Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 32
Текст из файла (страница 32)
„. Таким образом, уравнение движения груза имеет вид д'к дх Ч вЂ” т — -1- ЕР— ~ =- О, ды ' да !~=о или, поскольку Е == аар, ~ — '; — — "Ф (22.19) ды ! да)*=а где к — отношение массы стержня к массе груза, х == рР!(гл. Подставляя в уравнение (22.19) вместох его значение из выражения (22.18) и заменяя буквой й величину ай получаем 1" (.) — )" (". — 2 !) + — (7' (й) + ~' (" — 2 !) ! = О, где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу. Отсюда )" (") + — )' ф == )" (" — 2!) — — ')' (~ — 2!). (22.20) Дифференциальное уравнение (22.20) связывает значения функции Д" ) со значением этой функции для аргумента, меньшего на 2!.
Используя формулу (22.20) и начальные условия, можно шаг за шагом построить функцию 7(~). До соприкосновения груза га со стержнем (т. е, прп ! -О) для всех точек стержня смещение равно нулю. Следовательно, при ~ «-0 )(,",) =- О. Поэтому для интервала 0<Е -'2! правая часть уравнения (22.20) равна нулю: 7" (".) + — ' !' (6) = О. Интегрируя это уравнение, находим, что при 0<9 < 2! !"'(с) =: Се — ":л . Так как в начальный момент ! =- 0 скорость конца стержня г =- 0 равна скоросчи груза о,, то (дх!д!)!=о,.=а = о,. Подставляя сюда выражение (22.18), получаем а(7'(0) — !7( — 2!)) =- ц„или, так как !" ( — 2!) =-- О, С = —.
1" (0) =- о,lа. Таким образом, при 0«",2! функция 7"'(Г) определяется выражением (22. 21) 7'(;) = — ' е а 177 — — — /' (а/ — г). дг и == — = а1'(а/ — г) д1 Подставляя сюда значение / по формуле (22.21), найдем, что при г<а1 =21 — г —. (о1-о)11 о (и /„) е —" ьа — ') ' (22.22) На рис.
22.4 представлены построенные по формулам (22.22) эпюры скоростей и деформаций по длине стержня для момента, когда волна деформации не дошла еще до закрепленного конца стержня. Эти эпюры являются разрывными; на фронте волны скорость скачкообразно изменяется от нуля до ць а деформация— от нуля до — и,/а. Е [ Пока волна деформации не дошла до опоры, скорости и деформации в любом - а сечении оказываются связанными простым соотношением Раа 22Л Таким образом, деформация сжатия, возникающая в стержне в первый момент удара, полностью определяется скоростью удара и не зависитотмассы ударяющего груза.
Можно оценить порядок той максимальной скорости удара п„при которой уже в первый момент удара в стержне возникают пластические деформации: и =ах,„, где е„--деформация, соответствующая пределу пропорциональности. Для стали, принимая скорость распространения деформации а — .= =-5000 м/с, а деформацию — соответствующей пределу пропорциональности, например 0,001, находим предельную скорость удара, при которой может еще не быть пластических деформации: по ==-ао,„=-5000. 0,001= 5 и/с. Для легированных сталей, имеющих более высокий предел упругости, соответственно увеличивается и предельная скорость. 178 Зная функцию /'(ьо) для значении," -'21, можно исследовать изменение усилий и скоростей в любом ссчеиии стержня, начиная с первого момента ударя и до тех пор, пока а/< 21 — г, т.
е. пока до данного сечения не дойдет отраженная от опоры волна деформации. Прп а(<21 — г функция /(а1 т г — 2/) = 0 и выражение (22.18) для перемещения имеет внд х = /(а1 — г); соответственно скорости и деформации в любом сечении равны: Выше рассмотрен лишь первый этап удара, когда имеется только прямая волна деформации, идущая по стержню слева направо.
