Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 5
Текст из файла (страница 5)
(3.18)~ с (1 — ьо/ро) с (1 — 4шо/ро) Амплитуда колебаний стремится к бесконечности прп обращении в нуль знаменателя любого члена ряда, т. е, при в =-- /к в == р/2; в =- р/3 и т, д. Таким образом, при негармоническом периодическом возбуждении резонанс возникает, когда частота любой й-й гармоники совпадает собственной частотой колебаний системы: йв = р (й =- 1, 2, 3, ... ) . г!е обязательно, конечно, осуществляются все резонансы. В раз-' ложении силы Р(/) в ряд Фурье некоторые коэффициенты могут ока-, заться равными нулю; соответствующих гармоник не будет и в выражении для х. Решение задачи о колебаниях под действием произвольной периодической нагрузки с помощью рядов Фурье целесообразно для выявления условий резонанса.
В случае, если нас интересует закон стационарного движения, це-, лесообразен другой путь решения. Предположим, что нагрузка, дей-' тзующая на систему, меняется по некоторому периодическому закону (рис 3.10). Выбрав произвольно начало отсчета времени, рассмотрим движение в течение одного периода 9 возмущающей силы. Общее решение уравнения движения можно записать в форме (3.6): л =- хосоьр1 + хо — 5!пр/+ — ~ Р(9) ып р (1 — 9) с[9. 1 1 Р шр о Смещение х, и скорость х, в начале отсчета времени определяются яз условий периодичности движения: (3.19) хс=о = хо ° хо=о = хо Подставляя в эти условия выражение для х, получаем: х,(1 — соьр0) — х, — япр0 = В„ 1 Р (3.20) хор ыпр0+ хо(1 соьРО) = Во 1 где В,= — ~ Р(9)япр(0 — 9)09, ир о В, =- — ( Р(9) соьр(0 — 9) с[9.
м / о Решая систему уравнений (3.20), определяем л, и х,: х, =- '/, [В, + (В,/Р) с10 (РО/2)); (3.21) (3.22) о о В, = ! пп — ~ Р (9) с о 5 р (Π— 9) 1[9 = — ! 1гп ( Р (9) 69 = — . ..+О т 1+о со Π— с о — е 23 хо = '/, [В, — В, р с1д (р0/2)1. Подстановка значений х, и х, в общее выражение для х позволяет определить в замкнутой форме закон движения за период 0 ~ / ~ О.
Как видно из формул (3.22), хо и х, обращаются в бесконечность при яп(р9/2) = — О, т. е. если р0 = 2йя. Таким образом, этот путь решения приводит к тому же условию резонанса, что и разложение возмущающей силы в ряд Фурье. В качестве примера рассмотрим поведение упругой одномассовой системы при действии периодических импульсов. Установив начало отсчета времени сразу после очередного импульса, так что следующий огошульс величиной / воздействует в самом конце рассматриваемого периода при / = 9 — е(з -~ О), найдем: В, =- 1пп — ( Р (9) ь!п р (Π— 9) с[9 = О, 1 е-~о мр (4.
4) (4.5) По формулам (3.22) находим смещение и скорость при Т = О ре Хо С~К 2 Хо 2т 2 2т р Поскольку на протяжении всего периода О « / «О — е возмущающая сила отсутствует, урав- р пение движения имеет вид Тогда решение уравнения (4.2) будет определяться формулой х = е "'(С,созрр/+ С,51прр/) пли х = Ае "' соз (ррг -Е а), где А = )/ С|+ Сз .
1д Е = — Со/Сг. Х Хо СО5 РГ + — 5|П Р/ = 0 е еа зе г ро р = — 1с1я — созр/+ сйп рг1 Риа 3.// 2тр1 2 (О < / < О). (3.23) Движение в другие периоды времени определяется условиямипериодичности. Характер движения при О ( л/р показан на рис. 3.11. й 4. ЗАТУХАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ Вязкое трение. Рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом трения, Уравнение движения имеет вид тх+сх+Я = О Зависимость силы трения Я от смещения или скорости движения определяется физической природой трения, Наиболее простым случаем ' является так называемое вязкое трение, когда сила трения пропорциональна скорости движения: Я =- ах. Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, возникает, например, в гидравлических амортизаторах, работающих при ламинарном режиме течения жидкости, успокоителях колебаний, основанных на действии токов Фуко, и других технических устройствах.
