Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Интересно, однако, отметить, что пря пспользоеаннн метода осреднення аналнз устойчпвостн стационарного режима пряводкт к линейным урзвненням с постоянными коэффнцнентамя, в то время как е 6 8 нужно было исследовать уравнение с псраоднческнмн коэффнцнснтамп. ГЛАВА " [ ь КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ дни!кение системы с и степенями свободы описывается гг днфференцнзтьнымн уравнениями второго порядка. При большом и уравнения становятся громоздкими.
Для линейной системы существенное упроще„не записи уравнений, нх исследования и решения достигается при использовании матричной символики. Г!оследовательный вывод основных соотношений теории колебаний систем с конечным числом степеней свободы в матричной форме дан в 912 этой главы. Однако для облегчения усвоения эти соотношения выведены ниже также п в координатной форме. Рассмотрим колебания системы, положени" всех масс которой опредедя|от л независимых координат .т; (г'-.- 1, 2, ..., |г). Предположим, что этн координаты представля|от собон линейные илп угловые перелгещеш|я элементов системы от равновесного положения, причем эти перемещения достаточно малы, так что систему можно считать линейной.
Прн колебаниях координаты хг являются функциями времени. Переме|пения хг, которые имеют место в некоторый фиксированный момент времени, можно получить и прп статическом воздействии на упругую систему спл гг! (г' — 1, 2, ..., и; Р! — сила, соответс|ву|ощая перемещеншо хг). )[ля линейной упр)той системы силы Рг„которые нужно приложить, чтобы полу'шть перемен|ения хь линейно связаны с этими перемещениями: о | о Уг=- ~ гыхг, (10. 1! г —.— ! где гы — коэффициенты жесткости, аналогичные коэффициентам влияния метода перемещений в строительной механике. !1аряду с зависимостями (10.1), выражающими силы через перемеп(ения, можно записать зависимости которых перемещения выражены через силы, а коэфф|щпенты подат- як !а1!па'" !пп о п! и! " пп Матрица жесткости г и матрица податливости о являются симмет.
ричными и взаимно-обратным|и ! 8 = Е(Š— единичная матрица). Уравнения малых колебаний системы составим в форме уравнений Лагранжа П рода (см. 2 1), для этого предварительно вычислим потеи циальную и кинетическую энергии системы. Потенциальную энергию упругой системы можно вычислить как сумму полупроизведений сил Р; на соответствующие нм перемещения: а и Р!Х = л '~ Г !Х!Х!. ! .л жл ;=1! 1 и = — ~~)~ ! 2 1=! (10.3) Кинетическая энергия системы выражается распространенным на всю ее массу интегралом т= — 1лч где )с — радиус-вектор, определяющий положение элементарной мас. сы с(т! )г — его производная по времени.
Так как конфигурация системы определяется координатами х, (! = ==-1,2, ...,п),то М дРс д! дх! а а 1=! 1=! где в скобки заключено скалярное произведение векторов. Таким образом, для кинетической энергии получаем выражение Т = — лу,' ~) тмх;х! т» = ) ( — — ~ с(т1 . (10.4) 2, (, дх; дх1,) 1=1)=1 Входящие в это выражение инерционные коэффициенты тм образуют симметричную и х п матрицу т (матрицу масс).
При малых колебаниях производные д)ч/дх! остаются в процессе движения постоянными и т — постоянная матрица. Вид матрицы масс зависит от выбора системы координат хо В прас. тейшем случае эти координаты представляют собой перемещениЯ 82 ливости бы аналогичны коэффициентам влияния метода сил в строк '' тельной механике.
Коэффициенты гы и 8О образуют квадратные матрицы пуси! !и гщ" 8!! ощ" о1„ т=, о=. центров массы, входящих в систему жестких тел, в трех взаимно перпендикулярных направлениях и повоРоты этих тел относительно 1.лавных центральных осей инерции. Тогда кинетическая энергия выражается формулой Т =- — У т;х., ! 2 ачн (10. 5) где множителями прн квадратах линейных скоростей являются массы тел, а при квадратах угловых скоРостей -- соответствующие моменты инерции.
В этол! с.тучае матрица масс является диагональной т, 0 т, 0 IИ При другом выборе координат матрица масс не диагональная. Так, например, есл!! в качестве координат, определяющих смещения;кесткого тела (рис. !О. !), которое может перемеща ! ься в плоскости чертеи!а, пРинить гоРизонтальное (х!), вертикальное (ха) пе- ремещения точки О и угол поворота хз то, так как точка О не совпадает с пнптроь! массы С, кинетиче- ская энергия тела составят Т =- тг,т !(х! — Ь хз) )- ( хз+ ахл) ) + Здесь первое слагаемое сс!ответствуег энеРгии поступательного движения тела вместе с центром его массы, а второе — эпергг! н вращения (гс — момент ~ нерпни массы тела отпоеитсльно пентралы1ой оси, перпендикулярной плосмости чертежа). Нетрудно видеть, что в данном слу.!не матрица масс имеет внд Рис.
