Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Тогда по формуле Рэлея р= 1/'2Уа/:;т,.! =) сУ.г,п, (24.6) где (24.7) и р — — ~~» птг(и!!ил)з 1 Т„„„= — р ау гп;и. з 'к 1 2 г=! 2. Определяют максимальные силы инерции масс Р, = рзтги!. 3. Определяют внутренние силы в элементах системы, вызываемые нагрузками Рь 4, По внутренним силам вычисляют максимальную потенциальную энергию деформации (та. 5. Из равенства Т„,„=- (Уз определяют частоту колебаний.
Применим метод Граммеля для расчета частоты колебаний консольной балки. Приняв и =- (г71)з, найдем Т„„„= — 'Р' ~ тзизбг = Ранга(!'10. 2 а Интенсивность сил инерции Ч =- Р ига (гу!) ° Поперечная сила в сечении ! зпг () ~'„1 Р же ((з ч) з!з Формула (24.7) совпадает с формулойдля частоты колебаний одно- массовой системы с массой пт,р, сосредоточенной в точке А. Следовательно, для приведения массы системы в какой-либо ее точке следует каждую массу и! улшожить на квадрат отношения се перемещения к перемещению точки приведения.
Метод Граммеля. Выше мы видели, что, принимая форму колебаний подобной статическим прогибам системы от некоторой подходящей нагрузки, можно существенно увеличить точность расчета за счет исключения операции дифференцирования. Еще ббльшня точность достигается в методе Граммеля, в котором дифференцирование заменяется интегрированием. Последовательность операций здесь такова*. 1. Задают форму колебаний и подсчитывают максимальную кинетическую энергию движения Изгибаюгций момент М= — ~ Яйг = — ''"," (3(з — 41г+2').
12!з Потенциальная энер!.ия деформации 1 ~ М- '13 (уа = 2 . ВУ !620 а р4 те!з Приравнивая Т „ = (У„ находим р = — — = 3,5301 г !620 130 гло!4 1/ гпа!т (Ур =- Р! (24.8) следует добавить к потенциальной энергии деформации балки, и формула Рэлея получает вид Р = 2 ((' а + (тп ) т тзг. (24.9) Сделанное предположение о нерастяжимости стержня в процессе колебаний отнюдь не является обязательным. К тому же результату Величину !. мозкно найти как интеграл от разности между элементом г!г изогнутой оси балки и его проекцией йгсоз~р на направление оси: с ошибкой всего 0,42!!з в сравнении с точныл! решением. Таким образом, метод Граммеля путем некоторого усложнения расчета позволяет существенно повн!сить точность результатов.
Учет начальных напряжений. При использовании формул ы Рэлея нетрудно учесть влияние на частоту колебаний начальных напряжений, имеющихся в конструкции. Р Пусть, например, требуется определить частоту собственных Рнс. 24.2 колебаний балки на двух опорах, растянутой силой Р (рис. 24.2). Если считать балку нерастяжимой, то при прогибе балки и(г) точка приложения силы Р получит перемегцение* ! й= — ~ ( — ) г)г.
а Соответствующее увеличение потенциала силы Р 194 196 Предполагаетсп, что матрица масс — диагональнзп. а = ~ (1 — сот э) 2 а! й з Тогда (/,= ' (Е./( — "",'Убг о -..4Е/ 1 ° ди ' - 'оор ! 41о 2,! (аг/ 41 о (24. 11) откуда (/р = — ( Л'( — ) бг. 1 / Зи'2 2, (ог, о (24.10) Р~ >Рс (24. 13) (24. 14) и(г) = з1п(яг/1). 19З 197 мы придем, предположив, например, что каждая точка оси стержня движется строго по нормали к оси г. Необходимо учесть, что в этом слу- чае возникает дополнительная деформация растяжения и соответственно изменяется потенциальная энергия растяжения стержня.
В прямолинейном состоянии стержня эта энергия равнялась о где У вЂ” начальная продольная сила в сечении. В изогнутом стержне ° (( (/е+ ее=- )о 2ЕР о Раскрывая это выражение и пренебрегая членом с (а')', находим увеличение потенциальной энергии растяжения: 1 (/р = (/' — (/ы = (Л/ 'бг. о В случае постоянной подлине продольной силы эта формула совпадает с формулой (24.8). Нетрудно показать, что при расчете изгибных колебаний стержня может быть принята произвольная зависимость для продольных перемещений о(г), сопровождающих изгиб стержня.
