф 3 = ф/2 = 4а/А не является постоянным. По формуле (4.29) находим (= 2 г ) — = 2 г ) — = — (Ае — А) йА 'ОА Ай 8а 4а А А откуда А = Ае 4а!/т.
Таким образом, и в этом случае результат энергетического расч совпадает с точным — амплитуды убывают по линейному закону, пр чем за каждый период т амплитуда уменьшается ва 4а. Формула (4.28) может быть использована для определения зав мости коэффициента поглощения от амплитуды опытным путем. этого, построив огибающую записи затухающих колебаний, ее ди ренцируют н при каждом значении амплитуды определяют ф по фор ле тр(А) = — 2тА ЧА/с(!.
(4 Такой способ определения зависимости ф(А) не может претендо на болыпую точность, так как включает дифференцирование опыт кривой. Потери на внутреннее трение в материале. Конструкцнонный гнет( резис. В связи с несовершенством упругих свойств материала завис( мости между напряжением и деформацией при его нагрузке и разгр ке несколько отличаются друг от друга. При циклической деформац в координатах о, е (или т, у при деформации сдвига) точка, и бражающая напряженное и деформированное состояние, аписы замкнутую кривую — петлю гистерезиса.
Для металлов при напряжениях, меньших предела пропорциона ности, ширина е . ирина петли гистерезиса столь мала, что непосредственное б ю ение большей частью невозможно. Однако энергетическая оц ка внутреннего трения — — относительный гистерезнс ы — может определена из опытов по затуханию свободных колебаний (по форм (4.35)! или другими динамическими методами.
Многочисленные исследования внутреннего трения в металлах с детельствуют о том, что ф не зависит от частоты колебаний, но зази от амплитуды о изменения напряжений. 34 Завис!!у!ости гз(о), полученные при однородном напряженном сос- ояния (т. е. при постоянных по всему объему детали напряжениях), „,огут быть пересчитаны и для деталей, напряженное состояние кото- аых неоднородно. Для этого определяют поглощение энергии 1(У за „икл деформации во всем объеме )г детали: ))У.= ~ ф(а) —" с/1г, 2Е где а — величина напряжения в данной точке детали. Коэффициент поглощения для детали в целом определяется как отнопгение )уу к максимальной упругой энергии: (/ = ~ — аУ. Приведенные выше форму ты записаны для одноосного напряженно , го состояния.
Не представляет труда написать аналогичные формулы для чистого сдвига, а также обобщить нх на случай сложного напряженного состояния (401. Следует отметить, что для металлических конструкций расчеты внутреннего трения в материале имеют небольшое значение, так как это трение мало и обычно во много раз перекрывается потерями на трение в сочленениях деталей — так называемым конструкциопным гистерезисом. Даже в специальных установках для изучения внутреннего трения , трудно исключить копструкционный гистерезис так, чтобы он не влиял на результаты опытов.
В этом одна из причин больших расхождений в величинах 6(о), полученных для одинаковых материалов различными экспериментаторами. Значительно большее значение, чем для металлов, внутреннее трение имеет для высокомолекулярных материалов - — разного рода пластмасс н резины. Для этих материалов ф мало зависит от амплитуды напряжений, но существенно зависит от температуры и в некоторых диапазонах — от частоты колебаний.
Величина ы для полимеров много больше, чем для металлов. Так, например, для наполненных резин 0 имеет порядок 0,1...1,0, что приблнзгпельно в 100 раз превышает значения ф, характерные для сталей. 1)ижс приведены* ориентировочные значения коэффициентов поглои!ения 6 различных материалов при амплитуде деформации сдвига у — 0,001: 35 Гтат| разтичных чарок О О! 0 02 Чугун серый..............
0,23 Мель .,........, ...... О,ЗЗ Латун~............. 0,01 е( !1икель........ 0,03 Пробка................ 0,04 '1ереао............ 0,07...0, !4 Бетон ........, ..... 0,2Г> Железобетон . . . . . . . . . 0,25 Пи: 1( о р ч и и с к и й И. Л. Расчет строительных конструкиий на "браииои го .; рузкч М С рой злат !948 1' В качестве простейшего примера конструкционного гистерезпса р смотрим знакопеременное кручение вала с напрессованной,на н ' втулкой (рис. 4.12,а). При повороте втулки на валу возникают си трения, интенсивность которых зависит от натяга. Обозначим предел ный момент сил трения на единицу длины вала через Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
