Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. предположим, что на элемент балки действует сила трения атпг,с)г(дх/д(), пропорциональная скорости его движения. Внутреннее трение введем, заменив закон Гука о =- Ее зависи- мостью Принимая этот закон н основываясь на гипотезе плоских сечений, легко установить, что изгибающий момент в сечении зависит не только от кривизны оси бруса а, но и от скорости изменения кривизны дх/д/ дал М = Е/ (х+ а4 — ). д1, Заменяя кривизну ее приближенным значением х — дгх/дгг, полу чаем М вЂ”.—. Е/( — + аа— (20.
1) ~, дга дхгдс / Уравнения движения элемента г/г бруса имеют вид (рис. 20.1) д4х с)х, дО та — '.,— арп, — + — = О, д)"' д1 Из этих уравнений, принимая во внимание зависихюсть (20.1), получаем дифференциальное уравнение движения бруса с учетом внешне~о и внутреннего трения: Гдх, дх ' + то ( — -'; а, — ) = О. (20.2) дга дГ Проверим, что это уравнение имеет решение вида сг— Эх гас Рис ад 1 (20. 3) Х (г, /) = 4/4(/)их (7), где их(г) — й-я форма собственных колебаний бруса без трения. Подставив выражение (20.3) в уравнение (20.2), получим д'аа Е/ — (Ц,=аад,)+ .и.(/, + ад/„~=-О.
дх Учитывая, что функция и,(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению (18.4) 84иа Рйа40 — и„ = О, 874 Е/ г/„-с (а, -,'- р„'а4) дх .;- р'„4/ь —. О. В этом случае, так же как и для системы с конечным числом степе ней свободы, логарифмический декремент 2""4/Рх = "" (а4/Рх -г аарь). 168 где рх — й-я собственная частота консервативной системы, устанавли- ваем, что решение в форме (20.3) удовлетворяет уравнению (20.2) и что координата дх(/) определяется уравнением При внешнем трении (а,) этот коэффициент с увеличением номера колебаний уменьшается, прн внутреннем (а,) — возрастает.
То обе)оятельство, что прн некоторых законах распределения сил трения метод главных координат является точным, позволяет приближенно применять его и при других законах трения. При этом полага. ют, что перемещения определяются формулой (20.3), а каждая из главных координат определяется независимым уравнением Цх+ 2пх)/ь+ Р4~Ь = — Ях/уу/ Значения коэффициента и принимают на основе экспериментальных данных. Так, например, при гармоническом возмущении частоты кь учитывая, что ни потери на внутреннее трение для большинства материалов, ни конструкционный гистерезис от частоты не зависят, полагают и, обратно пропорциональным частоте возмущения.
з 71. КОЛЕБАНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ Постоянная по величине нагрузка, если точка ее приложения перемещается, также вызывает колебания упругой системы; такова, например, причина колебания мостов при прохождении по ним железнодорожных составов. В настоящем параграфе мы не останавливаемся на хорошо изученном вопросе о колебаниях балок, лежащих на жестких опорах, при движении по ним нагрузки (см. 137, 50, 52)).
Эти колебания являются нестационарными; они возбуждаются в то время, пока нагрузка движется вдоль балки, а затем постепенно затухают. Более важное практическое значение в машиностроительной практике имеют стационарные колебания, возникающие при непрерывном перемещении нагрузки с постоянной скоростью. Для того чтобы такого рода движение нагрузки было возможным, либо упругая система должна быть безграничной (бесконечно длинная балка на упругом основании), либо движение нагрузки должно происходить по кругу. Именно последний случай возбуждения колебаний подвижной нагрузкой обычно и имеет место, причем, как правило, приходится иметь дело с непод вижно ориентированной в пространстве нагрузкой и с вращающейся упру~ой системой. Таковы, например, нагрузка, обусловливаемая давлением пара на )урбинный диск при парциальном подводе, нагрузка, воздействующая на катящуюся шину авломобнля, и т.
д. Во всех этих случаях колебания с большими амплитудами возникают тогда, когда скорость относительного двигкения нагрузки близка к скорости распространения бе~ушей волны при свободных колебаниях системы. Рассмотрим это явление на примере бесконечной балки на упругом основании, по которой с постоянной скоростью движется сосредоточенная сила. Дифференциальное уравнение упругой линии статически нагруженной балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании, имеет вид Е,/(д4х/дг4) + йх.-- /(7), (21.1) 169 где х — прогиб балки; Е1 — жесткость поперечного сечения балки при изгибе; й — так называемый коэффициент постели; ((г) — интенсивность распределенной нагрузки.
При выводе уравнения (2!.1) принято, что интенсивность сил взаимодействия между балкой и упругим основанием пропорциональна прогибу балки в данной точке. Уравнение движения балки можно получить, добавляя к внешней нагрузке силы инерции собственной массы балки, интенсивность которых равна — т„(дгх'д(») (т„— масса единицы длины балки).
