Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕР7КНГИ, ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН Дифференциальные уравнения движения. Рассматриваемые в это параграфе различные по своей физической природе явления описыв; лотся одним и тем же дифференциальным уравнением, потому один; коны и методы их исследования. Приведем краткий вывод основны уравнений для трех указанных в заголовке параграфа задач. Продольные колебания стержня постоя» н о г о с е ч е н и я. При выводе уравнения движения основываем< на гипотезе, плоских сечений. Кроме того, пренебрегаем силами ине~ и "о 52 0,24 Цгб 0 4 б д 70 72 Ф 7б х; = ыэ д„(/)ид,. Рыа.
1б.б Рыс. !б.б 141 Чтобы выполнить первое нз этих условий, необходимо настройку деипфера выбирать так, чтобы й = 1/(1+ 6). При этом ординаты точек 5 и Т составляют .,ы.=~тыггыы. Определение оптимального значения )4 более сложно. При его выборе можно руководствоваться рис. 16.5. Здесь по оси абсцисс отложено отношение масс ггй/т, .— 1/6, кривая 2 определяет необходимое вязкое сопротивление р, кривая / — максимальное значение и,/и„а кривая 3 — отношение и/и„где и — максимальное перемещение груза тхотносительно т,(максимальное растяжение пружины с,). Данные проведенного анализа могут быть полностью перенесены и на динамический гаситель крутильных колебаний с вязким трением (рис. 16.6).
В приведенном расчете окончательные значения амплитуд удалось представить в формульном виде вследствие простоты рассчитываемой системы (две степени свободы). При применении точного метода к расчету систем с вязким трением, имеющих большее число степеней свободы, основная трудность заключается в решении уравнений типа(16.15) с комплексными коэффициентами. Применение вычис;штельных машин позволяет реализовать вычислениия н при большом числе степеней свободы. Другим способом решения задачи с использованием вычислительной техники является численное интегрирование дифференциальных уравнений движения (типа уравнений (16.14)) прн произвольных начальных условиях.
Так как в уравнениях учтено демпфирование, свободные колебания системы, зависящие от начальных условий, через некоторое число циклов затухают и получаются стационарные решения. Преимуществом этого метода является возможность учета и невязкого трения (например, сухого), а также н других нелинейностей в системе. Вычисления могут быть реализованы как на цифровых, так и на аналоговых машинах. ГЛАВА П1 КОЛЕБАНИЯ СТГРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ Общие закономерности упругих колебаний, установленные для систем с конечным числом степеней свободы, остаются справедливыми и для систем с распределенной массой. Однако так как системы с распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бесконечно и число форм и частот их собственных колебаний.
Если все эти формы и частоты определены, то решение задачи о вынужденных колебаниях может быть получено методом главных координат. При этом, однако, перемещения отдельных точек представляются уже не конечными суммами, а бесконечными рядами вида Соответствующие ряды большей частью обладают хорошей сходимостью и могут быть успешно использованы для расчетов.
Поэтому основное внимание в настоящей главе уделяется методам определения форм и частот собственных колебаний стержней. При этом рассматриваются в основном сравнительно простые системы, для которых решения могут быть получены элементарными методами. Методь| расчета более сложных стержневых систем рассмотрены в гл. 11/. В настоящей главе рассмотрены также явления, возникающие в системах с распределенной массой, которые не имеют аналога в системах с конечным числом степеней свободы.
К ним относятся распространение волн деформации п возбуждение стационарных колебаний движущейся нагрузкой. 4 17. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ, ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН Дифференциальные уравнения движения. Рассматриваемые в этом параграфе различные по своей физической природе явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, потому одинаковы и методы их исследования.
Приведем краткий вывод основных уравнений для трех указанных в заголовке параграфа задач. Продольные колебания стержня постоянн о г о с е ч е в и я. При выводе уравнения движения основываемся иа гипотезе, плоских сечений. Кроме того, пренебрегаем силами инер- М. — дг дР/ Дг йс Ас+ — аг дУ сг Рис. !7.2 Рис, !7 ! (17.2) 143 ции, связанными с поперечными движениями частиц стержня при его растяжении — сжатии. Тогда положение каждого поперечного сечения в процессе движения полностью характеризуется его продольным смещением х, а нормальная сила в сечении /й оказывается связанной с продольной деформацией е = дх/дг законом Тука для одноосного напряженного состояния Л' =- ЕЕдх/дг, (17.
1) где à — площадь сечения стержня. Составим уравнение движения элемента дг стержня (рис. 17.1): т,с(г дох/д!о = (дЛс/дг) с)г, где то — масса единицы длины стержня, или после подстановки значения л/ йох 1 дог — — — — =О (а= )ТЕНт ). дго ио д!о о ' Для однородного стержня то = рЕ, где р — плотность материала, а=)7 Е/р.