)О ! !'т Π— л!Ьт, !и — 0 т та — !иЬ та )е где у„=.—. ! .-1- т(ае-! Ь!) момент ннерщщ массы тела относительно осн, проходящей через точку О. уравнение Лагран яка П Рода, соответствующее варьированию координаты хь имеет вид (ск!. сз 1) — ( — '") — (,",)- —," =е,. Пусть на систему дсйслтвуют внешние возмущающие силы Рь соответствующие перемещенияам х Тогда Я! -= Рь Основываясь на формулах (10.3) и (10.4), вычис.гнзп 88 лг | с дл; 8 |х| е'"." " ' ''м | —.-| |=| |.-.—. 1 Л /=1 М~ | л дх ~ а ',~ м гг Мл ~ ..| |==| |=| В | ! езультате подстановки этих значенш! уравнения движения получа.
ют впд -1 тох; -:,— ~~уя | |,х| =- Р, (| == 1, 2... и). (10.6) /'=г |=1 Чаще всего координаты х; выбираются так, по матрица т — диагона.чьная. В этом случае ( 0 при 1~1, п|м=| !т; при 1- г. Т огда в первой сумме в уравнении (10.6) остается лишь одно слагаемое п уравнение упрощается: ;,|лвпенпямп (10.6). 11рямая и обратная формы уравнений двии|ения |к.вноггравпы.
В каждом случае предпочтение должно быть отдано той ,',:.,рмс, в котороп уравнения имеют более простой внд и более просто | ычисляются нх коэффициенты. рассмотрим примеры систем, для которых та плп иная форма запи.",. уравпсний движения имеет определенные преимущества. На рис. 10.2лг изобра,к,-н;| система, состо|ицая а) ряда жестких | рузов, со дппенных линейно-!пи гимн пруж|шами. Обоз| ачпм массы грузов т„ и...., т„, их смещения от :мложеггия равновесия х,, с) ..., х„„жесткость прус (л -х, Д ей|с г —,-м с|,| г л|и жииы ме?Кд" |-г| и (| - - !)-лг .пузахгп с,;„и возму|цаю- ,(уу «сгглы '~ (г), Ра(г), —, Р, гг').
Запишем уравненпедвпкения груза т; (г' — 2, 3, ..., в -- 1) (рпс.10.2,б): т|х|-', с|, |(л,— х|,) — с,,(х,„,— х,) =-Рг(г). ('00) л|;хг —,- ~~к гмх; = Р| (| ..—. 1, 2, ... и) /'=г Ф пзпческий смысл уравнения (10.7) очевиден --- это уравнение движения массы |и|, к которой приложена возмущающая сила Р;, и реакция упругой системы — Ео выраженная через перемещения по формулам (10.1). Систему уравнений (10.7) можно обратить, разрешив ее относительно перемещений л,. Воспользовавшись тем, что матрицы жесткости и податливости являются взаимно-обратными, можно полученные соотношения записать в виде л х, = 'У~Р; — т,л1 ьг, /'= г Физический смысл уравнения (10.8) состоит в том, что перемещение л; рассматривается ка|с результа~ воздействия на уп!Втую систему внешних возмущающих сил Р, и сил инерции масс ( — гл|г;), причем перемещения определяются в зависимости от сил по равенствам (10.2).
Форма (10.7) записи уравнеиш| движения, в которой сялы выражаются через перемещения, называется прямои, а форма (10.8), в которой перемещения выражаются через силы, — — обратной. Следуе~ отметить, что уравнеш|я (10.7) и (10.8) справедливы только при диагональной матрице масс; в противном случае следует пользоваться более общими 8г ,г(ля первого груза уравнение будет отличаться отсутствием хо !так как левый конец пружины сам закреплен неподвижно), а для и-го груза — отсутствием последнего слагаемого в левой части. Таким образом получаем цепочку уравнений: т|л| ' ( сО | +с| ~) х| — с|ляг -: — Р| ( ) лг.т| с,, х|, -,'- (с| г г-г;сг оьг)х; — с|,+|х|ы= ° |() Р ° (10.10) т — х„, +, х„=- Р„(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
