Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 4
Текст из файла (страница 4)
3 4,а) задан формулой Р(1) ==- йй Если эта нагрузка прикладывается к неподвижной и недеформированной системе, лг то перемещения определяются формулой (3.7) г У.(1) == ('(! — О)1 (9)89 о' для функции, которую можно назвать реакйиейсистгилг на линейно оозрасгпаюигую нагрузку. р рование по частям, нетрудно установить связь Вьиолняя интег и 1 фУнкции Уо(!) с фУнкцией 1' (1): о, г 1'г (!) == ( (! — 9) !'(О) б О = ' (! — 9) ~ !'(Ог) б О ~ + ) о о 1о о — ( ( У(О,) г(9„89 = ~ У, (О)бй. у о' о Итак, реаю ии л , р 1 .
инейной системы на единичный импульс !У(1)), у,',( )) и на линейно возрастающую нана внезапно приложенн ю ',У ! ку ( о(1)) связаны зависимостями г У,(!) = ~'Ь (9)бО, Уо(1) =- !'У,19) бО. (3.11) о о ! В частном сл ч . учае системы, представленной на рнс. 3.1, Уо(1).- 1,' о lгт" -= 1 —,( — созрО)89= — 1! — — зтр!). (3.1о1 тро ( Р Перемещения, вызываемые силой Р(/) =- /е!, определяются при этом выражением х = /еУ (/) = /т!/(трз) [1 — О!п р//(р!)] —..— Р (/) с ' [1 — з[п р//(рО)].
Здесь первое слагаемое соответствует статическому перемещению, про-, порциональному приложенной в данный момент нагрузке, второе сла- ' гаемое отражает влияние колебаний. Графык изменения перемещений ] показан на рис. 3.4,6. Выражение частного решения уравнения движения через реакции системы на внезапно приложенную и линейно возрастающую нагруза) р р, 0 й ро Р(0),, лю о,| ] Рис. 3.Б Рис. Дб ки.
Наряду с формулами (3.5) и (3.7), в которые входит реакция сис- ! "темы на единичный импульс, закон вынужденного движения можно, также выразить через функции Ую(/) нли Уз(/). Произвольную нагрузку Р(!) можно представить не только как последовательность импульсов, но и как последовательность внезапно приложенных постоянных| нагрузок(рис. 3.5).
В момент времени ! ==- 0 прикладывается началь-'! ная нагрузка Р(0), а в момент Ь вЂ” бесконечно малая нагрузка бР = ~ = Р(Ь)г]Ь (Р— скорость роста нагрузки). Используя реакцию систе-., мы на внезапно приложенную нагрузку У, и суммируя эффект всех, ранее приложенных нагрузок, получаем в момен~ времени ! ! х(/) =--Р(0)У,(/)+ ~Р(Ь)У,(! — Ь)г[Ь. (3.13а), о Нетрудно убедиться в том, что наряду с формулами (3.5), (3.13а)~ справедлива и формула х (/) = Р (О) У, (!) + Р (О) У, (/) + ~ Р (Ь) Уз (/ — Ь) г]Ь, (3.
136) ~ а в которой смещение выражается через реакцию системы на линейно возрастающую нагрузку. ! Формулы (3.13а) и (3.136) можно получить путем интегрирования по частям выражений (3.5) или (3.7) с учетом того, что функции У, Ул, и Уз связаны между собой зависимостями (3.11). Пр"велел' два простых примера использования функц й у,(/) у„(/) для расчета переходных процессов в линейной системе с одной степенью свободы.
! Постоянная сила Ро воздействует на систем в течение нремени О</< 0(рис. Зба). 3акон изменения нагрузки представим как внезапное приложение силы Р, грп /;.—. О н внезапное приложение отрицательной силы — Ро при / = О (рнс. З,б,б). Первая из этих нагрузок (при / ) О) вызовет перемещение хю = /'о!'ю (О з вторая (прн Г ) 0) хю =- — /',!' 0 — 0), где У,(/) =с '(! — созр!1 — реакция системы на единичную нагру Таки.
образом, полное перемещение, вызванное обеими нагр л м — зку. вит; прн О ~ / ~ 0 а рузками, соста- х аю = 2Рос ' Мп !РО/2) == х„2а!п (рО/21. 2.Нагрузка возрастает от нУля до Ро в течение врелюени 0 и затем сохраняет постоянное значение [рнс.37а). |-! агрузку рассматривают как сочетание двбтх линейно возрастающих: Рт = — Рс//, прикладываемой начиная с / = О, , = — Ро[/ — О)/О, прнкладываемой начиная с / = О (рис. 3.7,0). Соответствсшю при О ~ / ~ О х =- [Ро/В] Уз (/) =- Ро (трой) л [р/ — Мп р/), при /о В Рис.
З.У х = [Р /В] [У [/) — У (/ — В)] .= Р, (тр'В) л [РΠ— зш р/+ яп р (à — О)]. Последнюю д юю формулу представим в виде х = х, [! — 2 соз р (/ — В/2) ып (РО|2)ПРО)]. между Второе слагаемое в ц я динамическим и стат ицы величина рямых скобках представляет собой отношение раза 'ическнм перемещениями к статическому. Максимальеличина этого отношения составляет [(» хст)/хст]оюаю = 2 Мп (рО/2)/!РО)! она тем м аом собств меньше, чем больше в елюя в венных колебаний.
