Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(28. 13) 1 Вз: 5рАВ ~ ~Ут т8~ ,В'зсм ' 7 !!' 1=1 2'=1 ат пер (28. 15) В, = 1(р! + 1(рз —' ,?(рз ч(- отсюда 2 2' ! „— В„= — 'В., — — +., 222 Вычисление следа матрицы А' не представляет значительных трудностей. Обозначая ЯрА" =- В,, будем иметь, например, при диагональной матр!ще масс: В В В Вз = — ЯрА'.= '~' Ъ~~' т(т.т "31"ь„3В2 З=11'=11=1 и т. д, При числовом расчете проще не пользоваться готовыми формулами для следов В,, а фактически вознодить матрицу А в степень з, после чего вычислять сумму элементов главной диагонали. Соотношение (28.12) позволяет получить следующую приближенную формулу для низшей собственной частоты: р, = ~У'~~В„, (28.
14) причем эта формула определяет нижнюю границу частоты, так что 2. в действительности р, ) ?2 1~В.. Формула (28.14) тем точнее, чем больше зи при 2 =- 1 она совпадает с формулой Донкерлея. Для двусторонней оценки частоты рассмотрим следы матриц А' и А' (вторая из матриц получается возведением в квадр вой) — В, н Вз,! В, = 1/р!'-1 1/рз'+ 17рз'+ Возведя В, в квадрат и вычитая Вз„, получим 2 2' 1, ! 2 Р( Рз Рз Р! Рз где  — положительная величина порядка 2((рз'р~з') . Решим полученное квадратное уравнение относительно 1/рз21 1(р!' = '72 ~В2 + ) 2В22 — В, + 2В ~ .
Отбрасывая здесь е, получаем верхнюю оценку для низшей собствен- ной частоты: Таким образом, вычислив В,, Вз„можно определить следующие границы первой частоты: 2 2 2!В, <р< 2 2((В 2 1 2В,— В(1 . (22А21 При этом нижняя граница определена с неточностью порядка (р(урз)~'((42), а верхняя — с неточностью порядка 2(р!!(рзрз)1! 1(22) по сравнению с единицей. После того как первая частота собственных колебаний определена с достаточно высокой точностью, можно перейти к вычислению второй частоты. ??утем анализа зависимостей (28.15) можно убедиться, что для оценки второй частоты (р,) в формулы (28.16) следует вместо В, и Вз, внести величины В, =- В, — 1!р~!", В*з, = Вз, — 1?р!'".
Если р, определено абсолютно точно, то после такой замены формула (28.16) даст границы второй частоты. Если имеются лишь приближенные значения рз,то в левую часть неравенств (28.16) следует подставлять верхнюю оценку рь а в правую — нижнюю. Аналогичным образом можно далее определить и границы последующих частот.
Для получения границ частоты рз следует в формулы (28.16) вместо В, и Вз, вносить  — 1 З вЂ” 1 В = — '~' 1, В,В=В,— ~~ — ! , ! Р," 2=! !2 Однако границы для высших частот получаются широкими, а вычисления затруднительны в связи с необходнмостьюподсчета малых разностей. Для получения надежных оценок высших частот предыдущие частоты должныбыть вычислены с существенно большей точностью (за счет больших значений 2).
Если ограничиться только вычислением следов В, и Вз, то по формуле (28.16) получим следующие границы первой частоты: у' 1!Вз < рз< р 2/(Вз-+ ?' 2В — В, ) . (28.17) Для второй собственной частоты, зная Взи Вз, можно установить только нижнюю границу: ) р,~ (' 22(в,— 1'в,!.
(28.18) Рассмотрим пример для балки с тремя грузами, рассчитанной вьцпе (см. с, 103)1 13! (В!з В1 = т1811+ Р!2822-~ !пз8зз =-— 3888 Ез' Ре ) 19,07 )' Е//(пг/з) . Точное значение теР 2тт„ Вз + 9(ЕУ) з 36 (ЕЮ) з 2т е Зб (Е/) з ~ г' (Згг — г) ' бгдгг = во +560 ( —,) ~ откуда, согласно неравенствам (28.17), о а Рз ) 20,3 1' ЕУ/(тв/4) .
Точное значение: Рз = 22 0 )ЛЕУ/(то/4), г В, =т'н + ) т юбг, о 8 — 3!8 224 2 2 2 2 г г, г 2 г гг Вз — — тг Зп+ лгг Згз+ та Ззз т 2(т»лг»бш + лгзтзбзгз —; тзлг»бз»/ =- 14473 тгР (3888) з (Еу) "' Подставляя этн значения в неравенства (28.17), находим 5,685 Ъ/ Ей(тР) ( р, ( 5,698 )/ ЕИлгР) . Точное значение частоты, вычисленное выше, составляет р„=- )~ (3888/120)[Е,//(л»Р/) = 5,692)/Е//(л»1з) . По формуле (28.18) определяем нижнюю границу второй частоты: рз —— 22,045 )г Е.//(л»Р) . Приведенные формулы для частот собственных колебаний могут быть использованы и для систем с распределенной массой.
