Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В качестве примера рассмотрим раму, представленную на рис. 29.11. Основная система отличается от заданной и) введением дополнительной угловой Р, сосссг связи в узле. Уравнение, определяющее амплитудный угол поворота Х в узле, имеет вид о) ( соос!С л ссссо г о) о л и ( сосо!Г Х фл, рв 1 рв) ) (( () (29.5) Чтобы найти (с!р„следует рассмотреть балку Б (рис. 29.12, а). Решение этой задачи дает ск (Л(2) — со!(Л(2) 2 ),(си (Л(2) оп (Л(2) + ок (Л(2) сои (Л(2)1 [Л = )/ сло(!сои((ЕУ)1.
)Аля стержня А задача определения )си сводится к нахождению А гармонического момента, необходимого для получения единичного угла поворота (рис. 29.12, б). Выше (см. с. 231) решалась обратная задача. Используя полученное там решение, находим лл ! Е2 сь Л Мп Л вЂ” л11 Л соо Л лп = — — — — ). ()л и си Л сои л + 1 Для определения жесткости К„, следует рассмотреть задачу (рис. 29. 12, в), что приводит к выражению В 4Е2 Л с!!Лыл Л вЂ” лиЛсолЛ и— ! 4 ! — сЬЛсооЛ Очевидно, что (с„= (л'„. При известной частоте изменения силы со, (сс! и (с!и — известные величины и определение амплитудного угла поворота Х из уравнения (29.6) не вызывает затруднений.
Для определения собственных частот системы нужно положить Р = О и найти частоты, при которых удовлетворяется уравяение юли ь ((„+ Лви 6 (29.6) Заметим, что если уравнение (29.6) решать в виде ДА 2)~Б то оказываются утраченными корни уравнения (29.6), соответствую(л!! = -+со, ')Си = +-оо. в, в При этих значениях стержень А не участвует в движении, а стержни Б и В колеблются в противофазах (рис. 29.13). Частоты этих видов собственных колебаний системы совпадают с собственными частотался балки с заделанными концами. 30. МЕТОД НАл!АЛЬНЬ)Х ПАРАМЕТРОВ Общие положения. Метод начальных параметров представляет собой алгорнтм, позволяющий при данной частоте колебаний ко известным значениям перемещений и внутренних сил в начале участка определять значения тех же переменных в конце участка. Переходя таким образом от участка к участку, можно дойти до границы рассматриваемой системы, где перемещения или силы связаны условиями закрепления.
Метод этот для линейных систем является универсальным; он применяется для расчета колебаний стержней, состоящих из ряда участков с различными жесткостью, массой, сосредоточенными грузами, и т. п. Метод может быть использован также для расчета колебаний пластин и оболочек, если соответствующие задачи удается описать обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для того чтобы применение метода начальных параметров давало существенную выгоду, расчет следует проводить полностью в числовой форме. Проведение вычислений существенно упрощается при применении матричной симвоа) лики (матрицы перехода).
1, 1, 1, 1, В настоящем параграфе сущность метода излагается сначала на примере простейшей задачи о кр утильных колебаниях вала с дисками (метод Толпе). Затем дается матричная формулировка месь~ь(с( ' русиьс 1;,, тода начальных параметров и рассматривается его применение к расчету колебаний Г(. ней. Дальнейшие подробности содержатся в 13, 23, 25!. Расчет крутильных и проРис. 30.1 дальных колебаний цепных систем с сосредоточенными параметрами. Рассмотрим свободные крутильные колебания вала с рядом дисков (рис.
30.1, а), причем собственную массу вала учитывать не будем"'. Движение с-го диска, момент инерции которого 1ь определяется уравнением а) 1 с1с х; = иссозр1, где р — частота собственных колебаний. Момент сил инерции этого диска — 1схс = Рв1схс направлен в сторону положительных углов х. Амплитудное значение этого момента равно р'1;ис. Поэтому (рис, 30.1, б) амплитудные крутящие моменты в сечениях до и после с-го диска связаны соотношением Мь с+ = Мс, с) — Р'1сис. (30.1) С другой стороны, амплитудные углы поворота двух соседних дисков различаются на величину угла закручивания участка между ними ис,с = ис+ Мс,сьс/сс, с+с (30.2) где сс, с+с — крутильная жесткость участка вала сс, с+с = (01р,с()с."с ьс * В виде валов с рядом дисков обычно схеиатизируются коленчатые валы двигателей.
В применении к таким валам метод начальных параметров называют методом Толле. 236 1~ Задаваясь углом поворота первого диска, например ис =-1, и учитывая, что левее первого диска крутящий момент отсутствует ( Ие.с =- О), можно, последовательно применяя формулы (30.1) и (30.2) к каждому диску, дойти до крайнего правого и-го диска и вычислить крутящий момент за ним М„,„,, в функции частоты р. Так как этот момент в действительности равен нулю, то таким образом мы получим уравнение частот. Однако такой путь является довольно сложным и приводит к уравнению и-й степени относительно рз, решение которого также затруднительно. Значительно удобнее решать подбором непосредственно систему уравнений (30.1), (30.2).
