Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Последовательные производные функции Крылова связаны зависи- мостями 1 б — К, (аг) = аК4 (аг); — К (аг) = аК, (аг); дг с17 — Кз (аг) = аКг (аг); — К (аг) = аКз (аг). Й Д бг бг Таким образом, при каждом дифференцировании номер функции понижается на единицу. При аргументе, равном нулю, К,(0) = 1, а все остальные функции равны нулю.
Указанные выше свойства функций Крылова существенно упрощают выполнение граничных условий для балок. Так, можно установить, что постоянные С„..., С, в выражении (18.5) связаны с амплитудными значениями прогиба и, угла поворота с[и/с[г, изгибающего момента /[4 = =- Е/(сРи/с[гз) и поперечной силы Я = Е/(с[за/с[гз) в начальном сечении (г = О) равенствами 1 1 СЗ = — Мг-О! Сз = — сглг О Е,!из Е/из (18.8) На каждом конце балки имеются два граничных условия, зависящие от способа закрепления.
Некоторые возможные варианты граничных условий приведены в табл. 18.1. Следует обратить внимание на то, что при упругих опорах ' Таблицы функций Крылова приведевыв кн.: Л н а н ь е в И. В., Е г о р. ш е в а Н. И. Табулированные значения комбинаций круговых и гиперболических функций. М., Машиностроение, 1974, а также в работе [!1. Шарвирная опора даи и =О; — =О бга и прикреплении жесткого груза знаки в граничных условиях зависят от того, совпадает ли внешняя нормаль к сечению с осью г или их направления противоположны. При любом способе закрепления концов граничные условия приводят к системе четырех лннеиных однородных алгебраических уравнений относительно констант Сь ..., Са.
Частоты собственных колебаний определяются из условия равенства нулю определителя этих уравнений. Рассмотрим некоторые примеры определения частот однопролетных балок. и.=о=О, ( —,~ — 0; / г1еи ' Из условий на левом конце (г и,=! = — О, ( — ~ = О. .
212, г=! 0) вытекает, что постоянные С! и С, в формуле (18.5) равны нулю. Тогда форма колебаний опреде- ляется зависимостью и=! -05 Рис. И4 Рнс тгй (18. 12) 152 1ба Балка, шарнирно опертая по концам (рис. 18.2,а). Расположим начало координат на левом конце балки. Тогда имеют место следующие граничные условия: и (г)=-"С2Ка (кг)+ СгКа(нг). (18.9) Условия прн г —...1 приводят к равенствам СвКс (.4 - С,К, (Х) =- О, (18.10) Рис. !8.2 С2Ка (г,) —, С!К., (к) =- 0 (к = к/). Прп дифференцировании используются соотношения (18.7).
Приравнивая нулю определитель системы (18.10), приходим к частотному уравнению К" (г) К4 (к) = О. Подставляя сюда выражения функций Ка, К„получаем зй!.з(па =-О. Так как з(т>.~0, то яп>, =-0 и Ха = кп (/2= 1,2, 3,...). Отсюда частоты собственных колебаний — — =- й'и' — (/! =- 1, 2, 3, ... ). (18.11) Таким образом, имеется бесчислснное множество форм собственных колебаний, частоты которых пропорциональны квадратам натурального ряда чисел. Определим вид упругой линии при этих колебаниях.
Из первого уравнения (18.10) С4 =- — - С,. /Г (1) Но так как на = йк, то Ка(!.„) ==К!(га) —.... т/азп|„и, значит Са =- =- — С, Следовательно, и (г) = С,К, (кг) -1- СкК„(кг) = Св(К., (кг) — Ка(кг)! —. Са з(пкг. Наконец, полагая Са =- 1 и уч!пывая, что «д =- гд„/1 =- /ск/1, получаем, что й-я форма собственных колебании представляет собой синусоиду с й полуполнами (рнс. 18.2, б, н): и„=- вбп (йкг/1). Консольная балка (рис. 18.3). Граничные условия таковы: '~ г12, г=-о, 42.*, г=-! ~, б?а, =! Из условий прн г —.. О устанавливаем, что равны нулю постоянные С, и Св, а условия прп г.=1 приводят к уравнениям СаК,(!.) - С!К'(!.) — О, СаК,(Х) — СаК,()) = О (Х =-.1).
Частотное уравнение К!(г-) — К (!)Кг(г) == 0 можно привести к виду соз ). = — 1/сЫ,. Графическое ре пение этого уравнения показано на рис. 18.4, Корни уравнения Х! .= 1,875; Ха =- 4,694, прн й ) 2 2й — 1 !.! 2 Частоты колебаний определяются по формуле рн =1а)/Еу/(тв!'). Лмплнтудные функции определяются уравнением па(г) = К. (!.„)Ка(йкг/1) — К,(!.„) К,(>.аг//). В табл.
18.2 приведены формы колебаний н их частоты еще для трех видов закрепления концов однопролетных балок. М Зактетны, что балка с незакрепленными концами кроме частот собственных колебаний"", приведенных в табл. 18.2, имеет также две нулевые частоты, соответствующие поступательному и вращательному движениям балки кнк жесткого тела. * Эти частоты сов!,. нмот с собственными частотами балки, концы которой заделаны.
