Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 18
Текст из файла (страница 18)
12.2,а. Аналогично строим эпюру при второй форме колебаний (рнс. 12.2,5). Легко проверить, что эпюры Мд н Мз ортогональ- ны. Теперь момент в любом сечении подсчитываем по формуле Мя,„= Ч,(1)М,— Ч,(1) М,. В частности, в заделке Ма,„= 0,354(идр) Мир | 2,22Еу/Р— 0,101(и/рд) я!ярд(. 4,64Ея/|я = = иЕЛ/(Рд!д) (0,785 ми Р,/ — 0,469 Я|п Рдг). Так как частоты р, и рг несоизмеримы, возможно совпадение максимальных значений первого и второго слагаемых в скобках. Тогда Ммад = 1,254РЕ7 /(/дд/Я) Матричная форма основных уравнений. Для линейной системы с произвольным числом степеней свободы весьма удобной и компактной является матричная запись основных уравнений.
Составим матрицы- столбцы (векторы): Здесь х; — перемещения, определяющие положения всех масс системы, Р; — - силы, которые при статическом действии на систему вызывают перемещения х; (сила Р, соответствует перемещению х;). ]) линейной системе векторы х и Р связаны зависимостями Р=рх, х=оР, (12. 18) где г и 6 — квадратные (и х и) матрицы жесткости и податливости. Потенциальная энергия системы определяется половиной скалярного произведения векторов х и Р, что можно записать в виде и==- /вхР, где х' =- (хп х„..., ха) — матрица-строка (транспснированный пек- тор х). Подставляя сюда выражение Р через х, получаем (/ = '/2 х'гх. (12. 19) ( Формула (12.19) представляет собой матричную форму зависимости .; (10.3).
Кинетическая энергия системы выражается аналогичной зависимостью от скоростей Т ='/зх'тх, (12. 20) где т — матрица массы системы. Формула (12.20) соответствует зависимости (10.4). Уравнения движения (10.б) в матричной форме записываются так тх-,- гх=Р, (12.21) где Р— матрица-столбец возмущающсх сил (12. 22) Умножая матричное уравнение (12.21) слева на матрицу податливости В и учитывая, что Вг = Е (единичная матрица), приведем его к виду Втх —,'- х = ВР.
(12. 23) Уравнение (12.23) соответствует запися уравнений движения в обратной форме. Свободные колебания системы определяются однородными уравне- ниями (!2.24) тх+гх=О Втх+ х = О. или (12.25) Решение этих уравнений отыскивается в виде (12. 2б) х = и сов(р/+ с), и, из где и =- — вектор амплитудных перемещений. и„ После подстановки в уравнения (12.24) или (12.25) получаем матричные уравнения, которым должен удовлетворять вектор и: (г — рзт) и =- 0 (12.27) (Вт — (\/рз) Е) и =- О.
(12.28) 1ОО Так как эти уравнения линейные и однородные, онн могут иметь нетривнальные решения только в том случае, если их определители равны нулю. Отсюда получаем две равноправные формы записи частотного уравнения: де((г — р'т) =- О, бе((Вт — (1/р')Е) = О. (12.29) Последнее уравнение показывает, что обратные квадраты частот являются собственными числами квадратной (и х п) матрицы А = Вт.
Алгебраические уравнения (12.29) имеют и корней рз. Каждому значению рз соответствует собственный вектор иы определяющий й-ю форму колебаний. Можно указать следующий общий способ определения векторов ид (форм собственных колебаний). Обозначим символом А,(рз) матрицу коэффициентов уравнений (12.27) пли (12.28): А,(р') = г — р'т или А,(р') =- Вт — (1/р') Е (12.30) н рассмотрим тождество А(р') АГ '(р') == Е. (12.31) где Аз ~ (р') — матрица, обратная А,(р') . Как известно, обратная матрица определяется формулой А-,'(р') = С(р )/А(р'), (12.32) где Л (р') — определитель, составленный из элементов матрицы А,(рз); С (р') — присоединенная матрица, получаемая из матрицы А,(р') заменой каждого элемента его алгебранческим дополнением в определителе Л (р') и последующим транспонированием.
Так, например, если а„а,з асз Аз а22 азз азз ам аз 2 а„ то '(а„аз,— а„а.„) * * С = (аз2азз — амазз) (а„а„— а„а„) где показаны только элементы первого столбца. Подставив значение А~ '(р') из равенства (12.32) в (12.31), получим А (рз) С(рз) . А(рг)Е Если принять в полученном равенстве частоту равной собственной частоте р„, получим А,(рз) С(рз) =- О, (12.33) так как собственные частоты являются корнями уравнения Л (р') = О.
$0! г ид — рдтид = О, 2 (12.34) Бтид — (1/рд) и„= О. Соотношения ортогональности следуют из симметрии матриц жесткости и массы, На этом основании для двух собственных векторов ид и и! выполняется равенство т т идги, = и!гид. Заменяя здесь в соответствии с первым тождеством (12.34) Ри! = 2 з = ргти, и гид = ретив, приводим равенство к виду З т 2 т рг идти! =- р„игти„. Но в связи с симметрией матрицы масс идти, = игти„и при ргчьрд получаем условие ортогональности в виде идти, = О, (12.35) что является матричной формулировкой условия (12.1).
Заменяя здесь ти, = р! згин приходим к формулировке условия ортогональности (12.36) идги, =-- 0 (рг~ рд), совпадающей с условием (12.2). Главные координаты вводятся зависимостью з х = '~~ ?) (1) ид. ддм (12.37) Обращение этой зависимости достигается умножением левой и правой частей на матрицу-строку и'„т слева. Тогда в правой части остается (в связи с условием ортогональности (12.35)1 лишь одно слагаемое и, следовательно, т ззод = — идтид. идтх =- г)дй)(д, (12.38) !02 Справа в равенстве (12.33) стоит нулевая матрица, т. е.