В этом случае х + 2лх + р'х =- О, (4.2) л = а/(2т), ро =- с/т. По правилу решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравне-, ние | 52 + 2ле + р' =- О, откуда при р', ббльшем л 5-= — Л ~| )Р Р' — Л' . Обозначим (4. 3) 1/ оо ло 24 Следовательно, при наличии вязкого трения движение груза описывается непериодическим законом, представленным графически на рис. 4 1.
Однако часто это движение называют периодическими затухающими коле- ~ А„ баниями, несмотря на неточ- Г ) 2 Х А -оГ вость такого названия. Под А периодом т, этих колебаний понимают время между двумя О макснмальными смещениями. ,-2.2р,=2.Р~ р - Ае-л/ Рис. 4Л (4.6) Величину р, называют соответственно угловой частотой затухающих колебаний. Отношение двух последовательных максимальных отклонений Аю А„,, составляет Ад/Ад+, — — е" ' (4.7) Таким образом, последовательные максимальные отклонения системы от равновесного положения представляют собой члены геометрической прогрессии со знаменателем, равным е "". Чаще рассматривают не отношение двух последовательных отклонений, а логарифм этого отношения, который называют логарифмическим декрементом колебания: В = 1п (Ад/Ад„) = л:о (4.8) В металлоконструкциях, где нет специально введенных элементов трения, логарифмический декремент составляет обычно от нескольких сотых до десятых долей единицы.
Если колебания затухают медленно и отношение двух последовательных отклонений Ад/Ад,| близко к единице, то 3=1п — "=1п ж— (4. 9) Ад+2 А — ЬА/2 А (АА = А|,— Ад,|, А = (А|, + Ад„)/2). Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за период т, к амплитуде А.
25 (4.10) !' связь между то тх+ сх + !сс зпп х = О. (4.15) Рис. 4.2 ~ м»ся л (4. 12) Рис, 4Л Рис. 4.3 х,=-А, х,=О. (4.16) (4. 14) тх + сх -+ Н» = О, тх+сх — 1«с = О, Так как логарифмический декремент колебания В =-пт, =-2 и/р, = 2пп/7 р' — и', и' =- ри ('/, й/я)«11+ ('/. 6/я)') ' Подставив это значение и' в формулу (4.3), установим р», р и 6: р, = ~/ р« — и' =- р/)с'!+и'/(2я)' (4.11) Из формулы (4.11) видно, что даже при значительном затухании частота р, затухающих колебаний мало отличается от частоты р собственных колебаний соответствующей консервативной системы.
Так, например, при сравнительно большом затухании, когда каждый следующий размах вдвое меньше предыдущего (6 == 1п2 =-. 0,693), частота р, лишь на 0,6'» меньше, чем р. Таким образом, можно считать, что трение не влияет на частоту колебаний и р, ж р. Определим постоянные интегрирования в уравнении затухающих колебаний (4.4). Обозначив смещение и скорость в начальный момент времени Г =- 0 соответственно через х, и х„ найдем х.
=- С», х« — — — С»и+ С«р». С, = х,; С» = (х, + пхс) /' р» и выражение для смещения, удовлетворяющее начальным условиям имеет внд — » х =- е "'(хс сов Р»1+ (х, + их) Р, з»п Р»»). Заметим, что если движение вызвано импульсом силы /, приложенным к неподвижной системе при / = О, то возникает начальная » скорость хс =- //т и смещения изменяются по закону х =(з/(тр»))е "'з!пр»1. Полагая в этой формуле / = 1, находим реакцию на единичную импульсную нагрузку системы с трепнем, пропорциональным скорости: 1'(1) = (тр,)»е "'яп р,1.
(4. 13) Сухое трение. Рассмотр»»м движение упруго закрепленного груза массой т по шероховатой поверхности (рис. 4.2). Сила трения, действующая на груз, постоянна по величине и направлена против движения. Уравнение свободных колебаний такой системы имеет вид где знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость 2Б ложительна, а знак минус — этапу движения, на котором скорость ицательна. Зависимость от х полной действующей на груз силы с == сх »- йс показана на рис. 4.3. Запишем уравнение (4.14) в форме Функция зяп х (читается: «знак х» или «сигнум х») есть единичная функция, имеющая знак аргумента (рис. 4.4). При х) Оздпх == 1, при х(Озяп х= — 1, при х —.— 0 принимают зпп х= О. Уравнение (4.15) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее мы легко найдем решение этого уравнения, рассмотрев последовательные интервалы движения, на каждом из которых знак скорости постоянен.
