Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Этап цели служат рекуррентные формулы, позволяющие рассчитывать динамические характеристики системы, состоящей нз 1+ 1 элементов, если характеристики системы, состоящей из 1 элементов, известны. Могут рассчитываться динамические податливости, жесткости или другие, более сложные характеристики системые. В качестве простейшего примера применения метода прогонки рассмотрим крутильные колебания безмассового вала с дисками, вызываемые гармоническими моментами [ь;созез1. В предыдущем параграфе эта задача рассматривалась методом начальных параметров.
Угол поворота каждого сечения вала и крутящий момент в нем меняются по закону х, =и,созез1, Мкр — — М,созе)1. Рассматривая часть вала, лежащую левее 1-го сечения (рис, 31.1), * Впервые, но-аиднмому, нэриант метода прогонки применительно к расчету крутильных колебании валов (метод цепных дробей) был предложен еще э 1950 г. В. П. Терских. Для многосаязных систем этот метод а варианте динамических жесткостей и нодатлнаостей изложен н работе [231.
251 получаем Отсюда ( Вс+» — 1/сс, с+2 — Вс/ Мс, с+с =ис, о — ис+»,о Ц~ » — — Вс+ 1/сс сч», ис+», =и»,о' (31.4) (31.6) (, 252 можно считать, что поворот сечения вызван моментом Мс и возмущаю. шими моментами р, приложенными к выделенной части вала. Учн. тывая линейность системы, можно написать и,=В;М,+и;,о (31.1) Здесь В с — динамическая податливость выделенной части вала; и,л амплитуда колебаний сечения при М; = О. В дальнейшем будем рассматривать сечения вала в непосредственной близости от диска.
При этом величины, относящиеся к сечению левее с-го диска, пометим верхним !22 ~ индексом, а величины, относящиеся к сечению правее диска, — верхним индексом". Выясним, как меняются величины В, и ис,о при по- 24» степенном наращивании выделенной Рис. 8!.! части вала. Очевидно, это наращи- ! ванне может производиться двумя э т способами — либо присоединением диска, либо присоединением участка вала. Равенства (31.1) для сечений левее и правее диска имеют такой вид: + + + ис = В»Мс — с. с+ и .
о, ис = Р»Мс, с+»+ ис, о' Учитывая, что й = й = и„М»,с».» = Мс»,с — »отис/с — рп и исключив М,, с и Мс,;+„получи.» ! и, (1 — Вс (1/Вс — сос/, )) = и;, о — Р, ( и;, о/Р; + !с с) Так как это равенство должно выполняться при любых значениях",„' возмущающих моментов, в частности при р =- О и, следовательно при )( и, = О, то справедливы следуюшие равенства: Р,= (31.2) — сс ° + 1/С», ипо =- Рс(и,.о/Рс ол рс). (31.3) ". Если присоединяется участок вала между с-м и (с'+ 1)-м дисками, исм=ис+М,с~»/сс,с»»', М+, =М;=Мс, -!» ° Исключая с помощью этих соотношений ии исзм из равенств ис = В;Мс„+с+ й,, ис»м = Р,+,Ми с+»+ й+... В» В 21 Рлс.
3!.2 Р = — + 1 1 См 1 1 1 1 +:. С,л — !2 Л (31.6) + ! 1 ! + Сс, — !»шо С,о о — ! л + В'— — ! + л 1 + 1 + С»3 1 ! ло+ 1 ! +: С»2 — !»ло Таким образом, для данной системы величина динамической податливости представляется в виде непрерывной дроби (31.6).
Собственные частоты системы соответствуют В'„- оо и, следовательно, определяются уравнением — 1„»оо -(- 1 1 — О. + 1 С л — »,л — !л »лс+ ° ° + ! + Со, 1 !ло 1„ 1, 1 + ссс — !»лл Лля расчета вынужденных колебаний следует при известной частоте о» вычислитьР'„и и'„, по рекуррентным формулам типа (31.3)... (31.5). Если правый конец свободен, то М„, „, = О и и+о представляет собой действительную амплитуду колебаний п-го диска (см. формулу (31.1)(. 253 Итак, преобразование динамической жесткости при присоединении к системе новых элементов осуществляется по рекуррентным формулам (31.2) и (31.4). Как и следовало ожидать, эти формулы не зависят от внешних нагрузок(с, воздействующих на вал.
Так, например, для показанного на рнс. 31.2 вала с дисками, применяя после- сл довательно формулы (31.2) и (31.4), находим: Г После того как амплитуда 11-го диска определена, амплитуды остальных дисков и величины крутящих моментов могут быть вычислены различными способами. Одним из способов является применение метода начальных параметров. С помощью этого метода теперь придется двигаться справа налево, поскольку иа правом конце и и и М известны. Другой прием состоит в расчете динамических податливостей й и величин ыа справа налево по тем же рекуррентным формулам (31.2)... (31.5).
После выполнения этого расчета для каждого сечения будут получены два соотношения вида (31.1): и =0М+ и„ (31.?) и = — — 0М вЂ” , 'ио. (Знак минус во второй формуле. связан с тем, что для правой части вала положительные направления крутящего момента и углов поворота противоположны.) Из двух уравнений (31.7) определяются и и М в отдельности. При расчете крутильных колебаний применение метода прогонки имеет, пожалуй, единственное преимущество — удобство анализа влияния параметров системы (жесткостей, моментов инерции) на динамические свойства системы.
