Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Равенство нулю определителя системы позволяет найти собственные частоты стержня. Рассмотрим некоторые примеры. Стержень, закрепленный по концам. Условия и~О) =- О, и(/) = 0 приводят к уравнениям С, = 0; С, яп й =- 0 (/, =-- и/ = р//а). При С,~О необходимо, чтобы яп/. =- О. Отсюда /.х .
/гя (й =. 1, 2, 3,...). Частоты собственных колебаний р„= /ьа// =- /гя )/ Е/(рр) (й = 1, 2, 3, „, ), Каждой собственной частоте соответствует форма собственных колебаний (собственная функция) и„ =- з1п (/гпг//) . (Так как существенна лишь форма зависимости и(г), а не ее масштаб, принято С2 —.— 1). Формы колебаний, соответствующие разным значениям /г, показаны на рис.
17.6. Стержень со свободными концами. Граничные условия (йиlйг)г=в = 0; (йи/йг),=у =-- 0 дают Сгя = — 0; — С,г з|п а/ =- О, откуда >. яп х =- 0; (й =- а/ =- р//а). =даур =дул =йуа Р=)гЕР/1! Он+ г/арРО] (!7.!2) я-г Рис. !7.!О Формы собственных колебаний определяются равенством Рис. (1.1 Рис. !7.6 яг Рис.
!7.9 Рис. !7.8 (17.11) Это условие удовлетворяется при )., = 0 и при Лд = йх. Собственные частоты: Р,=О, р =Л а/!=Ах]с Е/(р!а) . Нулевой частоте соответствует и = сопи(, т. е. движение стержня как жесткого, а ненулевым частотам— ид = соз ()г лтП) ° Формы колебаний показаны на рис. 17.7. Стержень, заделанный одним концом. Из граничных условий и,' о — — О, (г(и/с)г), г= 0 следует уравнение частот созЛ = О (Л=Р!/а), откуда Л.д — — (Й вЂ” 1/2) и (й = 1, 2, 3, ... ), ид (г) = яп [(й — 1/2) (сг/!)]. Формы колебаний, соответствую.цие й = 1, 2, показаны на рис. 17.8 Стержень с грузом на конце (рис. 17.9). Граничные условия и -о= 0; ЕР(г]иЯг), г = тр'и.=г приводят к уравнениям С, = 0; ЕРС,асов). = т/гаСаяпЛ (Л = р(/а). Это уравнение нетрудно привести к виду (яЛ = «/Л, где х = рЕ!/т — о!ношение массы стержня к массе груза.
Графическое решение уравнения (17.11) при х =. 1/2 представлено на рис. 17.10. Дели масса стержня мала по сравнению с массой груза, то приближенное решение можно получить, раскладывая (ау в ряд: (я Л = Л+ г/,Ла+ /, Ла+ ... и удерживая только первые члены ряда. С учетом одного члена имеем 1г х. Учитывая два члена, находим Л = 1 и приближен- ~„/„„ ное значение частоты ид = яп(Лдг/!).
(17.13) Легко проверить, что во всех рассмотренных выше случаях собственные функции удовлетворяют условиям ортогональности ~иди,г)гп = 0 (й~г). ,'(17.14) Лля стержней без присоединенных масс выполнение этого соотношения очевидно. Лля стержня с массой на кснце получаем ~иди г]т = ') яп()дг/!) яп(Л гП)таг]г+ тяпЛдяпЛ,. га в Вычисляя это выражение, в первом слагаемом которого учтена распределенная, а во втором — сосредоточенная масса, находим — Г ! Гип (Лд — Л ) Мп (Лд + Л,) Ч иди,г)т = — тв!~' ' — ' )!+ та!п),дяпЛ, = 2 ~ Лд — Лг Лд + Л, =тяп), япЛ, х ' " ' ' ',-1 Лд с(д Лд — Л, с(д Лг В соответствии с уравнением (17.11) с!я)д = Лд/х; с(дЛ, = Л,/х, откуда ясно, что соотношение ортогональности (17.14) выполняется.
Колебания ступенчатого стержня. Лля стержня, состоящего из нескольких участков различного сечения, можно составить выражения (17.10) амплитудной функции на каждом участке. Эти выражения содержат 2/е постоянных Сы, С;а (й — число участков). Имеется также 2/з граничных условий, выражающих 2й — 2 условия сопряжения участков и два условия закрепления концов стержня.