В этом случае энергия (/р должна подсчитываться по формуле (/р =- — Рор+ ~ Л1о'о(г, о где ор — перемещение точки приложения силы Р; — продольная деформация оси стержня. Определим частоту собственных колебаний балки постоянного сечения, лежащей на двух опорах и растянутой силой Р. Примем Л=т,~иЧг= — т/, р = = ' ~1+ 2(1/,+1/,), Е/ г Р1' 2 "' Я . тР,РЕ/ Полученный результат совпадает с точным (см. 9 18). Формула Донкерлея. Так как метод Рэлея приводит к завышенному значению частоты колебаний, весьма полезным является применение формулы, дающей заниженную частоту. Простейшей из такого рода формул яв- а) ляется формула Донкерлея. ооч 1 гор Рассмотрим какую-нибудь многомассовую систему, на- аг пример балку (рис. 24.3).
Пусть на рис. 24.3, а изоб- б) ражена точная форма собственных колебаний этой системы. Тогда точное значение собственной частоты си- Риа 24.3 стемы выразится формулой л Ро = 2(/ ! ~' т,.и . ~=! Теперь рассмотрим ту же балку, но только с одной массой т;, (рис. 24.3, б). Часчота колебаний в этом случае будет определяться пс формуле р; = 1/(т,о;,), где бм — годатливссть балки при приложении силы в точке закрепления массы тс С дру~ой стороны, приближенное значение Р; той же частоты можно определить по формуле Рэлея, считая, что форма колебания совпадает с изображенной на рис.
24.3, а: р~ = 2(/о ~ '(т,.и) ). (24.12) Здесь (/о и и; имеют те же значения, что и в формуле (24.11). Так как форма, изображенная на рис. 24.3, а, не является точной формой колебаний одномассовой системы, выполняется неравенство Сравнивая формулы (24.11) и (24.12), находим приходим к уравнению 5 ~ — ' Р'3)1 — и,) = О. (25.2) (25.3) (24.15) 4 25. метОд Рзлея — Ритцд (» ~ (Т вЂ” ((') б(, 6 [ (Т вЂ” (/) АЕ =- О. (25. 1) и(г) =- а, з!п (ягЛ) -,'- аа сйп (2иг/1).
199 198 Если в правой части полученного равенства заменить р; меньшими значениями ды равенство превратится в неравенство Таким образом, приближенная формула Донкерлея всегда дает преуменьшенное значение частоты. Рассчитан частоту одной и той же системы по методу Рэлея и по формуле Донкерлея, мы получим вилку, в которой заключена истинная частота колебаний. Метод Рэлея — Ритца основан на вариационном принципе Гамиль тона. Согласно этому принципу, для консервативной системы «дей ствие», т.
е. имеет стационарное значение. Здесь Т вЂ” кинетическая, ((' — потен- циальная энергия системы. Следовательно, вариация При этом на границах интервала интегрирования координаты не варьируются. Снова записывая движение при собственных колебаниях в форме х, == ипйпрг н подставляя соответствующие значения Т и (г' [см. формулы (24.1) и (24.2)1, представляем выражение (25.1) в виде (( г 5 ~ ~ — РзИ'соззр( — Б,з(пзрг~ ([( = О, 2 В качестве интервала интегрирования возьмем один период (((= О, га = 2Я(Р). Эти значениЯ (( и (з отвечают Условиам пРиме- нения принципа Гамильтона, так как х;((() ==: х;((з) =- О. Учитывая, что зыа за/р созе р(([( — -- ) з)пз р(([1 =- яlр, о е В этом ныраженяи частота р не варьируется.