Табл ац в !3.2 Граиивыме уеловви Зыввеиие Л в 4~ори;.ле л» = Сделав Садки Амвлввудиав ьуикииг =о ,, [/л ау и=О; ( и=-0; е!и — =- 0 е!2 ди — =0 а!2 <!зи ~ е!зи е!гз ' дгз 2»-[- ! !» = — и и» = Ка (Л») х 2 ! и=О; и=О; ~ Лд — — 3 927; ~ ,,=К,(л„) х е е!и, Оеи, Лв — — 7,069; — =0 ' — =0 и е!2 иг 4»+! Расчет балок с несколькими участками. Для расчета колебаний балки постоянного сечения с несколькимн участками удобно использовать метод А. Н. Крылова, позволяющий автоматически выполнять условия сопряжения участков. Рассмотрим балку (рис.
18.5), со вершающую гармонические колебания по закону х: М х (2, 1) = и (2) сов (оо1 + т). Рис. И.5 Пусть в сечении г =- а к балке приложены сила и момент, также меняющиеся по гармоническому закону: Р= Росоз(оа1+ т), М = Мысов(ов/+ --). Сечение г = а делит балку на два участка — левый (г ( и и правый (г ) а). На этих участках функция и(г) выражается разными формуламн: и (г) и и,(г). ~ — и , — =0 — =0 е!23, е!23 и» = К„(л») х ! г Л Л =4730 хКз Л» — )— 1— ) 2 Ц = 7,353 — К (Л») К [ Л» †) 3 '» а (/з > 2) х Ка (Л» г Л вЂ” К,(л») Ка~л» вЂ” ) х К,[л» вЂ” )— — Ка (Л») Ка ~Л» ) В сечении г = а эти значения функции должны удовлетворять условиям сопряжения и,(а) .= и (а), и'(а) =- и' (а), (18.13) и" (а) = и" (а) .
'Мо/(Е/) и,' (и) =" (о)+ Ро/(Е/) ([Цтриха»!и обозначены производные.) Все эти условия удовлетворяются, если принять при общем для обоих участков начале отсчета, что и,(г) = и (г) + — "Ко[а(г — а)] + — 'Ко[а(г — а)]. (18.!4) Е/и' Е/вз Выполнение условий (18.13) легко проверить, воспользовавшись правилами дифференцирования (18.7) функций Крылова и учитывая, что К,(0) = 1, а К,(0) =. К,(0) = К,(0) =О. ' — — г В качестве примера рассмотрим определение частоты собственных колебаний балки с опорой, расположенной в пролете (рис. 18.6), Так как левый конец балки оперт, то в выражении и(г) для левого Рис.
13.6 участка (г ( а) С! =--= С, = 0 и и (2) = СвКа(аг)+ С4К4(аг). В сечении г =- а приложена опорная реакция, которая при свободных колебаниях меняется, конечно, по гармоиическо»4у закону. Поэтому в соответствии с формулой (18.14) для правого участка (г в а) имеем и,(г) = С,К,(аг) + С,К4(аг) + НК,[а(г — а)], СвКв (аа) + С»К4 (аа) = О, С2К,(21)+ С,К,(а!)+ НК,(аб) = О, СвК,(а1) + С4К,(21! — , 'НК,(аЬ) = О (5=1 — а). Уравнение частот имеет впд ! ' К, (Ла/1) К, (Агь'1) 0 й(, Кв(Л) Кг(Л) Кз(ЛО/1)~~=0. Кз (Л) К ! (Л) Кз (Л" /1), (18.15) !55 где Н = Л/(азЕ/1, причем /7 — амплитудное значение реакции. /[ля определения трех констант Сь С,, Н имеются три граничных условия — равенство нулю прогиба на опоре (г = а) и равенства нулю момента и поперечной силы в сечении г = 1.
Таким образом, получаем такие уравнения: Решение уравнения (18.15) и ему подобных удобно проводить подбороме. Задавшись величиной Х =-), вы п)сля)от Л()). Затем повторяют вычисления прп новом значении ). = ), След) ющсе приближение выбирают, пользуясь линейной !'интсрполяциен: Л,Л (Л,) — Л«Л Оч) Л (Л,) — Л От! Вычисление проводят до тех пор, пока разница между двумя последовательными приближениями не будет достаточно малой. Если требуется найти несколько частот собственных колебаний, то целесообразно построить график зависимости Л(Л) и определить точки его пересечения с осью абсцисс. Проведем определение низшей частоты колебаний балки (рис. !8.6) для случая а = Ь = Е2.
Уравнение (18.15) получает вид К, (Л/2) К, (Л)2) 0 л (л) К, (л) К, (Ч Кз (л)2), О. (18.15а) Кз О) Кг (Л) Кг (Ч2), При выборе значения) для перво, о приближения учтем, что если опоры рас- положены по ковцам балки (« =- О, то Л =- а; если обе опоры расположены у левого конца (а = 0), то балка превращается в консольную и л = 1,875 .В на- шем случае, очевидно, Л будетииеть промежуточное значение. Принимаем = 2,5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