Задаваясь числовым значением Ра и и, = 1 и переходя по формулам (30.1) н (30.2) от диска к диску, вычисляют М„,„,, Повторяя такой расчет при нескольких значениях пз, строят график зависимости момента М„ „,, от р'. Точки пересечения этого графика с осью абсцисс определяют собственные частоты систелсы. Для такого расчета разработаны удобные таблицы (таблицы Толпе). Заметим, что после определения собственной частоты легко определяется и соответствующая форма собственных колебаний, т.
е. величины иь М, ссл во всех характерных сечениях системы. ' Метод начальных параметров можно использовать и для расчета вынужденных колебаний системы под действием гармонических моментов. Пусть нп диски действуют сннфазные возмущающие моменты рлсозю1. Тогда, представив перемещения в виде хс = и,созЫ, получим связь между амплитудными крутящими моментами до и после с-го диска: (30.3) Мс с+с = М; с с — озз)сис — )сс. ' Уравнение (30.2) справедливо, конечно, и в этом случае.
' В отличие от задачи расчета собственных колебаний при расчете вынужденных колебаний частота ы известна и искомой является форма колебаний. Таким образом, если левый конец вала свободен, следует выбрать такое значение ис, чтобы удовлетворялось граничное условие, на правом конце. Так как уравнения линейны относительно амплитуд, здесь нет необходимости пользоваться методом подбора. Чаще всего применяют так называемый м е т о д д в у х р а с ч ет о в. Метод состоит атом, что сначала задают произвольно амплитуду колебаний первого диска (например, можно принять ие, = 0), после чего осуществляют переход от сечения к сечению по формулам (30.2) и (30.3) и находят значения и* и М* на правом конце вала. Таким образом получают частное решение неоднородной системы уравнений, соответствующее действию возмущающих моментов рь Это решение не удовлетворяет граничному условию на правом конце вала.
Затем конструируют решение однородной системы уравнений. Для этого задают отличное от нуля значение амплитуды первого диска (например, ис = 1) и осуществляют переход от сечения к сечению по формулам (30.1) и (30.2), полагая в них р =ос. В результате язв расчета получают значения и** и М** на правом конце вала. Общее решение состоит из частного решения неоднородной задачи и общего решения однородной: и~ = — и~+Си;, Мь г+~ = Мп ~+1 —, Смь г+1 . Постоянную С определяют так, чтобы решение удовлетворяло граничному условию на правом конце системы.
Так, если этот конец свободен, то С = — Мьйм**. В случае заделки С = — и"Уиа*. Если возмущающие моменты, воздействующие на диски, имеют разные фазы, то их всегда можно представить в виде (л;соз(ля'+ т,) = Вссозо1+ р~з(пог, где р; =р,совам р, =- — р,вйпаь с 3 Затем по приведенной выше схеме отдельно решается задача о действии моментов рс и о действии моментов )лз . Таким образом, в этом сы с Рис, 80.з случае придется выполнить всего три расчета: расчеты неоднороднои задачи при возмущаюших моментах рс и рз и один расчет однородной задачи.
Ввиду полного тождества уравнений крутильных и продольных колебаний метод начальных параметров в рассмотренной форме может быть применен и к цепным системам типа показанной на рис, 30.2. При этом угловые смешения заменяются линейными, моменты — силами и мол1енты инерции — массами. Матрицы перехода. Формулы перехода от сечения к сечению, характерные для метода начальных параметров, можно представить в матричной форме. Амплитудные значения перемещений и внутренних сил в каком-либо сечении (1) системы можно характеризовать матрицей-столбцом (или вектором ) Хь В рассмотренном выше случае крутильных колебаний вектор Х; (вектор состояния) — дву- мерныи: Тогда формулы (30.1) н (30.2) можно трактовать как формулы матричного умножения: х = м х;; х;+ =- м; „+,х;, где 0 М 1 с,,+1 — квадратные матрицы. Следовательно, переход от сечения к сечению осуществляется путем умножения вектора состояния Х на матрицу перехода М, Весь переход от крайнего левого к крайнему правому сечению вала можно представить в виде Х,',= М(рз)х,, (30,4) где М (р") = М„М и, М„, ...
М,,̄— матрица перехода, являющаяся произведением всех промежуточных матриц. Заметим, что при заданном значении частоты р все матрицы являются числовыми и их вычисление не представляет труда. Если левый конец вала свободен, то вектор Х, известен с точностью до множителя. Можно принять, что х, =~~~). (Это значит, что мы принимаем и, = 1, М, = — О.) Если и правый конец свободен, то вектор Х' должен имет ь вид (30.5) Х„'= ®. Следовательно, определение собственной частоты сводится к подыскиванию величины р', при которой матрица М(ра) осуществляет преобразование заданного вектора Х~ (30.4) к вектору Х„(см. формулу (30.5)1, один из компонентов которого известен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