р возрастания нагрузки в сравнении с перно Рй " =-Роуз (О =- Рюс ' [! — соя рй, при /) В х = Рок! (/) — Роуз (! — О) =. Р с ' [соз р (/ — 0) — соз р/] = =- 2Р,а ю ип (РО/2) з|п р (/ — О/2). т полученных фор~ул видно, что если время приложения нагрузки О и евышает половину пеРиода собственных колебани" (О> „' ), т мещения хоююю == 2рю/с — 2х, достигается ний л'р, то максимум пе ееще во нремя действия нагрузки; если а р время действия нагрузки меньше Голу- периода собственных колебаний, то мак- ' Р ю симальное перемещение достигается уже после прекращения девствия нагрузки. В этом случае О В приведенны р х простых задачах можно было получить результат и не пользуясь методом ом наложения, однако при расчете пест ц робла а- иых процессов в ол б ее сложных линейных системах этот метод, дчительными преимуществами.
ет значи Га маническае воз уждение. ов П едение линейной системы без Р е 1 трения пр ри гармонической возмущающей сил ! Р(г) = Р»созв(, авнени- где в — углов ая частота изменения нагрузки, описывается уравнени- ем движения х + р'х = (Р,(т) соз вй (3.14) Решение этого ур равнения можно получить, вычислив интеграл в 1 о муле( .
) при у 3.6) Р(Ь) = Р соя»Ь. Полученное в результате в р б сумму колебаний с частотами р н в. Сл в. Слагае- ' ие представляет со ой с .олебаний, зависят от мыс, изменяющиеся с частотой собственных кол аний р, о й со в еменем, В реальных систеь стемах свободные колебания с частотой р р . з вися не от,' затухают и через нек отаров время устанавливаются не а щ . ения в.
начальных условий ста ционариые колебания с частотой возмущ Решение уравнения ( . ), отвеч ю (3.14), ечающее таким стационарным колеба- ниям, представим в виде (3. 15) х =- Асозв1. Подставляя это выражение в уравне ( . ), ние (3.14), получаем Р» — в'А соя в( + р'А савв( = — созвг', откуда амплитуда вынужденных колебаний — 3.16)! А = Р»/(т (рз — »Р)) = А»й, где А, = Рр (тр ) =-, с— рЦ ') =- Р ( — равновесная амплитуда, равная стати-; Р; 6 == (1— ческой деформации у ру п гой связи амплитудной силой Р;, 6 == ( — вЧрз) ' — коэффициент усиления коле анин в связ пастью системы ( эфф ь (коэффициент динамичности).
частоты изменения возмуща Коэффициент 6 зависит от отношения частоты л к частоте собственных колебаний системы, та зависи ис 3 6 Отрицательные значения масть графически представлена на рис... тр истемгя происходят в противофазе с воз означают, что колебания сист р б лкп ные зна1 щающей силой, поэтому практическое з~ 1ачение имеют а со чения этого коэффициента. тате собственных' калебани~ .
При частоте возмущения, равной частоте со ств н баний ст емится к бесконеч, ия п оисходят с со с системы, амплитуда вынужденных колебан " Р насти. Это объясняется тем, чта если колебан р а ешиваются силами инер венной частотой, то силы упругости уравнаве ции при любом значении амплитуды колебани". ий. Внешняя возмуща щая сила оказывается неуравновешенной. Таким образом, в случае резонанса сделанное доп щ опу ение о возмо ности рассматривать стационарные колебания является необоснован„ым п, чтобы изучить процесс развития колебаний, нужно рассмотреть решение уравнения движения в форме (3.6).
Так как при резонансе в = р и Р(1) == Р»сазр1, получим (начальпыс условия предполагаются пулевыми) гд г,ог Ьо о йю 1о Гд го до до Р Рис. ЗЯ Рис. З.О с х(Х) = — ' ~ сов рЬ яп р(г — Ь) с$Ь = рт о 1 » — — япрг ( саз»рЬбй — саар» ( созрЬ япрЬЬЭ, ,= — 'гяпрй Как видно из полученной формулы, колебания при резонансе не являются гармоническими, а размахи их растут пропорционально вре- р ф к движения показан на рис. 3.9. Конечно, безграничное нарастание колебаний возможно лишь в рассматриваемой идеализированной линейной системе при отсутствии потерь. В реальных системах наличие пот ерь и проявление нелинейности при достаточно больших размахах ко.
лебаний приводит к ограничению амплитуд. Но и в реаль- ных механиче ских системах коэффициенты динамичности при резонансе оказывают ся настолько большими, что работа при режимах, близких ь Резонансному, как правило, недопустима. Нега мани ла, действ ю р ческае периодическое возбуждение. Пусть внешняя си"Ропзвольном , у щая на одномассовую систему, изменяется по некоторому , у, но периодическому закону (рис. 3.10) с периодом 9. В этом случае вынужденные установившиеся колебания могут быт1[ рассчитаны двумя способами. Наиболее простой метод расчета состои~ в том, что периодическая внешняя нагрузка представляется в виде ря~ да Фурье РЯ = а, + а, соьв( + а, соь 2в/+... + + Ь, ып в/ + Ь, ып 2оо/ + ° ° °, (3.!79 Р; где в — частота, соответствующа периоду 9 возмущающей силы, в = 2я/О.
в Коэффициенты разложения опре[ деляются по известным формулам1 теории рядов Фурье: о о а„= — 1 РЯо[/, ах= — ~ Р(1)соьйвй[с, о о Ьо = — 1 Р (/) яп Ьой)/. -о о Смещение груза от действия силы РЯ, представленной в виде рядн~ (3.17), на основе принципа независимости действия сил равно сумме! смещений, вызванных каждым из членов ряда и определяемых по фор[ мулам (3.16) и (3.16): х = — —" + ' соьв/+ ' соь2в/+ ° ° ° + с с (1 — со/ро) с (1 — 4ьо/ро) 1 5[п в( -1- ' яп 2в( +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
