Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 23
Текст из файла (страница 23)
формулу (3.б)) Прн 0 еа ! и 2л/22 ! м2и г!! =- — — ( са52»В яп р! (! — Ь) бэ =— 2р, саэ(Р2! — (22-.'- Р!) 8) соз (р !+ (н — р ) !)) Ч! "+Р! '" — Р! )а При 1~22/и, уштыазя, что прн 8 ~ 2л/я 9! =О, имеем сРа соз Ы! Яп Р! (1 !!) 8)! = (со5 (Рг! Л() саг Р!((= 2 (мг — рз) иаи Лл г/2 =- — Я!п — ' 5(п (Рг! — Л.
(2), 2 (ла — 2.р „„) Полные перелез(ения грузов определяются формулаии «2 == х т щии + ваиеа (!! 2 ги (соз»! — соз р,!) + (соз»!— 2( 2 — р!) 6(ма — рзз) — саз р.,!), л ги — !'аз м!) + (Саз и! — соз Р,!)— 2 ( "- — р!) (соз н! — Сазре!). С (.2 — р'.) Пример 2. Средняя масса систе2!ы па рис. !5.
!3 приз(!антса в дни!кение по закону х .—.. а совы!. Определить движения крап них масс и из1ибаю1цнй моы!."Ит н середкне балки пра стапионариом режиме движения, Р е ш е н и е. Определяем закон движения точек закрепления грузов прн колебаниях безмассавой системы. По симметрии, Изучаем колебания системы с дополнитсл вызываемые этими силами. Так как система и ьным закреплением (рис. !5.
!4,и), нагрузка симметричны, возникает только симметричная форма колебания. Симметричная форма собственных колебаний показана на рвс. !5. !4,б. 2, Принимая смещения грузо ! и = 1, находим соответству!ощие амплптчдные силы инсрпии и строим эпюру изгиба!ощпх моментов (рнс. !5. !4,5), для чего приходятся. реши~ь статически неопределимую задачу. Прикладываем еднничную силу(рис. !5. !4,2) и по правилу Верещагина вычисляем прогиб под силой трз! этот прогиб приравниваем единице: а м Главная координата Ч (в денном случае Ч = х(г) = х(г), так как и = и определяется уравнением Г,и, + Е,из 13 Ч Р Ч=" = иызсоз~ (, * миг „,пиг 27 з отс1ода (г) (г) 13 ыз Ч =х! = хз = „асозы(, 27 Лг „,з Следовательно, полные переыещеккя грузов хг и хз составят ГО (г) 13 г из ;х,= хз=х) + х, = — 1+ ) асов А.
27 ~ рг .,( При вычпслеяик изгибающего момевга в сечении под средней массой учтем-, что моменты в движении 7 и в движении 2 пме)ог разные знаки (рпс. 15.14,е), Следовательно, 12Е3 13 2 л4='Из + Ма= —,, асов.'ы( — — исозы(. — щ,з() 27 Еу г ыз й4 = —, и соз ы1 12 — 31,2 (з р — и Как видно из приведенного примера, при кинематическом возбуждении резонанс возникает при частоте возбуждения, равной собственной частоте системы с дополнительным закреплением. Собственные частоты свободной системы не являются опасными.
Заметим, что если частота кннематического возбуждения совпадает с собственной частотой свободной системы, то усилие, необходимое для возбуждения, уменьшается до нуля (при отсутствии потерь), При расчете гарлюнических колебаний, возбуждаемых кинематически, применение метода главных координат отнюдь не является обязательным. Часто быстрее ведет к цели непосредственное решение, Так как в этом случае одна из координат (ху) является заданной функцией времени х) = асозв1, то остальные ксординачы естественно искать в виде , х; = А(созв1.
Если уравнения движения составлены в прямой форме, то для определения всех А, используют п — 1 уравнение. Уравнение движения в направлении заданного перемещения х; может быть затем использовано для вычисления силы, необходимой для движения системы. Если уравнения составлены в обратной форме, то решаются всем уравнений, но в них кроме (и — 1)-й неизвестной амплитуды Л; входит и неизвестная внешняя сила, приложенная в направлении х,(эта сила также пропорциональна созы1). Рассмотрим в качестве примера непосредственное решение чой же задачи (см.
рис. 15.13), которая выше решалась методом главных координат. 130 При амплитудных перемещениях (рис 15 1п а) к грузал( прнчо жены силы инерции, а к грузу т, — также и алшлитудное усилие Е привода (рис. !5.15,б). Выражая теперь перемещения через действующие силы, получаем: А, = тоРА(3г(+ п(вгАз3(з+ а) +~(то)га —,'- Р) 3гг, а = тв~А(йг( — , 'тв~Л,огз+ Л! а г г! + (тоРа+ Е) о.„, 5 "з = тв'Л(йзг -1- тв'Азйзз-(- + (тв'а+ Е) 6зг. Рис. 15.75 з Лг (Значения коэффициентов влияния см. на с.
103.) Учитывая симметрию системы, приходим к двум уравнениям с двумя неизвестными (Л„= Л, и Г): А,(тв'(6ц -1- 3„) — 11 —,'- Лщ =- — л(оРао„, А,тоР (3г(+ о,з) + Ейвг = (1 — тиРа,,) а. Из этих уравнений определяются амплитуды перемещений и возмущающей силы Е. Затем в соответствии со схемой нагружения на рис. 15.15,6 можно построить эпюру изгибающих моментов при амплитудных перемещениях.