матри . 1 ца, все элементы которой равны нулю. Поэтому произведение мат. ' рицы А,(р'„) на каждый из столбцов матрицы С(рд~) равно нулю и, ' значит, любой из этих столбцов удовлетворяет уравнениям (!2,27) (12.28) при р — — рд и может быть принят за столбец ид. Таким образом, для определения формы собственных колебаний, соответствующей частоте рю следует подставить эту частоту в элементы матрицы А,(р') !см. формулы (12.30)) и вычислить один из столбцов присоединенной к А,(р') матрицы. Этот столбец (если он не нулевой) и может быть принят за ид.
Подстановка р =- рд, и = ив обращает уравнения (12.27) и (12.28) в тождества: Эти зависимости не отличаются от зависимостей,(12.7). Выражения (12.9) и (12,!0) кинетической и потенциальной энергии получаются непосредственно в результате подстановки разложения (12.37) в формулы (12.19) и (12.20) с учетом соотношений ортогональности (12.35) и (12.36). й 13. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ у — ! б) и, аг (13.П из = гпр Щ?гг+ гпР панга+ "гР пзззл. Определяя коэффициенты влияния, находим: 28 1з 39 1з ° =о =- — —; Ьз=Ьм=дм=— 3888 Еу 3888 ЕЯ 17 1з .
1 ?з 3888 ЕУ ' 'г 48 Еу Обозначим для сокращения ЕУ 3888 —, = з. гл 1 г Р г Тогда уравнения (13. 1) можно записать в виде тп, = 42 иг+ 39 из, (13.2) зпг= 78 из+ 81 из. 103 Учет симметрии. Для систем, имеющих плоскость симметрии, формы свободных колебаний делятся на симметричные и кососимметричные относительно этой плоскости. Для сокращения вычислений и понижения степени характеристического уравнения целесообразно рассматривать эти виды колебаний Р отдельно. Покажем это на числовом примере. Найти частоты и формы собственных колебаний балки рнс. 13. 1,а стремя одинаьовыми грузами (пгг = ш = газ = =и), Ь) и В связя с тем что система является симметричной, следует отдельно рассмотреть симметричные и кососнмметричиые формы ее колебаний, Рпс. 13.1 При симметричных колебаниях (рнс.
13.1,б) амплитудные смещения левой и правой масс одинаковы — назовем их иг, смещение средней массы пг. Составим ура вн сан я динамического равновесия системы в положении амплитудных отклонений (в обратной форме): и! = щР'и,Ьм + тРгП,Ь,г+ глР'н,змо 12хг — с(х! — хо) = О, — си, -1- (с — 1,р') ио = О. Частотное уравнение с — 1,р' — с = О.
— с с — 1,р' или после подстановок гиг = Яи„ колебаний плп рг[ 1 1 рз — с (12 -! 12)) == О. Отсюда ро = О рг = )~ с(1« т 12)/(1212) р, =- р» = 5,693 р 11/(тр) Ро ' Р»»» = 22,045 РсЕ1/(тм) р-о »т, 1,и,оим СР 1оиаоиог =-1,и, + 1оио =- О.
Рис. 18.2 Рис. 13,3 Рис. 13.4 2 . 2 р,1,ип + р!1,и„ =- О. 105 МИ' Приравняв нулю определитель этой системы, получим частотное уравнение г- — 123г (- 360 = О, '! корни которого г = 120; г„„= 3. Этим значениям г соответствуют частоты: Р» = Р 3888Е//(г,тн) = 5 693 ргЕ1/(т/о) Р» = рг3888Е1/(г„»тн) .= 36 р''ЕУ/(т/о) .
Отношения амплитуд находим из первого уравнении (!3.2): (иг/иг)» = (㻠— 42)/39 = 2, (и,/и,),„= (г»» — 42)/39 = — 1. Кососимметричвая форма колебаний показана на рис. 13.1,«. В этом случае средняя масса неподвижна и мы имеем только одно уравнение и, =- троигагг — тргигаго, откуда г„= 8 и частота кососимметричных р» = Рг ЯЯЯЯЕ1/(8ти) = 22,045 РГЕ1/(тн) располагая частоты а порядке возрастания, находим: Ро = Р» — — 36 1' Е1/(т!о) . Соответствующие формы колебаний (1, 2, 3) показаны на рис.
!3.2, а, б, в. Если бы мы решали эту задачу, не выделяя симметричные и косо- симметричные формы колебаний, то пришлось бы решать кубическое уравнение часто~. Особенности расчета систем с нулевыми собственными частотами. Если система не имеет достаточного количества связей и может перемещаться без деформаций, то при определении ее частот получаются нулевые корпи. Эти нулевые частоты как раз и соответствуют движению системы без деформации.
Простейшим примером такой системы является вал с двумя дисками рис. ! З.З. Обозначив углы поворота дисков 104 хз х„получим уравнения их движения: 1!хо -!- с (х! — хо) = О, где с — жесткость вала па кручение. Отыскивая решение в форме хг = и! созРг, хг = ио сов Р1, приходим к системе (с — 1,р') и, — си„=- О, Будем формально подходить к нулевой частоте так же, как и к ненулевой. ' Тогда нулевой частоте соответствует «форма колебаний» ио, = — — иао, т. е. поворот вала без его деформаций, а частоте р! — форма 2 1 и„= и (1 — 1»/!'/С) =- — (1,/1,) ип.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