Таким образом, имеем д'х д»х Ех' — т и, — +(»х= — ((г,(). дг' ' д(2 (21.2) Обозначим пг»((ЕХ) = 422, (4((Е») = — 4н». Тогда уравнение движения примет внд дх, 2 д»х 1 — + 4Р— + 44'х -= — ~(г, (). д»4 ды ' Ед 4Л 2 Прн о -(х(' == )( 4пЕ1!тр корни характеристического уравнения э»+ 442охе»+ 4(»» —.-- О являются комплексными и имеют вид з»» =- ~ 44 -1- (1 р' — 1, где 44 =- )'р» — а»224 (1 =- )л '+ п»22. Общее решение уравнения (21.6) прн о~!»/» можно предсгавить в виде х — е2 (С4 сов !!с -1- С, айп (1") + е " (С» соз Ц + С» ейп )1Ь) + Ф (Г), где Ф(4,) — частное решение неоднородного уравнения.
!70 Определение с помощью уравнения (21.3) частот собственных колебаний балок на упругом основании не представляет затруднений. Метод решения здесь совершенно такой же, как и для свободной балки (см. 5 18). Если нагрузка, сохраняя свою величину, движется вдоль оси балки со скоростью о, то" ( (г, () =- ) (г — о(). (21.4) Прп стационарном движении прогибы перемещаются вдоль оси балки с той же скоростью, что и нагрузка, т. е. х = х(г — о(). (21.5) Обозначая г — и( =- б и подставляя выражения (21.4) и (21.5) в дифференциальное уравнение (21.3), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение для функции хЯ: д»х д»х, ! — + 42»о2 — + 4!4»х =- — ) (".).
(21.6) д'.4 Е.( Рассмотрим частный случай, ко~да по балке движется сосредоточенная сила, положение которой соответствует ь = О или г =- о(, В этом случае как при с ) О, 2ак и при Е ( О внешняя нагрузка отсутствует и выражение для х(с) дается рец4ением однородного дифференциального уравнения. Отбрасывая в этом решении слагаемые, неограниченно возрастающие с удалением от начала координат, получаем при ь ( О (слева от точки приложения силы) х =- е"' (С, соз 12(. + С, гйп (К) и при ь ) О (справа от точки приложения силы) х =-е '(С»соз(%+С,з!яйся).
При ь = О должны выполняться условия х == х,; х' = х+1 х" = х+1 .х"' = х"'-1- Р((ЕХ). Определив нз этих условий постоянные С, — С„получим окончательно: при ~) ΠР— 4. а х,= — — е !соз()ь+ — з!пйг.), 8Е7Р»„ при й «- О Р х =— 8Е1р»а 44 ( а е ( соз 6(. — — з!п ()ь). 4 Прогиб под силой (Г = О) Р 8ЕЗр»» Р 1 у'4ИЕЯ )' ! — р»( р где пер —— ~, 4(»ЕЗ)то (21.7) (21.8) х = Ссйп(я(г — е()/(), !71 Из этого выражения видно, что при возрастании скорости дщ!жения нагрузки прогиб увеличивается и стремится к бесконечности при приближении этой скорости к критическому значению. Одновременно меняется и вид упругой линии.
Формы упругой линии, соответствующие различным скоростям движения нагрузки, представлены на рис. 21,1. При скоростях движения, близких к критической, прож!бы с удалением от точки приложения силы затухают медленнее, чем при статической нагрузке. Физический смысл критической скорости охр состоит в том, что она представляет собой наименьшую фазовую скорость бегущей волны в балке.
Действительно, выражение для бегущей волны синусондальной формы имеет вид где Л вЂ” длина полуволны, с — фазовая скорость распространения волны. Подставляя выражение (21.8) в уравнение свободных колебаний балки: д'х а д'х + 4» — + 4В х = О дг' ды получаем для скорости раснростране ния волны выражение )/ 4.е(,ЛЯ а'-'г Рис. 21.1 Таких! образом, скорость распро странення волны зависит от ее дли л1(!!'1/2) достигает минимума, рав 1,О ! 4д ~2 гс (д л1с Рис.
21.2 ны (рис. 21.2) и прн длине Л ного ои!,. Следовательно, значительное возрастание прогибов имеет место тогда, когда скорость движения нагрузки приближается к скорости распространения бегущей волны. Полученный вывод о безграничном возрастании прогибов явился счедствпем того, что мы пренебрегли затуханием, В действительности при приближении скорости движения нагрузки к критической прогибы балки резко возрастают, !ю сохраняют конечное значение.
Энерпия, необходимая для того, чтобы поддерживать колебания прн наличии затухания, сообщается системе самой движ)щейся нагрузкой. Объясняется это тем, что при наличии затухания касательная к упругой липин балки в месте приложения силы уже не является горизонтальной и сила получает составляющую, направленную по движению (рпс. 21,3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