В этом случае системы алгебраических уравнений типа (28.1) переходят в интегральные уравнения. Формулы (28.16)...(28.18) можно полностью применить и в этом случае, если при подсчете следов В, в формулах (28.13) заменить суммирование интегрированием, Так, например, для балки переменного сечения В» — — ~ те(г) Зг»»[гв о г г 2 Вз = ') ~т,(г,)гл,(гг)З г[г»г[г„ г г г Вз = ~ ! ~ ш»(г»)»г»4(гг) те(гз) багвбг,гвбгвгвг[г»»[гзг[гз о во и т. д., где ш,(г) — интенсивность массы балки в соответствующем сечении; бг,г --перемещение в сечении г» от единичной силы, приложенной в сечении г/. В качествепримерарассмограмопределеииечастотысобогненных колебаний консодыгой балки постояаного сечения с присоединенной к ее концу массой т, учитывая распределенную массу балки интенсивностью тв, Так как здесь имеются как распределенная, так и сосредоточенная массы, В» н Вз определяются фор- мулами » г г з е " з з Вз =т в»»+ 2лг ~ вио"»»!г+ ! 1 л»овг г бгбгг, о о' о Подынтегрзльная функция н последнем интеграле является симметричной, поэтому интегрирование по квадрату 0 М г ~ 1; 0 ~ г, ~ 1 можно заменить интег- рированием по треугольнику 0 ~ г ~ г,; 0 м: г ~ 1: ( гг, ,З„б.б г = ~ ~ т,~„бгбгг о о о о Коэффициенты влияния имеют значения: о㻠— — 1зДЗЕХ), ггг — гз/(ЗЕ/), З» = [1/(6Е7)! гз (31 — г), ь,, = [1/(ОЕ4')! г'(Зг, — г) (при г ~ г,).
После интегрирования получаем: т/з т„г »не!' / 4л» В,= — + —" "гзбг ' '1+ ЗЕ3 ЗЕ/ ) !2Еу (, тв/ / о ) г' (31 — г) '-' бг + е то/ т 5040 (Ез') з 33 + 264 — -1- тз/ Теперь можно по формуле (28.!7) определить границы первой частоты при любом отношении тДт,1). В частности, если груза на конце балки нет (т =0), получим: В, = те14/(!2ЕУ), Вз = (33»5040) [тРз/(ЕУ)'1, 3,5!54 ) ЕУ/(те/4) ( р» ~ 3,5!62'Р Е//(те/4) . Дли второй частоты по формуле (28.18) получаем й 29. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОДАТЛИВОСТЕЙ ! И ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ ! При исследовании гармонических (свободных илн вынужденных колебаний сложных систем их часто удобно разделять на более простые подсистемы.
Отделение (изоляция) подсистем друг от друга может быть достигнуто либо устранением связей между ними (метод динамических податливостей), либо, наоборот, введением дополнительных связей, запрещающих перемещения общих точек (узл подсистем (метод динамических жесткостей). В первом случае по направлению отброшенных связей приклады- (! вают их реакции, которые затем определяют нз условий совместности деформаций подсистем. Эти искомые реакции также меняются по гармоническому закону. Во втором случае закрепленным узлам сообщают гармонические перемещения, величины которых определяют затем из условия равенства пулю суммарных воздействий на узлы. Таким образом, имеется полная апалогия между методом дивами- ческих податливостей (жеста) костей) и методом сил (перемещений) в строительной механике.
Разница состоит в том, что в строительной механике рассматриваются статические, а здесь гармонические воздействия на систему. Поэтому рассматриваемые в настоящем пай) раграфе методь! часто называют А б Хссзв7 методами гармонических коэффициентов влияния. Наиболее просто удается использовать эти методы, если система разделяется на две подсистемы путем устранения одм ной связи или внесения одной Рис. 29Д дополнительной связи.
Рассмот- рим несложный пример. Требуется определить собственные частоты и формы колебаний системы, состоящей из консольной балки с равномерно распределенной массой и груза т, связанного с балкой и основанием пружпнамп, массой которых можно пренебречь (рис. 29.1, а). Для определенности обозначим: масса единицы длины балки т„ жесткость сечения ЕУ, лзасса груза т =- то1, жесткость каждой из пружин с =.= ЗЕ.)Дз. Расчленим систему на две подсистемы: А — балку и Б — груз с пружинами (рис. 29.1, б). Взаимодействие между подсистемами осуществляется вертикальной силой, изменяющейся при собственных колебаниях системы по гармоническому закону Хсозвй Условие совместности деформаций в связи с линейностью системы имеет вид ХЕ!!'! (в) + ХВ! ! (в) = О б оп)!) об'б) — б б бв .!) состоящей из груза и пружин, т.
е. амплитудные перемещения точек приложения силы Х при действии единичной гармонической силы. Таким образом, частотное уравнение системы можно записать в виде О!'!(в)+ О! '(в) = О 226 Ф) ссзв7 получаем для амплитуд- ной функции и(г) выра- жение а) и(г) = С,К,(аг)+ + С,Кз(аг) + С,Кз(аг) + + С,К, (аг) (29.1) (а = )с' товзl(Е)) ) . Рис, 29,2 Постоянные определяем из граничных условия: г=О: и = О; с)и/бг = О, с(зиЯгз = О бзиЯгз == — 1!(Е,() Отсюда С,=-О; С,=О; Сз —— (17(а Е,ГЛ)) Кз (л); Сл —— — (1бб(а~ЕГЛ)] Кб(л); Л.= К1(Л) — Кз())К,(Л) = 172(1+ сйлсозЛ) ~ Л = а) = р' т„!4~а/(Е3) ! . Таким образом, амплитудные перемещения определяются выраже- нием и .—.— (1/(а Е/Л) ) (К, (Л) К, (аг) — Кз () ) К4 (аг)!.
Г!еремещеыие прн г =1-равно динамической податливости л)~ !(в): р! '! (в) = 1!К(зЕЗЛ) ) (Кз (Л) кз (Л) — К 4 и Кб (Л)). После упрощений получаем ))!!! Р ! сь Л з!и Л вЂ” бь Лсоз Л (29.2) Ег Лз ! +с!4ЛсозЛ где зависимость податливости от частоты входиттолько через безразмерный параметр Л. Теперь рассмотрим груз с пружинами (рнс. 29,2, б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
