Бидерман В.Л. - Теория механических колебаний (1040510), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В этом случае удобно выбрать с помо'цыо преобразования (32.11) векторы уд и у' так, чтобы в один пз них (например, у;) входили только компоненты, обладающие свойством симметрии, а в другой (у() — косой симметрии. Тогда для симметричных относительно нулевого сечения форм колебаний в формулах (32.12), (32.13) следует принять с, = О, а для кососимметричных — с1 = О. С помощью приведенных зависимостей иногда удается определить формы н частоты колебаний циклических систем, нс прибегая к фактическому построению матриц перехода.
Пусть, например, имеется кольцо или правильная многоугольная рама, несущая т сосредоточенных масс, Требуется определить формы колебаний рамы в своей 268 плоскости. В качестве примера на рис. 32.7 показана рама с тремя массами. Совместим характерные сечения с центрами масс и ограничимся рассмотрением лишь тех компонентов вектора состояния, которые соответствуют радиальному и и окружному о перемещениям. Тогда вектор состояния будет двухкомпонентным: Х = С"„). н !'а'! 2 (О! Примем у. =! 1, у! —— ( (!, и ][ где постоянные а, Ь пока не определены. Тогда при симметричных относительно нуг левого сечения колебаниях (с, —..
1, с, =- 0) амплитуды колебаний в-й массы составят и, =- а соз](2я(/3) в], о„= Ь гйп!(2я(/3) в] Рис. 82.7 (/--О, 1; в = О, 1,2). (32.14) При кососимметричных колебаниях (с, = О, с, = 1) и„. =. азия](2я!/3)в], о„. = Ьсоз[(21((3) з] (! = 0,1; в — — 0,1,2). (32.18) 11ри ( = 0 симметричная форма соответствует и00 и10 и20 а о00 о!0 о20 Соответствующая форма чисто радиальных колебаний изображена на рис. 32.8, а. При ! .—. 1 и симметричной форме имеем: и„, = а; ип = асов(2я/3) =- — а/2; и„= а сов(4я/3) = — а(2; ем = 0; о„= Ьз!п(2я/3) = Ь]/3 /2; о„=- Ьз!п(4е/3) = — Ь1 3/2.
Имеются два соотношения Ыа, которые отвечают этим формулалк приняв Ь =- — а, получим: см — О, о„= — а! 3/2, о21=- а~ 3/2. Эта форма соответствует вертикальному перемещению кольца как жесткого (рпс. 32.85 в). Другая, ортогональная к этой, форма движет!я соответствует Ь вЂ” а. В этом случае о„= О, о!1= а] 3/2, о,1 =-- -= — а]' 3/2 (рис.
32.8, б). Кососимг!етричная форма прн ( = 0 приводит к ооо = о01 =- оог =— — Ь, и„= и„= им =- О, что соответствует повороту кольца как жесткого. При ! =-- 1 им = О, им = аз!п(2./3) = а и"3/2, и == а гйп(4п/3) = — а]/3/2; о„- = Ь, о„.-= Ьсоз(2е/3) = — Ы2, о,1 — — Ьсоз(4п/3) =- — Ы2. Прц Ь -= а получаем горизонтальное смещение кольца как жест- кого п прп Ь вЂ” а — форму колебания, показанную на рис. 32.8, г, 269 иод = а сов(!аз/2); о„= Ь з!и (!яз/2) (! =О,!,2; з =- О, 1, 2, 3). (32.16) При кососимметричных формах и, = аз!п(!яз/2); о„= б соз(!яэ/2).
(32.17) Три возможных перемещения рамы как жесткой характеризуются величинами: р . зг.в — ио = — о, =о,~О оо = ио = и, = О ио = 0 о —. вертикальное перемещение, оо и1 по ио о1 ио оо ч поворот. ио =- О~ "о=-оог ио= ио = и, = и, = д) у=! а) д) у=! и) у-г Риа 82.9 270 Таким образом, рассмотренная рама имеет три формы собственных колебаний и три формы движения как жесткая.
Зная формы колеба ния, нетрудно подсчитать и их частоты. Для этого надо, например, подсчитать потенциальную энергию при амплитудных силах иверию и приравнять ее работе этих сил (во всех случаях 3/2 гпроао). Для рамы с четырьмя груа) а д) замп (см. рис. 32.3) при сим- метричных формах колебания = — и ~О) горизонтальное перемещение„ "з = д) г) о) з) )=с /=г Формы собственных колебаний ортогональны к формам движения рамы как жесткой, что позволяет определить соотношения между и н б в формулах (32.16) и (32.17). Формы движения рамы, соответствующие различным значениям !, показаны на рнс. 32.9. В этом случае в соответствии с числом степеней свободы системы имеется восемь форм движения.
