Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Задают нулевое приближение для второй () ормы в виде и( ' =- и(" + аи, ! (о> где и, — подходящая форма, а коэффициент а определяется из ус- ловия ортогональиости жч (е) Ьь( т(в( и>, = О, (=! откуда а ( а (е> (=! ~=-! Дальнейшие вычисления нс отличаются от вычислений при определении первой формы колебаний. В результате этих вычислений находят форму перво~о приближения гз(!) и соответствующую частоту гз(>> ь колебаний. Следует отз(етит»ь что вследствие неточности расчета ф р гз может оказаться не ортогональной к первой собственной форме и!.
Поэтому, прежде чем переходить к расчету второго прнбли>кения, необходимо ортогонализировать и(!> и в качестве исходной для второго приближения принять форму и' '= »а„+ а(и„ (!) где а! = — ~~ т(п, и(, ~~ т(ц„ (=! (=! М етод последовательных пРиближений пр годен дл тот соб'тасиных колебании Нуж каждый раз задаваться формой колебаний, ортогональной ко всем предыдущим собственным формам. Однако для частот выше второй этот метод в таком виде применяется редко вследствие сложности вычислений и медленной сходимости.
С помощью метода последовательных приближений можно вычислить любую собственную частоту и собственную форму системы, воспользовавшись приемом сдвига спектра частот, изложенным в 2 13 (см. с. 107). В самом деле, из формулы (27.8) следует, что метод схо- 2>! дится к той форме колебаний, которой соответствует минимальная по модулю частота. Поэтому если с помощью сдвига спектра сделать квадрат частоты, соответствующей искомой собственной форме, минимальным, то расчет будет сходиться именно к этой форме. Пусть иас интересует форма колебаний, квадрат частоты которых близок к с>'.
Тогда следует вместо заданной рассмотреть модифицированную систему, матрица жесткости которой г, = г — а>'т, где г и т — матрицы жесткости и массы заданной системы. (В данном случае в отличие от 2 13 к системе присоединяются отрицательные жесткости.) Как показано в 2 13, собственные формы модифицированной и заданной систем одинаковы, а квадраты частот отличаются на (а': г Р.ь = Рг, Следовательно, наименьшая по модулю частота модифицированной системы отвсчаст той форме колебаний, квадрат частоты которых (в заданной системс) ближе всего к и'.
К этой форме и будет сходиться расчет модифицированной системы методом последовательных приближений. Сам расчет модифицированной системы выполняется обычным способом в соответствии с формулой (27.4) и('+'>= (р. (с>)сб ти('>, причем матрица податливости модифицированной системы 3, =- г. ' =(г — а>зт) > = (й 2 — о>зт) ', (27.9) где й — матрица податливости заданной системы. Последовательные приближения для квадрата частоты можно определять по формуле Рэг(ея: (+»]з ( 0>)г( (с+(>)т в( > ( (1 (с+»)х (с+») или проще: о+~>)г ( (с>)ги( >7и('+» где и; — перемещение в характерной точке. Заметим, что модифицированная система неустойчива. Поэтому р', может быть как положительным, так и отрицательным, Соответствующая найденной форме колебаний частота заданной системы составляет Р= ~' *+Р.'.
(27.10) Большей частью для определения перемещений на каждом этапе последовательных приближений используют численные методы интегрирования уравнений деформации, реализуемые на ЭВМ или с помощью ручного счета. Ниже рассмотрен пример расчета частоты собственных колебаний консольной балки переменного сечения (рис. 27.1), 212 Последовательность вычислений при ручном счете такова: 1. Задают исходную форму колебаний. 2.
Вычисляют интенсивность сил инерции в каждом сечении: (с>)г (м где Р(с> — пРоизвольно заданнаи частота; тс — масса единицы длины балки. Рис. 27.! 3. Подсчитывают поперечную силу в каждом сечении: (с' (г) = — ) (>()г. (27. 11) Пределы интсгрирования выбраны так, чтобы обеспечить выполнение граничного условия Я(1) =- О. 4.