(17. 3) Как видно из вывода, уравнение продольных колебаний (17.2) является приближенным. Однако его гюгрешности становятся заметными только при исследовании весьма высокочастотных колебаний, когда длины волн, распространяющихся в стержне, имеют размеры порядка размеров поперечного сечения. Крутильные колебания круглого стержня. При выводе уравнения движения предположим, что при колебаниях стержень деформируется так же, как и при статическом кручении: поперечные сечения его остаются плоскими и поворачиваются вокруг оси стержня, как жесткие диски. Обозначив угол поворота сечения стержня х, найдем крутящий момент в сечении: М = 6,/ дх/дг.
(17.4) Уравнение движения элемента дг стержня (рис. 17.2) имеет вид йобг дох/д!о = (дМ/дг) бг, где йо — момент инерции массы единицы длины стержня. 142 После подстановки значения момента получим уравнение, совпадающее по форме с уравнением продольных колебании: дх 1 д~х (17.5) Для однородного стержня йо = р/ и а =)/6/р ° (17.6) Заметим, что уравнение (17.5), выведенное для круглого стержня, приближенно может быть использовано и для исследования крутиль- ных колебаний стержней сплошного некруглого сечения. (Конечно, в этом случае жесткость на кручение 61 должна быть заменена величиной б/и в соответствии с формой поперечного сечения). Приближенность такого подхода"состоит в том, что не учитываются силы инерции, связанные с депланацией плоскости поперечного сечения стержня.
Для тонкостенных стержней открытого профиля пренебрежение продольными смещениями недопустимо и к расчету колебаний таких стержней уравнение (17.5) неприменимо. Поперечные колебания натянутой струны. Струну (рис. 17.3,а) считаем абсолютно гибкой, так что в каждом ее поперечном сечении имеется только продольная сила. Предположим также, что поперечные перемещения точек струны весьма малы и поэтому натяжение Т„можно считать не изменяющимся в про- с) Ф цессе движения Т, Обозначив поперечные перемещения х, составим урав- Рис. !7.3 пение движения элемента струны бг (рис.
17.3,б). К концам этого элемента приложены продольные усилия Т„составляющие между собой малый угол ду .= дг/Е, где /7 — радиус кривизны изогнутой струны. Проекти- руя силы на нормаль к элементу и приравнивая их проекцию произведению его массы на ускорение, находим тодгдох/д!о = ТодгИ. Здесь то — масса единицы длины струны.
Полагая в связи с малостью перемещений 1/Я =. д'х/дг-", приводим уравнение движения к виду дев ! двх — — — — =О, а =)~Т/т. (17. 7) „г в~., = г в о' т х(г, Е) = и(г) соз(р/+ с:), (17.8) где р — угловая частота колебаний; и(г) — амплитудная функция, определяющая форму колебания. Подставив это выражение в уравнение (17.2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для амплитудной функции й~и/йгг+ а'и = О, аз = рг/а'.
Общее решение уравнения (17.9) имеет вид (17.9) и (г) = С, созаг.+ С, япвг. (17.10) Амплитудная функция должна удовлетворять граничным условиям г на копнах стержня. Эти условия таковы: при заделанных торцах х —. = 0 и, следовательно, и =- 0; прн свободных торцах т' =- 0 н, следовай) тельно, йа йг =- О. ф Если левый торец стержня (г = 0) хг.-г упруго закреплен (рнс. 17.4,а), при- К ф чем жесткость закрепления с, то Л' — сх, следовательно, Ер(йи/йг) = си.
Если упруго закреплен правый торец (рнс. 17.4,б), граничное условие имеет внд ЕЕРйи'йг) = — — си. Рассмотрим случай, когда конец стержня связан с жестким грузом массой т (рис. 17.5,а). Граничное условие для функции'и(г) можно'получить, составляя уравнение движения груза т: т (д'х/д/з) = А/ = ЕЕ/дх/дг) а/ Л 144 Определение частот и форм собственных продольных колебаний стержней постоянного сечения. Как было показано в предыдущем параграфе, исследование продольных и крутильных колебаний стержня постоянного поперечного сечения и колебаний струны приводит к одному н тому же дифференциальному уравнению (17.2) в частных производных, так называемому волновому уравнению.
Для этих задач различны лишь смысл перемещения х и числовые значения а. Поэтому далее рассматриваются решения уравнения только применительно к продольным колебаниям стержней. Полученные здесь результаты могут быть полностью приложены к расчету крутильных колебаний и колебаний струн. Решение волнового уравнения„соответствующее собственным колебаниям стержня, может быть представлено в виде и заменяя в нем х выражением (17.8): — тр'и = ЕЕ (йи/йг). Аналогично, если груз закреплен на правом конце стержня (рнс, 17.5,б), имеем — тр'и = — ЕЕ!йи/йг). При любом способе закрепления концов стержня, подставив в гра. ничные условия общее выражение (17.10) функции и(г), придем к снс- Риа /гз теме двух линейных алгебраических уравнений относительно С, и С,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