Три из них !б, г, д) отвечаютдвижению системы как жесткой, пять (а, в, е, лс, з)— се колебаниям. Количество разных собственных частот равно четырем, так как формам в и е соответствует одна и та же частота. ГЛАВА Ъ' КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Задача об определении частот н форм собственных колебаний пластин и оболочек приводит к необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, Наиболее хорошо изучены те случаи, когда оказывается возможным разделение переменных. К ннм относятся, в частности, колебания прялюугольной пластины, шарнирно опертой по противолежащим сторонам, зоптичные и веерные колебания круглых осесимметричных пластин, колебания цилиндрических оболочек, замкнутых или шарнирно закрепленных вдоль образузощих.
Если разделение переменных оказывается невозможным, больпзей частью для расчета используют приближенные и численные методы. В настоящей главе рассмотрены лишь простейшие задачи. Дальнейшие подробности, относящиеся к колебаниям пластин и оболочек, а также подробная библиография приведены в [18, 39]. З 33. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛАСТИНЫ ПОСТОЯННОИТОЛЩ1ЛНЫ Расположим оси х, у в срединной плоскости пластины, ось з направим по нормали к атой плоскости.
Дифференциальное уравнение статического изгиба пластины постоянной толщины 6 при малых перемещениях имеет вид где р — плотность материала, получаем уравнение движения 12р (1 — 1зз) дз: ! !р 1/ ~+ = = — з[(х, у, 1). Ерзг д1з О При свободных колебаниях нагрузка з[(х, у, 7) = О и решение уравнения (33.1) отыскивается в форме (33.1) й = пз(х, д)созр1. (33.2) 272 ~Ч". = 2(х, У)/О. Здесь !/г1/г — бигармонический оператор: С, — прогиб; ]З = Ейз/[12 (1 — [зг)] — цилиндрическая жесткость; зг(х, у) — интенсивность нормальной нагрузки.
Добавляя к внешней нагрузке интенсивность сил инерции з[з = — р/где/д/г, Подставив выражение (33.2) в однородное уравнение, соответствующее уравнению (33.1), получим для амплитудной функции и(хз у) уравнение в частных производных: (Зз.з) Еаз Уравнение (33.3) может быть представлено в виде (~~ — аг) (г/г+ а ) пз = — О, откуда ясно, что решениями его являются, в частности, решения более простых уравнений; (!7г — а') пр = О; (з-,г + а') пз == О, (33.4) нли в развернутой записи: дззз, дза — -1- — — аггв .—. О; (33.5) дхз дуг агзв = О. дззз дззз (ЗЗ.
О) дхз ду' Из бесчисленного множества решений уравнения (33.3) должны оыть отобраны те, которые соответствуют условиям закрепления краев пластины. Эти условия такие же, как и при статическом изгибе, а именно: на защемленном краю ьу =. О; дш/дл = О; на опертом краю и = О; А[„=- О; на свободном краю М„=- О, )Рз =- О.
Здесь М„и $з — амплитудныи изгибающий момент и приведен- ная поперечная сила на контуре. Если пластина отнесена к декартовой системе координат л, у, то 31, и )Р„ определяются формулами Мз =: — /х ! — + И вЂ” ] соз'0-'- [ — -1- р — ейпг0+ ду-,] ' [дуг дза, + (! — р) — гйп 20], дхду [г„= —  — [! + (1 — р) з!п'О] сов 0+ — [2 — р— г ~ дхз дхз ду дза — З(1 — [з)соз'0]з!п0+ — [2 — р — 3(1 — р) сйп'О]соз0-1- дхду дзм + — [! -+ (1 — !з) созг О] з!и 0 —, дуз + ~ ~( — — — )соз20 — 2 — ~ 3!п201[, где 0 — угол, образуемый внешней нормалью к контуру с осью х; р,— радиус кривизны контура.
273 В 34. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ Так как и'= аг — игаг/Ьг, находим дру»их сторон — произвольное. Пусть (рис. 34.1) шарнирно оперты края у .—.. О и у =-Ь. Тогда выражение для амплитудных прогибов, удовлетворяющее условиям шарнирного опирания на этих краях, можно представить в виде -! Рис 34.! и» (х, у) = / (х) я и (и у/Ь) (и = 1, 2, 3, ...). Подставляя это выражение в уравнения (33.5), (33.6), устанавливаем, что функция /(х) должна удовлетворять одному из двух уравнении: /В (х) — иг,/(х) = О (аг = аг+ пга'/Ь') или /х(х)-1- аг/(х) = О (и' =- а' — п'аг/Ь ). Решениями этих уравнений являются выражения с)» а,х, в)» а,х, сова,х, яп а,х.
следовательно, общее выражение для ц»(х, у) принимает вид (Х, у) = (С с(» а х + С в)» а,х -1- С, сов агх + СВ яп агх) яп пху/Ь. Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при х =- О, х =- а. Если эти края пластины также шарнирно оперты, то должно быть; ! дгаР ! дгаР ' (, дхг дуг /В=о Из условий при х = О находим С, = С, = О, а условия при х4 а приводят к уравнениям С, в)» а,а + С, яп а,а = О; Сга! в(»ага — Сгиг вша а = О. г г Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем уравнение частот в)» а,а яп а,а = О, которое выполняется при ага = иа (и = 1, 2, 3,...).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