Интегрированием находят изгибающий момент в сечении: М(г) = — ~ (;>((г. (27.12) Пределы интегрирования здесь также обеспечивают выполнение условия М(1) = О. 5. Определяют кривизну упругой линии балки в каждой точке: х(г) = М(гЯЕг (г)1. 6. Определяют угол поворота касательной: (27.13) с 8 = ~ х()г (27.14) о Эго выражение также удовлетворяет граничному условию 0(0) = 0 7. Вычисляют прогиб первого приближения: и( > =- ~ Обг. а 2!3 8. По формуле (27.1) вычисляют частоту собственных колебаний. На этом заканчивается расчет первого приближения. Второе и последую:цие приближения рассчитываюг в той же последовательности. Подробности вычислений видны из числового примера.
! ,:,-0! »го'! 'в ,-0! „-0 !. и Пример. Требуеуся определить низшую частоту колебаний бруса, представленного на рис. 27. ! (лопатки газовой турбивы). Р е ш е н и е. Разделив брус на 10 участков равной длины по Л = 1/!О = = 2,04 см„для каждой точки деления определим момент инерции 4' и площадь Р поперечного сечения. Соответствующие значения жесткости ОУ и массы единицы длины »па выписаны в графах 2 и 3 табл.
27. 1, причем принято р == 7,8 104 кг,)мз, Е = 2 10" Па. В качестве нулевого приближения формы колебаний, удовлетворяющего геометрическим граничным условиям, принята парабола О »О О О ВО С »О С- О» »О 34 С . »О Ч » 3 СЧ с» с о с о о о о с о с о СЧ С СО СО О О О С 3 О 3' С'3 С4 СЧ О вЂ” СЧ ". О» О с о о о о сч сч о о о о о о и (г) = (г!!)з. (0) Значения и(0) приведены в графе 4 табл. 27. 1. Исходя из произвольно заданной частоты р(0) = 400 с 3, в гра. фе 5 табл. 27. ! подсчитана интенсивность нагрузки (1=[Р 1 аои Графа 6 таблицы служит для вычисления поперечной силы: — Я[г)=~ д()г. Интегрирование выполняем по формуле трапеций, так что значение — Я для сечения г определяется как С4 СО СО С О» — СЧ С4 СО СО ОО с ° -о(,га ! и СР СР )= и пр О; о о О » .и !~и 0 , О! .ГО ! ! 2Р—,,[ = в СР пр (!) СЧ О» О СО в С О о» Со оо 3 со со П СО С'» О О С4 П» 44 СЧ С'3 С» СО СО .О с'3 О со 3.О »О» С'3 О» СО С'4 3 С'3 С» С3 С3 гч в-О! »гс !'3-'4 И Л вЂ” 33! = — (ча+ 2дь т+ 23)а в+ "° + 24(„+()!), \ СЧ СО 4» о» с» , 0(,ГО !.и Н в- с с- о С4 СО СЧ грь) — =н ! 0! Щ'! Н О 3 П» Л О О вЂ” О С4 О» С» С» СО 3 3 »О С »О СЧ с» »О »О СО СО О» вр ь 1=д— (0) ! 3 С» СЧ О' о 1 ! »О С сп 3» О: о о оо и» СО» С'3 о о о о о о о о о (0)пс с[<о) 1 (0) СП С »О» О» П О О вЂ” СЧ й» Ч О О» О о с» о о о о о »-0! и ' и о о о о о 3) ! Ч» 44 О» 3' С» О С'4 ОО О СО С С Ч' 3 4' О О СП О СО С- 3 О 30)чи»з Л! 3- Ь 3 С О ОО 3- О О О О СО О Л »О 3'О С 3 С'4 С» С» '» '4' »О 3 С» 0! иН'Гн гп 14,9 =400 ~/ =5,9с-!.