Зададим форму колебаний в виде ряда (1) , (2) , , (г) , , (а) и; =-а(и( -' а,и( -и ...—,а,и( + -раап( где а„— неопределенные параметры; и' — известные линейно везависимь)е функции координат (координатные фднкции), удовлетворяющие условиям закрепления системы. 1(олпчество слагаемых, учитываемых в выражении (25.3), определяется необходимой точностью расчета". Зная форму колебания, можно теперь подсчитать значения мр( и ((а, эти величины будут квадратичными фора(аыи относительно параметров а„. Тогда условие стацнонарности (25.2) приводит к системе урав- нений — (па ~ — — ' =- О (г = 1, 2, ..., й).
(25.4) 2 да да Уравнения (25.4) являются линейными и однородными относительно параметров а,. Условие равенства нулю определителя системы (25.4) представляет собой уравнение частот Л(Р) =О. Это уравнение (е-)( степени относительно рз. Заметны, что если в выражении (25.3) для формы колебаний сохранить толю(о одно слагаемое, то единственное уравнение системы (25.4) будет тождественно с формулой Радея.
В качестве примера рассмотрим определение собственной частоты балки переменного сечения на двух опорах (рнс. 25.1). Располагая начало координат на левой опоре, можем записать закон изменения массы единицы Рис. 25.! длины балки т, и момента инерции поперечного сечения л' в виде п)а = и), [1 — г((21)[, а' = а'е [1 — г!(21)), где т = р2ЬЬ; л = 2ЬЬа)12. Зададимся формой колебания, включающей два параметра: ч Для того чтебы при )( -е сор(тление задачи стрсмилось к точному, система координатных ф)нкний должна быть полной. Вычисляем: а) тз, ЕЗ т,Š— '=йг д! яро ! Ф ЕУ т,Е ! 09 Рро 6) т.Е тЕ тЕ тЕ тŠ— Р=!Е99 Р, Ррр Рит 26.1 Рит 28.2 201 ' 3 з 8 3 йиз = ~ т„и'(г) дг -= тлЕ 1 — ' а —,' — а,аз+ — а' ), 8 ! 9лз ' 8 '/ 2 !дгз) 2Ез18 ! 9з ''-' ' з~ о Система уравнений (25.4) получает такой вид: 2 ~ 4 9лз р 2Ез 4 ' 9лз ! Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получим частотное уравнение — (а — 1) — (и — 4) 3 8 4 9лз Р тз з Ез' 8 з 3 з =0 (а = — ).
, '— (а — 4) — '(и — 16) лзЕ/ ~ 9лз Корни полученного квадратного уравнения составят и', = 0,9913, а, '= 16,14. Следовательно, собственные частоты балки: Ез! =-= азлз 1' Еоз зЕ(т„Е!) =- 0,9957лз ) Ерз:,Е(т.„Ез), рз=, ' ! Ег зр! '|! =40!7л' ! Зрр(,р! . й 26. ПРЯМАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОИ. МЕТОД КОНЕзЕНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Рассмотренный в предыдущем параграфе метод Рэлея — Ритца позволяет свести расчет системы с распределенной массой к расчету более простой системы с конечным числом степеней свободы. Часто, особенно при численном расчете, такой переход к системе с конечным числом степеней свободы выпо.лняется заранее — до проведения расчетов. Имеются различные приемы перехода от систем с распределенной массой к системам, обладающим конечным числом степеней свободы.
Простейшим является прием замены распределенной массы системы тем или иным количеством сосредоточенных масс, участвующих лишь в поступательном движении соответствую:цих точек, т. е, не обладающих инерцией поворота. Так, например, прн расчете балок и рам длину отдельных элементов разделяют на участки, причем массу каждого участка длины Е либо сосредоточивают в его середине, либо разносят по концам, как это схематично показано на рнс, 26.1 для участка постоянного сечения. На первый взгляд может показаться, что схема рис. 26.1, в сложнее, чем схема рис.
26.1, б, так как масса участка заменяется двумя точечными массами, а не одной. Однако это не так. При объединении участков массы, соответствующие концу одного и началу соседнего участков, суммируются, так что при разбиении балки на п участков на ней будет всего и + 1 точечных масс. С уве- лнчением числа точечных масс, которыми заменяется распределенная масса системы, растет точность расчета низшей частоты системы и увеличивается число высших форм и частот колебаний, которые могут быть изучены. В качестве иллюстрации на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