Отклоним груз в крайнее правое положение на величину А и отпустим его без начальной скорости. В этом случае Под действием натяжения пружины на первом этапе груз двигается влево(х с 0) и уравнение движения будет или с Учетом обозначений с'т — Ри и )си )с = а х + р'х = р'а. (4 1 Коэффициент а представляет собой отклонение груза под действн максимально возможной силы трения. При отклонении груза на вел чину, меньшую или равную движение не начнется, так А силы упругости пружины нц~ Х-эи статочно для преодоления с~» трения (полоса — а ( х ( а и4 и— зывается зоной застоя), Поэта» -и --; — — — — — — — — — — г уравнение(4Л7) имеет место п~ А ) а, Общее решение уравй х-ва ния (4.!7) имеет вид Рис. 4.6 х =- а + С, соз р! + С, з!и р!.
Определяя постоянные щ' начальных условии (4.1б), получаем ! х =- а-, '(А — а)совр!. (4.1 Закон движения (4.18) справедлив, пока х ( О, Так как х = — — р(А — а) сйп р(, то скорость движения будет отрицательной до момента времени 4~', определяемого из условия р!г =-- и. В этот момент груз остановится. Смещение его й х = а+(А — а) созя = = — (А — 2а). ! Под влиянием трения отклонение груза уменьшилось по абсолютной величине на 2а. После остановки груз начнет двигаться вправо.
Повторяя приведенные выше расчеты, можно показать, что движение слева направо также продолжается в течение времени пlр. Максимальное отклонение вправо равно А — 4а. Процесс движения про- Рис. 4.6 должается до тех пор, пока груз не остановится в зоне застоя. Зависимость смещения от времени на каждом этапе движения представляет собой косинусоиду, смещенную по оси х на величину+ аили — а, с амплитудой, уменьшающейся по закону арифметической прогрессии (рис, 4.5). 28 емя ме между двумя соседними максимумахш отклонения, которое ус, ожно назвать периодом движения, ловко и = =- 2н7р. Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.
фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим трением предста дставлен на рис. 4.б. В координатах х, х/р гармонический закон движеп ж ппя изображается дугами окружности. Если в уравнение (4.17) ввести новую переменную (х — а), то получится уравнение гармонических ских колебаний без трения. Это движение на фазовой плоскости изображается полуокружностью радиусом (А — а) с центром в точке („,— а) На втором этапе движения, когда х ) О, уравнение движения х+ рэх =- — р'а может рассматриваться как уравнение гармонических колебаний со смещением (х; а).
На фазовой плоскости ва втором этапе движения получаем полуокружность с центром в точке (х =- — а). И так 'до тех пор, пока кривая при х =- О не попадет в зону застоя --а < х < < а. Сила трения, пропорциональная смещению (позиционное трение). рассмотрим систему, состоящую из груза массой т, закрепленного на Рис. 4.8 Рии 4.7 Рессоре, листы которой собраны без предварительного натяга (рис. 4 7). Сила трения листов рессоры друг о друга пропорциональна контактному давлению, которое в свою очередь пропорционально смещению, Зависимость между реакцией рессоры, действ)тощей на груз, и ~мещением груза для рассматриваемой системы представлена на рис.
4.я 8. Обозначим с, — жесткость системы при увеличении смещения х 29 т = 2т,/4 + 2т,/4 = = "(1/Ро + 1/Ро) ° Соответствующая этому периоду угловая частота 2 ЧР~ + 1'Ро гг,~~г, о о Ф 4 Рис. 4.9 2о Р=— Заметим, что +' )=о 1,' 14.— ~ 30 по модулю; с, -- жесткость при уменьшении абсолютного значен смещения; с, 1/2 (с, + с,) — жесткость упругого элемента сн темы при отсутствии трения. На каждой четверти периода характери тика системы прямолинейна, поэтому движение массон описывает синусоидой.
При переходе через равновесное положение меняется ча тота собственных колебаний от ро — 1/с /т до ро = )/с1/гп. Отклони груз в крайнее правое положение на величину А; скорость движени его в этот момент хо — О. Если груз отпустить, то он начнет двигатьс) влево под действием силы упругости, уменьшенной на величину си( трения. Частота собственных колебаний груза будет р„а время двой' жения до равновесного положения то/4 = и/(2ро).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