Нетрудно убедиться, что получаемые таким образом результаты совпадают с результатами расчета методом главных координат. й 1б. ВЛИЯНИЕ ТРЕНИИ НА КОЛКБ7(НИЯ СИСТКМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 17( ==. — я,х( 131 Так же как и для систем с одной степенью свободы, различные по своей физической природе силы трения в большинствеслучаевможно без большой погрешности заменять энергетически эквивалентными силами вязкого трения.
Поэтому ограничимся рассмотрением вязкого трения. В случае необходимости учета нелинейного (например, сухого) трения расчет выполняется численно, как указано.в конце параграфа. Внешнее и внутреннее вязкое трение. Диссипативная функция Радея. Силы вязкого трения могут быть пропорциональными либо абсолютным скоростям движения масс (внешнее трение), либо скоростям их относительного переме)ценна (внутреннее трение). Схемы соответствующего размещения элементов вязкого трения применительно к цепной системе показаны на рис. 16.1 и 16,2. В первом случае на массу т, действует сила трения во втором И! — -- — ~~ ()21(Х; — Хг) 12,.
—. — ~~ гих;, 1=1 (16.1) т(.х -1- 2п„х) + «(х+ 2кх) = Р. )с ! = — д)Г/дх2, и;тик=О, и!!и,==О, икти2, — — юнак, икгцк — ркгл22. а при 1=- 12 Е) гп "22" "2л 2! ~22 '' ггл 22 = !2л! глг -' ~~лл Рис. 1б.2 где г пк = и„+ )рк. 133 132 у=-! В общем случае прп наличии как внешнего, так и внутрепнега трения силу вязкого трения, соответствующую координате х;, можно представить в виде причем ам = ил Удобным является описание вязкого трения с помощью введешсой Рэлеем диссвпативной функ- ции л л ' 2-,г=! Тогда сила трения, соответствующая координате хь выражается формулой Запишем уравнения (10.6) движения системы с Рис.
1б.1 учетом сил трения, определяемых выражением(16.1) г л л л У «имхк 1- Ъ '«,1х! + У ги х,. = Р, (1) (!' = 1, 2, ..., п). 1=-! 1=! 1=1 Перейдя к матрично-векторной записи, получим тх —,' 22х — гх= Р. (16.2) Это уравнение отличается от уравнения (12.21) только наличием произведения матрицы диссипативных коэффициентов на вектор скоростей х. Лропарцианальнае демпфирование.
В общем случае вязкого трения введение главных координат не приводит к независимьш дифференциальным уравнениям относительно каждой пз пих. Лишь в случае так называемого пропорционального демпфирования главные координаты оказывакпся пе связаннымп между собой и при наличии трения. При пропоршюнальном демпфировапип в цепной системе козффи- цпенты внешнего трепля и; (рис. 16.1) пропорциональны соогветствующим массам иг!, а ьоэффиш;енгы внутреннего трения и;; (рис.
16.2) пропорциональны соответству!ащик! жесткосгяк!. В этом случае матрица диссипативных коэффициентов может быть представлена в виде суммы двух матриц, одна нз которых пропорппональна матрице масс т, а другая — матрице жесткости г: а =- 2л,т+ 211 (16.3) (и, и 1. — коэффициенты пропорциональности). Уравнение движения (16.2) при этом получает форму Представим физические перемещения в виде разложения по главным координатам: л х =.
~~2',!)к(1)цк. к=! Тогда получим л л т ~~ и ( дк —. 2по!12), г ~~ ц>, (2)к 1-2>,!)к) = Р. умножим эта ) равнение слева на матрицу с!року и! н учтем, что в со ответствии с соотношениями ортогональности (12.36), (12.36) при 1 ~ Ф А Таким образом, после умножения па и! в уравнении сохраняются толь- ко те слагаемые, для которых й = 1: зз(к ( !)к+ 2илчк) + ррк (!12+ 21Чк) = и Р (ь" = 1, 2, ..., л). Учитывая, что и„Р = ~~РР2ип, = Ц, — обобщенная сила, соответ2=! стпующая и-й собственной форме, приведем полученное уравнение к виду дк-т 2пк йк — Ркак =- ОкУИк (Й = 1, 2, ..., п), (16.4) Сг!едовагельно, при пропорциональном демпфнровании каждая из главных координат определяется незавпсимьв! уравнением (16.4). Это уравнение имеет точно такой же вид, как и уравнение колебаний системы с одной степенью свободы при вязком тренин.
Из формулы для коэффициента затухания пл следует, что при внеш нем вязком пропорциональном трении (а = 2пат) этот коэффициент для всех главных координат одинаков, а прп внутреннем вязком тре. нии (а =- 2г.г) коэффпппент затухания пропорционален квадрату собственной частоты. В первом случае колебания высших форм затухают за то же время (но за большее число циклов), что н низкочастотные. Во втором случае высокочастотные колебания затухают существенно быстрее, чем низкочастотные. Если условие (16.3) пропорционального демпфирования не выполняется, то все уравнения для да оказываются связанными и переход к координатам !у вместо х; не упрощает задачи.
Следует, однако, отметить, что в большинстве случаев инженер не располагает надежной информацией о распределении сил трения в системе (внутреннее трение в материале, конструкционный гистерезнс см. э 4 ). На основе экспериментов удается оценить лишь интегральные эр!1екты сил трения (например, логарифмический декремент затухания или коэффициент поглощения (!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