Уравнение (22.20) позволяет построить функцию /((.) дляследующего интервала изменения аргумента: 21«" 41. Подставив в правую часть этого уравнения найденное выше значение функции /((.) для 0<(". <21, получим для интервала 21<~ < 41 ао х — (( — 21))1 / (й)+ — /'("-) = — 2 — ' — е " ' а (22.23) Произвольная постоянная при интегрировании этого уравнения определяется из условия, что скорость груза, а значит, и скорость конца стержня (г = 0) не могут изменяться скачкообразно, т. е. что (дх/д/) =о =- а [/1(а/) — /х(а1 — 21)) должна увеличиться до 1+(21) ==(по/а)(е + 1). Последнее значение/'(Г) и является начальным условием для интегрирования уравнения (22.23). Интегрируя это уравнение, получаем для интервала 21 <~ < 41 /'Р о е "'' оЬ [1 2х'— ~~) е а а Аналогично находим при 41< Г - 61 /' (Г) = —" е ' + — ' [1 — 2х =~ е ' + 21 л — ( с — 21) 11 а а "о Г °: — 41 / 1 — 4()т — (( — ащ Таким образом, шаг за шагом можно сконструировать функцию/'(й) для любых значений аргумента.
Далее, можно интегрированием получить функцию /ф), которая является непрерывной: при 0<к<21 /(ь) = — ' — (1 — е "' ); а х представляет собой непрерывную функцию. Это условие удовлетворяется, если разрывы функции /'(Г) будут в точности повторяться при изменении аргумента на 21. Так как при" = 0 функция /'(с) скачком увеличивается на величину и,/а, то этот же скачок повторяется и при Г = 21, й — 41, 1 —..
61 и т. д. В частности, при ~ =. 21 функция /'(~)1 со значения, определяемого формулой (22.21), (21) = (о,/а) е 2* и .=- дхУд1, а =- дх/дг. 2 а) 1 16 хч! Г 1( о) а) б) 1~ вао о а1 Т юр =! гй оо Рас. 22.5 !80 при 21<~<41 по( 21 ( — (с-М1 (Г( т(ге) = о — — е + (1+ 2х '— ) е а х прп 41(~(61 — П( ( С 21 ! — о (( — 2П/( г(го) по 1 — с — ', (1-', 2х ) е а х ~1-; 2ха (=) ] Е н т. д. Зная функцию ~ф), можно по формуле (22.18) найти перемещение х. Продифференцировав по г выражение (22.18), находим деформацию е: е = дх/дг = — (1' (й( — г) + 1' (й1 + г — 2!)].
На рис. 22.5, й в качестве примера приведены графини функции 1(~) и ее производной для случая, когда отношение собственной массы стержня к массе груза х =- 0,5, На рис. 22.5, б приведены графики зависимости от времени перемещений различных сечений стержня, а на рис. 22.5, и — деформации в тех же сечениях. По абсциссам рис. 22.5, б, и отложена безразл~ерная величина й111, пропорциональная вред(ени. Из графика на рис. 22.5, в видно, что в момент 1: = 4,81(й дефорашции, а следовательно, и усилие на конце стержня г --=.
0 падают до нуля. Б этот момент груз отделяется от стержня н процесс удара заканчивается. Как видно из рассмотренно~о примера, расчет процесса удара по методу Даламбера связан с довольно сложными выкладками. Особенно усложняется расчет, если масса груза значительно больше собственной массы стержня, так как в этом случае необходимо рассматривать большое число интервалов изменения переменной 1,.
Более наглядным является расчет распространения упругих волн с помощью метода характеристик. Здесь мы рассмотрим лишь основы это~о метода. Прил(ененпе л(етода к задачам продольного удара рассмотрено в (401'. Обозначим: и — скорость движения произвольной точки стержня и а — относительная деформация в этой точке; Определяя эти величины пз общего выражения (22.4) для х, полу- чаем: и == й1' (й( — г) — а.-' (й1 —,'- г), е = — 1"'(й1 — г) + о'(й1-', г).