7,13 <!) <о) Р =Р сч с о С3 »О а О ос СЧ »О О СЧ СЧ со СО СЧ П О СО О СЧ ° О! и '2 о сч где й — последняя точка деления, соответствующая свободному концу бруса. Вынося й!2 = 1,02. 10 2 м в общий множитель графы 6, можно определять цифры этой грзфы простым суммированием по схеме кольца. Так, например, что- бы получить число 3,673, стоящее в девятой строке графы 6, нужно к ниже стоя- щему числу 1,957 добавить числа 0,92 ! и 0,795, как это схематически показано стрелками в табл.
27.1. Далее, точно таким же образом по формуле (27. 12) подсчитываем изгибаю- щий момент, значения которого приведены в графе 7 таблицы. Изгибзющий ьюментв каждом сечении делим на жесткость(графа 8) и полученную вели- чину интегрируем для определения угла поворота касательной к упругой линии [см.
формулу (27. !4)). Вычисление 0 = би»бг (графа 9) снова производим суммированием по схе- ме кольца, но теперь уже сверху вннз, Интегрируя таким же образом е це раз, находим первое приближение и(!) (графа 10). В графах 11 и 12 вычислены произ- ведения мои(фи(!) и то[и('))'"'. По правилу трапеций определены интегралы: ! (0) (!) тои и бг = 14,9 ° 10 ' кг ° мз, 0 [ то [ и(!)) бг = 7,13 1О т кг мз. а Первое гриближение для угловой частоты собственных колебаний вычисля- ется по формуле (27.
1); 214 215 Чля следуюшего приближения следует повторить вычисления, использовав в качестве исходной полученную форму Ш!>. Второе приближение приводит к значению угловой частоты р!з>= 575 с т Если для расчета пользоваться пе формулой (27.2), а формулой (27.31, то для первого приближения пол!чнм р = 594 с т (нместо 597 с '), а для второго приближения р = 576 с"т (вместо 575 с '). В формулу (27.3) ввесены прогибы при г = !. Таким образом, сели ограничиваться одним приближением, целесообразно пользоваться формулой (27. О, а при нескольких приблизкениях можно пользоваться более простой формулой (27.3), так как при этом отпадает необходимость в вычислении граф 1! и !2 расчетнои таблицы. В рассмотренном примере при определении прогибов удалось благодаря соответств)ющему выбору пределов интегрирования сделать равными нулю все постоянные интегрирования.
При других граничных условиях этого сделать не удается. Рассмотрим, например, порядок ручного расчета балки переменного сечения на двух шарнирных опорах (рис. 27.2). В этом случае посла определения интенсивности нагрузки (графа 5 расчетной таблицы) вычисляют поперечную силу с точностью до неизвестной постоянной, равной опоргюй реакции: Я(г) — С, = ~ г]г]г. о Интегрирование выполняют численно сверху вниз. Затем пов торным интегрированием вычисляют величину е 1! (г) =- [ [(Е (г) — С,) г]г =- М (г) — Сзг. о Доведя интегрирование до крайнего правого сечения и учитывая, что момент в этом сечении равен нулю, находят величину С, =.
— 1,(Е)11, после чего в соответствующуюграфутаблицы заносят значение момен та М вЂ” 1, (г) — 1, (Е)г11. Затем определяют кривизну: к =. МЕ(Е1). Вычисление прогибов ведут таким же образом: сначала интегри рованием находят а —" — С, =. ~' кс]г, е1а в 216 затем после повторного интегрирования определяют -Г би 1е (г) = ~ ]( — — Сз~ г]г = и (г) — Сзг. о йз Константу С, находят из условия закрепления правого конца стержня: С, == — 1,(Е)ЕЕ, после чего вычисляют прогибы в любол! сечении: и(г) = 1з(г) — 1з (Е) г11 В остальном расчет не отличается от расчета консольного стержня. Приведем расчет собственной частоты рассмотренной выше консольной балки с применением ЦВМ, В этом случае вместо последовательного вычисления интегралов целесообразно определять прогибы интегрированием системы дифференциальных уравнений первого порядка: йи йй М дм йф — = 0; — =- —; — =- Я; — ' =- г). йа йа Еу бг Лг (27.15) гг? Для расчета прогибов при заданной нагрузке нужно выполнить всего четыре интегрирования системы (27.!5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