Граничные усло- г Гг ф ф г ( г, ... -„ф— ~ф и, = Со, СО5 аго + С.о 51П аго. (Значение а =-- рай/Е одинаково для обоих участков в связи с тем„что материал их 1г — — - — ь ! одинаков.) Для определения постоянРис. !7.11 ных С имеем следующие граничные условия: 1) (ои,/с$г,),,=о = О, 2) (и,),=п — — О, 3) (и,),„=п = (ио),, о, 4) ЕР,(би,/й 5),=п = = Ег, (йи,/Ого),,=~. Равенства 1 и 2 выражают условия закрепления концов стержня, равенства 3 и 4 — условия сопряжения участков (одинаковость пере- мещений и продольных сил в точке сопряжения). Из граничных условий находим: С,. = О, С„соз Ла+ Соа зш Ло = О, Сп сов йч+ С,о мпЛ, = Сап ЕГ, ( — аСп 5!п Ло+ аСоо со514) =- ЕРоаС.о. (1, = а1,; Л, =- а1 ).
Равенство нулю определителя этих уравнений приводит к выраже- нию зш Л2 ~ 0 '.=- О, — р„~ 0 со515 со51 — 1 о — р,з(п Л, 0 или Росозйосо51ю Р~51ПЛ~51пйо = О. Обозначив а1 = р1/и = Л, представим пол) ченное уравнение в форме — 18 ( — ' Л) =- с1я ( — ' Л) . Это трансцендентное уравнение легко в каждом частном случае решить одним из известных методов приближенного решения уравнений — итерацией, методом линейных приближений или графически, подобно тому, как с помощью рпс.
17.10 решалось уравнение (17.11). Изложенный выше способ решения, заключающийся в развертыва- 148 вия приводят к системе 2/о линейных однородных уравнений относительно См, Сиь Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получают частотное уравнение. В качестве примера составим уравнение частот для стержня, состоящего из двух участков разного сечения (рис.
7.11). Запишем выражения амплитудной функции на каждом из участков: и, = — Сп соз аг, + С„з)п аго нии частотного уравнения и последующем его численном решении, при большом числе участков становится весьма громоздким. В этом случае для расчета целесообразно использовать численный вариант метода начальных параметров, изложенный в гл.
1Ч. й 18. ИЗГПБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ Дифференциальное уравнение движения и его общее решение. Примем справедливость гипотезы Бернулли и пренебрежем силами инерции частиц стержня в их движении вдоль оси (в х связи с поворотом поперечных сечений). Тогда дифференциальное уравнение свободного движения можно получить, заменяя интенсивность нагрузки о/ в уравнении Риа 1В.1 статического изгиба (рис. 18.1) интенсивностью сил инерции — то(дох/д/о): (18.
1) Здесь х(г, 1) — поперечное перемещение; Е,/ — жесткость при изгибе в плоскости колебаний; т, — масса единицы длины стержня. Соответствующее собственным колебаниям решение уравнения движения (18.1) представляем в форме х(г, 1) = и(г) со5(р/+ Р), (1 8.2) где и(г) — амплитудная функция; р — угловая частота колебаний. Подставляя выражение (18.2) в уравнение (18.1), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение 85 1 . пои~ (18. 3) йго лго Для балки постоянного сечения ЕУ можно вынести за знак дифференцирования. Тогда уравнение (18.3) получает вид оРи/Ого — аои = 0 !а4 =-= рот„/(Е/)). (18.4) Корни характеристического уравнения, соответствующего уравнению (18.4), равны -+а и .+а1' — 1. В соответствии с этим решения однородного уравнения (18.4) выражаются через тригонометрические и 149 Таблица 18.1 Граиииссми чсливии Схема Назваиие закреплении би и=о; — =О бг Заделка Кс(аг) = '/з(Салаг+ созаг); Кз(аг) = '/,(з[саг+ 8!наг); (18.6) Свободный конец Кз (аг) = '/з (с[! аг — соз аг); Ка(аг) = '/,(з[! аг — гйпаг).
бзи б:си — =О; — =О бгз ' с!гз сРи с,и = — Е/ йгз Упругая в отношении поперелнык смещений и поворотов опора (сс, с,— ковффициеиты жесткости) би дги с,— = ГЛ— йг б7*' с г бзи с,и= ЕУ вЂ”; бгз би бии сз — = — Е/— бг дгз (18.7) басс лсрзсс = Е/ дгз би Охи !рз — = — Е/— с17 дга — йк —. Конец балки связан с жестким грузом. Масса груза т, момент инерции / массы относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости бзи бга чертежа лсрзи = — Ей сРи бгз би !рз — = Е3 дг 1 /би! С,=и,=о', С,= — ( — [ ба~я а !ЕО показательные функции аргумента пг.
Значительное удобство, однако, представляет использование введенных А. Н. Крыловым комбинаций этих функций. Обозначая функции Крылова символамн К„К„К„Ксь хсожем представить решение уравнения (18.4) в форме и = СсК, (аг) + СгКз (аг)+ СзКз(аг) + С4К4(аг). (18.5) Здесь С„..., Сз — постоянные; Заметим, что в литературе* функции Крылова часто обозначаются символами 5, Т, (/, [7, однако введенные здесь обозначения представляют определенное удобство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