Исключив из этих уравнений сначала (р', а затем )', найделп и — йе == 2й! (й( — г), и —, йа = 2й-' (й1-'- г). (22. 24) Из уравнений (22.24) следует, что разность (и - -йе) зависит толь- ко от разности (йт — г), а сумма (и -- йв) завнсит только от суммы (й1 — г). Если изобразить две системы координат: г1 (рис. 22.6, и) н са Рис. 22.8 * См.также:Бидсрмаи В. Л., Малюкова Р.
П. Усилиаиде- формации при продольном ударе. — В ки,: Расчеты иа прочность. Вып. 19. М., Машгиа, 1989. 18! ( ис, 22,6, б), то прямым а! — г == сопл( в первой системе соответствуют прямые о — ае- сопя( во второй системе. Точно так же прямым а! + г = сопз( соответствуют прямые о -г ае .—: — сопзй Таким образом, при а1 — г = сопя( о — аз = сопЛ (22.25) н прн а! + г = — сопз( (22.26) о (- аа =- сонат. Семейства прямых линий (характеристнк) служат для нахождения соответствия точек в координатных снстемах гт и оа. Если такое соответствие найдено, то задача решена, так как известны значения скорости о и деформации у-ае, е в любом сечении г в лю- Е е =гг у-а ,е бой момент времени гу Ф е=еу Чтобы пояснить излагаемый метод, рассмотрим частный пример (рис.
22. 7). — х с 15 Ю г 1 Правый конец стержня Ь;%. ' (г = 1) закреплен непод-- „, °,. у „,у — — ь=уу у=о прикладывается усилие Р, Риа 22.7 которое в дальнейшем не изменяет своей величины, Все точкн плоскости г1, лежащие ниже оси г, р , отоб ажаются на плоскости ое в точку 0 (а =- О, о =- 0), так как при 1( 0 усилия и ско- рости во всех сечениях стержня отсутствуют.
Д тоб ажение точки 1 (г — О, 1= 0), которая соответствует начальному моменту приложения силы, проведем на плоскости г ар р 1 ха акте истику 0 — 1, уравнение которой а! + г — О. Э " ктеристике в плоскости оа соответствует линия о + аа = той хара ер , что точка 0 пло- =. С, которую легко построить, так как известно, что скости г! отображается в точку 0 плоскости оа. Отображение точки 1 лежит на линии о и аа =:= ц- аа =:= О. Так как де- формация, соответствующая точке 1, извес: а, = — ( тна: = — Р11ВГ), то легко отыскать эту точку на плоскости оа. Из построення видно, что точка 1 соответствует скорости о == о, = — аа, = аР!(ВР). Таким образом, при приложении силы Р конец стержня мгновенно п иобретает скорость о,.
р Теперь проведем на п. а плоскости г1 характеристику положительного нап авления 1 — 2. Этой характеристике на плоскости оа соответст- вует прямая о †=- С, проходящая через точку 1. Отображение точ- ки 2 лежит на этои прямой и й п ямой и в то же время, так как точка 2 соответст- вует закрепленному концу стержня, скорость в ней равна нулю и, следовательно, ее отображение лежит на оси а. — г 3 О Точка 3 лежит иа той же характеристике отрицательного направления, что н точка 2, и вместе с тем она соответствует концу стержня, на котором а = а,. Отображение точки 4 совпадает с началол1 координат, отображение точки б — с точкой 1 и т.
д. После того как деформации и скорости в характерных точках найдены, можно определить пх значения н при любых значенияхг н1. Прежде всего устанавливаем, что участок вертикальной липни г =- 1, лежащий ниже точки 2, соответствует нулевым скоростям и усилиям. Действительно, отображения точек этого участка лежат на оси о = 0 и, кроме того, любая точка этого участка может быть соединена характеристикой положительного направления с точками оси 1, лежащими ниже точки 1 (1(0), отображающимися, следовательно, в начало координат. Таким образом, отображение точек участка г =- 1( Ва должно лежать одновременно и на линии о — аа — О, и на линии о = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