Сам же расчет может быть успешно выполнен и методом начальных параметров. В более сложных системах (рамы, балки, оболочки) метод начальных параметров часто оказывается несостоятельным в связи с наличием быстро возрастающих решений и метод прогонки оказывается одним из немногих способов преодоления вычислительных трудностей. Рассмотрим метод прогонки в общей форме.
Пусть задана система, состоящая нз последовательно соединенных элементов (рис. 31.3). Система совершает вынужденные гармонические колебания под действием синфазных возмущающих сил. Места соединения элементов будем назынать сечениями. Для определения положения сечения в процессе движения нужно задать и перемещений. д а Например, для плоской рамы, показанной на рис. 31.3, при плоских ее колебаниях п — 3 (вертикальное и гоЯд ризонтальное перемещения и угол поворота), для рассмотренной выше задачи о крутнльных колебаниях п = 1. Число внутренних снл в сечении также равно п.
Следовательно, состояние сечения, т. е. амплитудные значения его перемещении и сил в нем, характеризуется 2п величинами, которые могут быть представлены в виде 2п-мерного вектора состояния Хт Х Хе Ха Этот вектор ьюжно разбить на два и-мерных: Х, 'Х„, Х. 1, Хии Так как порядок нумерации параметров произволен, то и физический смысл векторов Х„Х, может быль различным. Наиболее употребительны два варианта: 1) Х, — вектор, составленный пз перемещений; Х, — вектор, составленный нз внутренних сил; 2) Х, — вектор сил; Ха — вектор перемещений. Кроме этих вариантов возможны и любые другие комбинации параметров, входящих в Х, н Х,.
Часть системы, лежашая по одну сторону от сечения (например, левая), движется под действием приложенных к ней возмущшсщих сил и внутренних сил в сечении. Поэтому можно написать (31.8) !'~1 При первом варианте нумерации параметров матрица Е представляет собой матрицу динамической податливости выделенной части системы, о — перемещения сечения под действием возмущающих сил, приложенных к выделенной части системы*.
При втором варианте х. — матрица динамической жесткости, Ю вЂ” внутренние силы в сечении при условии его полной заделки. При других вариантах нумерации параметров разные элементы матрицы Е имеют различный физический смысл. Нашей задачей является выяснение того, как меняются матрица А и вектор Я при переходе от сечения к сечению. При решении этого вопроса будем считать, что динамические характеристики участка между 1-м и (1 + 1)-м сечениями известны, т. е.
известна зависимость между силами и перемещениями в 1-м сечении, нагрузкой, приложенной к участку, силами и перемещениями в (1 + 1)-м сечении. Эта связь выражается формулой Хп с" = МХп1 + Ф, (31.97 где М вЂ” матрица (2п х 2п) перехода для рассматриваемого участка; Л' — решение неоднородного уравнения его колебаний, отвечающее нулевым условиям в сечении 1 ' Именно атот вариант был использован выше при рассмотрении крутильных колебаний 1см. уравнение (31.1)1. ~! 255 Перепишем уравнение (31.9), разбив векторы Х, Л! и матрицу М на блоки: где Мы — квадратные (п )с п) матрицы. Разворачивая выражение (31.10), получаем: Х =М,Х +М,гх + Л); (г~-1) (О (и Хг = Мг»хг + Мггхг + Лгг.
((+и и) (1) Напишем также выражение (31.8) для сечений ! и г + 1: Хг" = г.»хг") + Юг, Х((+1) ~ Х(1+0+ ~ г Исключим с помощью равенства (31.12) Х(1) из уравнений =-(М„7.1+М„)Х, +М„~»+Лг»! и+1) (г) Хг ' = (Мг»А»+ М„) Хг '+ Мг»ег+ Л)г. Исключим из этих равенств Хгг): (31.11) (31.12) (31.13) (31.11): (31.14) е Этнм завершается процесс так называемой прямой прогонки, цереводящнй граннчные условна, заданные на левом конце системы, к ее правому концу.
(м!»Е г + Мгг) (Х! М»181 Л)1) Решим это уравнение относительно Хгп+ ): Хг =(М„Е»+ М»г)(Мг»7-1-ц М„) 'хго+ + '+ М»А+ л'1 — (М»17.1+ М»г) (Мг»С» + Мгг) '(Мг»Я» + л(г) (31.15) Сопоставляя равенства (31.15) и (31.13) и учитывая, что они должны выполняться при произвольных значениях вектора Х«гч.~) и при произвольных нагрузках на выделенную часть системы, находим: '».г+1 (М»»г-1+ Мы)(Маг+ Мг»г-1) яг„= (Мы — 7(г»мг») ю»+ Л(1 — 71„»л(г (31.16) Формулы (31.16) являются рекуррентными.
Они позволяют получить значения прогоночной матрицы 7. и вектора Я в (1 + 1)-м сечении, если в 1'-м сечении эти значения известны. Переходя по формулам (31.! 6) от сечения к сечению, получают значения Ьа и Яа для крайнего правого )г-го сечения", и, следовательно, зависимость Х("' = С,хг'"'+ За. (31.17) Магрнчное уравнение (31.!7) эквивалентно гг линейным уравнениям относительно 2п параметров, определяющих состояние гг-го сечения. '(ругие и уравнений доставляются граничными условиями в этом сечении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
